ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления
1.1 Локальные экстремумы функции
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
2. Исследование функций
2.1 Достаточные условия экстремума функции
2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
2.3 Асимптоты графика функции
2.4 Общая схема построения графика функции
Литература

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х_0 – внутренняя точка множества Х.
Обозначим через U(х_0) окрестность точки х_0. В точке х_0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х_0) точки х_0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х_0).
Аналогично: функция f (х) имеет в точке х_0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х_0) точки х_0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х_0).
Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.
Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х_1, х_3 – точки локального минимума, точки х_2, х_4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.
Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х_3 – точка соответственно глобального минимума.

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.
Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение х^n + y^n = z^n не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а ^р-1 – 1 делится на р).
Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х_0 Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х_0 существует конечная производная f '(x_0), то f '(x_0) = 0.
Доказательство.
Пусть, для определенности, в точке х_0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) ³ f (х_0), œх Î U(х_0). Тогда в силу дифференцируемости 
f (х) в точке х_0 получим:
при х > х_0:

при х < х_0:

Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда

Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если х_0 Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х_0, f (х_0)), параллельна оси Ох:

Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.
Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).
В точке х_0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х_0).

Пример 2. у = х^3, х Î [–1; 1].
В точке х_0 = 1 функция имеет краевой максимум.  Теорема Ферма не выполняется, так как точка х_0 = 1 Ï (–1; 1).
Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.
Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f '(x) = 0.
Доказательство:
1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, œх Î (a, b);
2) если f (x) ¹ const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка 
[a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '(x) = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f (x) в точке (x, f (x)) ïï Ox (см. рисунок).
Заметим, что все условия теоремы существенны.

Пример 3. f (x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.
В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается.
Пример 4. 
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала 
(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1].
Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.
Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке 
[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

 . (1)

Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную функцию   Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0:

Следовательно:

.

Теорема доказана.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

 (2)

Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).
Теорема доказана.
Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (x, f (x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).
Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:
1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, œх Î (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].

2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), œх Î (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const.
3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, œх Î (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0, 
œх Î (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b).

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

2.1 Достаточные условия экстремума функции

В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.
По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х_0 следует, что f '(x_0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х_0 – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x_0) = 0. Точки х_0, в которых f '(x_0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной 
в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.
Пример 1. у = х^3, у' = 3х^2, у'(0) = 0, но 
в точке х_0 = 0 нет экстремума.
Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х_0 = 0:

      f '(0) = 0                             f '(0) $                      f '(0) = ¥ 

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?».
Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x_0) точки х_0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х_0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х_0. Тогда:
1) если  (1)
то в точке х_0 – локальный максимум;
2) если  (2)
то в точке х_0 – локальный минимум.
Доказательство.
Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х_0 функция не убывает, а при х > х_0 функция не возрастает, то есть
 (3)
Следовательно, из (3) получаем, что в точке х_0 функция имеет локальный максимум.
Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:   
                 f (x)                                                    f (x)
                 f '(х) ³ 0      f '(х) £ 0                         f '(х) £ 0     f '(х) ³ 0 

Теорема доказана.
Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию  с помощью производной первого
порядка.
Решение. Найдем стационарные точки функции: 

Þ х^2 –1 = 0 Þ х_1 = –1, х_2 = 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х | (–¥; –1) | –1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; +¥)
у' | + | 0 | – | – | – | 0 | +
у | | –2 | | – | | 2 |
                       max                                                 min

То есть функция  возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке 
х_1 = –1, равный у_max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х_2 = 1, 
у_min (1) = 2.
Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х_0 – стационарная точка 
(f ' (х_0) = 0), в которой f '' (х_0) > 0, то в точке х_0 функция имеет локальный минимум. Если же f '' (х_0) < 0, то в точке х_0 функция имеет локальный максимум.
Доказательство. Пусть для определенности f '' (х_0) > 0. Тогда

Следовательно:
при х < х_0, f ' (х) < 0,
при х > х_0, f ' (х) > 0.
Поэтому по теореме 1 в точке х_0 функция имеет локальный минимум. 
Теорема доказана.
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию  с помощью второй производной.
Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную  и стационарные точки х_1 = –1, х_2 = 1.
Найдем вторую производную данной функции:

Найдем значения второй производной в стационарных точках.
 Þ в точке х_1 = –1 функция имеет локальный максимум;
 Þ в точке х_2 = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).
Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х_1, х_2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х_1, f (х_1)) и В (х_2, f (х_2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).
Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х_1, х_2 Î (a, b), а £ х_1 < х_2 £ b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х), œ х Î [х_1, х_2] Ì (a, b):

Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.
Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х_1, х_2 Î (a, b), а £ х_1 < х_2 £ b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) ³ у (х), œ х Î [х_1, х_2] Ì (a, b):

Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и
1) f ''(х) > 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;
2) f ''(х) < 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх.
Точка х_0 называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х_0, что для всех х Î (х_0 – d, х_0) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х_0, х_0 + d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х_0, то есть точка х_0 – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х_0 функция f (х) меняет характер выпуклости:
 х_0 – d х_0 х_0 + d

Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х_0 производную f '' и х_0 – точка перегиба, то f '' (х_0) = 0.
Доказательство.
Если бы f '' (х_0) < 0 или f '' (х_0) > 0, то по теореме 3 в точке х_0 функция f (х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f ''(х_0) = 0.
Теорема доказана.
Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х_0 и при переходе через точку х_0 производная f ''(х) меняет знак, то точка х_0 является точкой перегиба функции f (х).
Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х^3.
Решение. у' = 3х^2, у'' = 6х = 0 Þ х_0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
В точке х_0 = 0 функция у = х^3 имеет перегиб:

х | (–¥; 0) | 0 | (0; +¥)
у'' | – | 0 | +
у | выпукла вверх | 0 | выпукла вниз
| | точка перегиба |

Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .
Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как  то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

х | (–¥; 0) | 0 | (0; +¥)
у'' | – | – | +
у | выпукла вверх | – | выпукла вниз
| | функция не определена |

2.3 Асимптоты графика функции

Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Прямая х = х_0 называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х_0 – 0) или f (х_0 + 0) равен бесконечности. 
Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций:

а)  б)  в) 

Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х_0, где х_0 – точки, в которых функция не определена.
а) х = 3 – вертикальная асимптота функции . Действительно, ;
б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции . Действительно, 

,
 ;

в) х = 0 – вертикальная асимптота функции  Действительно, .
Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, если f (х) = kx + b + α(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® – ¥.
Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

 (4)

Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.
Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции 
Решение. Найдем пределы (4):

Следовательно, k = 1.

Следовательно, b = 0.
Таким образом, функция  имеет наклонную асимптоту 
у = kx + b = 1 · х + 0 = х.
Ответ: у = х – наклонная асимптота.
Пример 8. Найти асимптоты функции .
Решение.
а) функция неопределенна в точках х_1 = –1, х_2 = 1. Следовательно, прямые х_1 = –1, х_2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.
Действительно, .

;
б) у = kx + b.

Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции.
Ответ: х_1 = –1, х_2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп-
тоты.

2.4 Общая схема построения графика функции

1. Находим область определения функции.
2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.
5. Находим асимптоты графика функции.
6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
7. Строим график.
Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.
Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f (–х) = –f (х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 9. Построить график .
Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах.
1. D (у) = (–¥; 0) È (0; +¥).
2.  Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.
3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

х | (–¥; –1) | –1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; +¥)
у' | + | 0 | – | – | – | 0 | +
у | | –2 | | – | | 2 |
                        max                                                  min

4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.

х | (–¥; 0) | 0 | (0; +¥)
у'' | – | – | +
у | выпукла вверх | – | выпукла вниз
| | функция не определена |

Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.
5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:
а) х = 0 – вертикальная асимптота;
б) у = х – наклонная асимптота.
6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как , при любых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).
7. По полученным данным строим график функции:

Пример 10. Построить график функции .
Решение.
1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).
2.  – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

3х^2 – х^4 = 0, х^2 · (3 – х^2) = 0, х_1 = 0, х_2 = , х_3 = .

х | (–¥;) | | (; 0) | –1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (1; ) | | (; +¥)
у' | – | 0 | + | – | + | 0 | + | – | + | 0 | –
у | | 2,6 | | – | | 0 | | – | | –2,6 |

4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:

х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

х | (–¥; –1) | –1 | (–1; 0) | 0 | (0; 1) | 1 | (0; +¥)
у'' | + | – | – | 0 | + | – | –

у

выпукла 
вниз

–

выпукла 
вверх

0

выпукла вниз

–

выпукла 
вниз

| | | перегиб | |

5. Найдем асимптоты функции:
а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты.
Действительно:

б) у = kx + b.
,

Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.

6. Найдем точки пересечения с осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
7. Строим график:

ЛИТЕРАТУРА

1.	Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.
2.	Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.