Главная страница

ЧМ_Билеты. 1. Основные характеристики численных методов. Взаимосвязь характеристик


Скачать 1.85 Mb.
Название1. Основные характеристики численных методов. Взаимосвязь характеристик
Дата26.02.2018
Размер1.85 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаЧМ_Билеты.pdf
ТипДокументы
#37248
страница5 из 5
1   2   3   4   5
Интегрирование систем ОДУ в системе Mathcad
Для интегрирования систем ОДУ в Mathcad введён ряд функций Приведём только некоторые функции дающие решения для систем ОДУ представленных в обычной форме Коши:
Rkadapt(y, x1, x2, n, D) – возвращает матрицу решений адаптивным методом
Рунге-Кутта на интервале от x1 до x2 с переменным шагом при минимальном числе шагов n причем правые части уравнений в символьной форме задаются в векторе D а начальные условия – в векторе y;
rkfixed(y, x1, x2, n, D) – возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов n причем правые части уравнений записаны в символьном векторе D а начальные условия – в векторе y
42.
Пример алгоритма интегрирования ОДУ методом прогноза и
коррекции.
Алгоритмы методов прогноза и коррекции
Порядок построения алгоритма численного интегрирования ОДУ методом прогноза и коррекции с разгоном одношаговым методом рассмотрим на примере.
Первым вариантом метода Адамса (формулы (15)) с разгоном методом РК4
(формулы (7)) найти решение ОДУ
0 16
'
''




x
e
y
y
y
в интервале
4
,
0 0


к
x
x
с начальными условиями
1
)
(
,
0
)
(
0
'
0


x
y
x
y
Разрешаем уравнение относительно старшей производной
x
e
y
y
y




16
'
''
, вводим новые переменные '
1 0
,
y
y
y
y


и исходное уравнение сводим к нормальной системе ДУ первого порядка:

83








16
,
0 1
'
1 1
'
0
x
e
y
y
y
y
y
Разгон выполняется однократным использованием формул:


















).
2 2
(
6
),
2 2
(
6 4
3 2
1 1
1
,
1 4
3 2
1 0
1
,
0
l
l
l
l
h
y
y
k
k
k
k
h
y
y
m
m
m
m

















































)).
(
exp(
)
(
16
)
(
,
)),
2
(
exp(
)
2
(
16
)
2
(
,
2
)),
2
(
exp(
)
2
(
16
)
2
(
,
2
),
exp(
16
,
3 01 3
1 4
3 1
4 2
0 2
1 3
2 1
3 1
0 1
1 2
1 1
2 0
1 1
1 1
h
x
hk
y
hl
y
l
hl
y
k
h
x
k
h
y
l
h
y
l
l
h
y
k
h
x
k
h
y
l
h
y
l
l
h
y
k
x
y
y
l
y
k
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Теперь необходимо перейти к методу прогноза и коррекции, где в прогнозе используются начальные условия и узел с решением, полученным в результате разгона. Для этого нужно соответствующим образом переименовать переменные, что позволит связать разгон с методом прогноза и коррекции и построить алгоритм.
В начальных условиях имена переменных
m
m
y
y
1 0
,
заменим на
1 0
, y
y
. Результаты разгона
1
,
1 1
,
0
,


m
m
y
y
переименуем в
,
10 00
y
y
Связь полученных через переименование имен и имен переменных, которые будут использованы для прогноза и коррекции, представлена на рис.8.6.

84
Рис.8.6 – связь начальных условий, разгона, прогноза и коррекции
Теперь формулы для прогноза и коррекции будут иметь вид:



















)))).
(
exp(
16
(
))
exp(
16
(
3
(
2
),
3
(
2 0
1 00 10 10 100 1
10 00 000
h
x
y
y
x
y
y
h
y
y
y
y
h
y
y



















))).
exp(
16
(
)))
(
exp(
16
((
2
),
(
2 00 10 000 100 10 11 10 100 00 01
x
y
y
h
x
y
y
h
y
y
y
y
h
y
y
Полученные выше формулы позволяют построить алгоритм (рис.8.7) для выполнения задания.

85
начало
)
0
(
'
),
0
(
,
,
,
0
x
y
x
y
h
xk
x
)
0
(
'
1
),
0
(
0
,
0
x
y
y
x
y
y
x
x



1
,
0
,
y
y
x
h
x
l
l
l
l
h
y
y
k
k
k
k
h
y
y
e
hk
y
hl
y
l
hl
y
k
e
k
h
y
l
h
y
l
l
h
y
k
e
k
h
y
l
h
y
l
l
h
y
k
e
y
y
l
y
k
h
x
h
x
h
x
x












































),
4 3
2 2
2 1
(
6 1
10
),
4 3
2 2
2 1
(
6 0
00
,
)
3 0
(
16
)
3 1
(
4
,
3 1
4
,
)
2 2
0
(
16
)
2 2
1
(
3
,
2 2
1 3
,
)
1 2
0
(
16
)
1 2
1
(
2
,
1 2
1 2
,
0 16 1
1
,
1 1
)
(
)
2
/
(
)
2
/
(
а

86
43.
Адаптивный алгоритм интегрирования ОДУ методом прогноза и
коррекции.
Рис.8.7 – алгоритм численного интегрирования
ДУ второго порядка методом прогноза и коррекции
(первый вариант метода Адамса) с разгоном методом РК4
а
10
,
00
,
y
y
x
h
x
e
y
y
e
y
y
h
y
y
y
y
h
y
y
e
y
y
e
y
y
h
y
y
y
y
h
y
y
x
h
x
h
x
x




























)),
00 16 10
(
)
000 16 100
((
2 10 11
),
10 100
(
2 00 01
)),
0 16 1
(
)
00 16 10
(
3
(
2 10 100
),
1 10 3
(
2 00 000
)
(
)
(
2
/
h
xk
x


11 10
,
01 00
,
10 1
,
00 0
y
y
y
y
y
y
y
y




конец
нет

87 ааа
Рис.8.8 – адаптивный алгоритм численного интегрирования
ДУ второго порядка методом прогноза и коррекции
(первый вариант метода Адамса) с разгоном методом РК4
начало
)
0
(
'
),
0
(
,
,
,
0
,
x
y
x
y
h
xk
x

)
0
(
'
1
),
0
(
0
,
0
x
y
y
x
y
y
x
x



1
,
0
,
y
y
x
h
x
y
y
y
y
l
k








...,
1 10
...,
0 00
...,
4
...,
...,
1 10
,
00
,
y
y
x
10 100
...,
00 000




y
y
y
y

прогноз
0

k





шаге
на
коррекций
во
кол
текущее
k






k
y
y
y
y
...,
10 11
...,
00 01






10 11
,
00 01
y
y
или
y
y
да
2

k
2

k
h
x

2
/
h
xk
x


конец
да
да
11 10
,
01 00
,
10 1
,
00 0
y
y
y
y
y
y
y
y





коррекция
2
* 
h
2
/ 
h
11 1
,
01 0
y
y
y
y


да





4
РК
методом
разгон

88
44.
Методы Рунге-Кутта интегрирования ОДУ. Пример алгоритма.
Метод Рунге-Кутта третьего порядка РК3
Порядок погрешности метода -
4
h
 Формулы метода:
  







2
,
,
2
,
2
/
,
,
,
4
*
6 2
1 3
1 2
1 3
2 1
1
hk
hk
y
h
x
f
k
hk
y
h
x
f
k
y
x
f
k
k
k
k
h
y
y
m
m
m
m
m
m
m
m













(6)
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка РК4
Наиболее распространен и имеет порядок погрешности h
5
. Формулы метода:
  

).
,
(
),
2
/
,
2
/
(
),
2
/
,
2
/
(
),
,
(
,
2 2
*
6
/
3 4
2 3
1 2
1 4
3 2
1 1
hk
y
h
x
f
k
hk
y
h
x
f
k
hk
y
h
x
f
k
y
x
f
k
k
k
k
k
h
y
y
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
















(7)
Все вышеприведенные методы называются одношаговыми так как для вычисления
1

m
y
достаточно знать лишь
m
y
- значение решения на предыдущем шаге
Это позволяет использовать их при переменном шаге интегрирования
Алгоритмы одношаговых методов Рунге-Кутта
Поскольку алгоритмы одношаговых методов однотипны, то достаточно рассмотреть один пример, чтобы построить алгоритм для любого другого задания.
Методом РК3 решить систему ОДУ
8
)
(
,
2
)
(
,
8
,
0
'
,
'
0 0
0














x
z
x
y
при
x
x
интервале
в
z
y
z
z
z
y
y
y
k
Введем новые переменные
,
1 0
z
y
y
y


Тогда система примет вид:

89







).
/(
),
/(
1 0
1
'
1 1
0 0
'
0
y
y
y
y
y
y
y
y
Используем формулы (6) для метода РК3:










































).
2 2
/(
)
2
(
),
2 2
/(
)
2
(
),
2 2
/(
)
2
(
),
2 2
/(
)
2
(
),
/(
),
/(
2 1
1 2
1 0
2 1
1 3
2 1
1 2
1 0
2 1
0 3
1 1
1 0
1 1
2 1
1 1
0 1
0 2
1 0
1 1
1 0
0 1
hl
hl
y
hk
hk
y
hl
hl
y
l
hl
hl
y
hk
hk
y
hk
hk
y
k
l
h
y
k
h
y
l
h
y
l
l
h
y
k
h
y
k
h
y
k
y
y
y
l
y
y
y
k
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
















).
4
(
6
),
4
(
6 3
2 1
1 1
,
1 3
2 1
0 1
,
0
l
l
l
h
y
y
k
k
k
h
y
y
m
m
m
m

90
Рис.8.5 – алгоритм численного интегрирования системы ДУ методом РК3
начало
)
(
),
(
,
,
,
0 0
0
x
z
x
y
h
xk
x
)
(
1
),
(
0
,
0 0
0
x
z
y
x
y
y
x
x



1
,
0
,
y
y
x
h
x
l
l
l
h
y
y
k
k
k
h
y
y
hl
hl
y
hk
hk
y
hl
hl
y
l
hl
hl
y
hk
hk
y
hk
hk
y
k
l
h
y
k
h
y
l
h
y
l
l
h
y
k
h
y
k
h
y
k
y
y
y
l
y
y
y
k








































),
3 2
4 1
(
6 1
1
),
3 2
4 1
(
6 0
0
),
2 2
1 1
2 2
1 0
/(
)
2 2
1 1
(
3
),
2 2
1 1
2 2
1 0
/(
)
2 2
1 0
(
3
),
1 2
1 1
2 0
/(
)
1 2
1
(
2
),
1 2
1 1
2 0
/(
)
1 2
0
(
2
),
1 0
/(
1 1
),
1 0
/(
0 1
2
/
h
xk
x


да
конец
1   2   3   4   5


написать администратору сайта