СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ
3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Математический анализ – общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая область математики, связанная с понятиями функций, производной и интеграла. 
Дисциплина «Математический анализ» отражает важное направление развития современной математики. В ней рассматриваются вопросы, связанные с методами вычислений, что важно для нашей специальности.
Интегральное исчисление, раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями интегрального исчисления являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного. Так же не малую роль играет понятие кратные интегралы. 
Кратный интеграл - интеграл от функции нескольких переменных. Определяется при помощи интегральных сумм, аналогично определённому интегралу от функции одного переменного. В зависимости от числа переменных различают двойные, тройные, n-кратные интегралы. Так же существуют кратные несобственные интегралы.
И целью моей курсовой работы является раскрыть один из разделов кратных интегралов – кратные несобственные интегралы.

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть G – область в Rn, функция f: G R, интеграл  не существует из-за того, что либо область G не ограничена, либо функция f  не ограничена в области G, либо и то, и другое, но на каждом замкнутом кубируемом подмножестве  функция f  интегрируема по Риману.
При выполнении всех перечисленных выше условий
                                                                                     (1)
будем называть несобственным кратным интегралом.

2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ ВДОЛЬ ЛИНИИ
Пусть функция F (x, y) непрерывна на открытом круге
однако неограниченна на нём. При этом мы предполагаем, что при приближении к любым точкам окружности           x2 + y2 = a2 функция F стремиться к бесконечности.
Тогда для любого положительного b < a интеграл
 существует, но интеграл от F на Ga  в обычном смысле не существует. Из существования интеграла по Ga  в римановском смысле должна следовать ограниченность F на Ga. 
Однако может случится, что существует предел

Предел I называется  интегралом от F по Ga в несобственном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл

Площадь сферы ׀Sa׀, соответствующей Ga., нам пришлось определить  при помощи не простого риманова интеграла, а несобственного интеграла

Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда подынтегральная функция неограниченна вдоль линии.

3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Рассмотрим несобственный интеграл
        (1)
зависящий от параметра x = (x1,…,xm). Будем считать, что интеграл имеет единственную особенность в точке 
Точнее, мы рассматриваем область Ω точек y = (y1,…,yn) n-мерного пространства, в которой происходит интегрирование и область G точек          x = (x1,…,xm) – область параметров. Так как мы интегрируем по Ω, а в дальнейшем будем интегрировать и по G, то будем считать, что обе области Ω и G и имеют кусочно-гладкую границу. Что же касается функции f (x,y),  то предполагается, что она непрерывна на за исключением точек             (x, y0), где она имеет особенность.
На Ω в окрестности каждой точки (x, y0) функция f (x, y), вообще говоря, неограниченна.
Мы предполагаем, что несобственный интеграл (1) существует для всех  Это значит, что для каждого  существует конечный предел
                 (2)
где

	                            	(3)
и Ωε = Ω \ U (y0, ε) есть множество точек y  Ω, из которого выкинут шар радиуса ε с центром в точке y0.
Важно отметить, что интеграл (3) – это обыкновенный интеграл Римана (собственный), и так как функция f (x, y) непрерывна на  при любом  ε > 0,  то для него выполняются известные свойства:
1)	Fε (x) непрерывная функция от 
2)	Законно менять местами порядок интегрирования
                                                      (4)
3)	Законно дифференцировать под знаком интеграла
                                        (5)
при дополнительно условии, что частная производная  непрерывна на .
Возникает вопрос, сохраняются ли свойства 1) – 3) при ε =0, т.е. сохраняются ли они для несобственного интеграла (1). Это, вообще говоря, не так. Однако если на сходимость  к F (x) и  к  наложить дополнительное условие равномерной сходимости, то свойства 1) – 3) сохраняются. В связи с этим полезно понятие равномерной сходимости несобственного интеграла.
По определению интеграл (1) сходящийся равномерно на  (или по), если
                                     
т.е.
                                
равномерно на .
Другими словами, интеграл (1) сходится равномерно на , если выполняется: для любого η > 0 существует ε0 > 0 такое, что 

К равномерно сходящимся интегралам можно применить теорию равномерно сходящихся последовательностей функции, связанную с теорией равномерно сходящихся рядов.
Мы знаем, что если последовательность функций Fn (x) (n=1,  2,…), непрерывных на множестве , сходится равномерно на , то предельная функция F (x) непрерывна на , и тогда
                                    (6)
Мы знаем также, что дополнительно считать, что частные производные  существуют и непрерывны на  и, кроме того,
                              ,
равномерно на , то функция F (x) имеет производную , равную :
                            
При доказательстве этих свойств не имеет значения тот факт, что n, возрастая, пробегает натуральные числа. Можно считать также, что n = ε стремиться непрерывно к нулю (ε → 0). Поэтому указанные свойства автоматически переносятся на равномерно сходящиеся несобственные интегралы. Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.
Теорема 1. Если интеграл (1) равномерно сходиться на  и функция   f (x, y) непрерывна на  за исключением точек (x, y0), то интеграл (1) есть непрерывная функция от x. При этом

В самом деле, из непрерывности  и равномерной сходимости  на следует, что F(x) непрерывна на . Далее,

В этой цепи мы воспользовались (во втором равенстве) формулой
            
верной, потому что Fε и F непрерывны на G и Fε → F равномерно на , и (в четвёртом равенстве) формулой (4).
Теорема 2. Если, кроме того, что выполняются условия теоремы 1, известно, что частная производная  непрерывна на  за исключением точек (x, y0), и интеграл

равномерно сходится на , то имеет место равенство

т.е. законно дифференцировать под знаком интеграла.
В самом деле,

Во втором равенстве этой цепи применено свойство: если функция  и  непрерывны на  и обе при ε → 0 равномерно сходятся на  соответственно F(x) и ψ(x), то  на . В четвёртом равенстве применено свойство (5), верное для любого ε > 0.

4. ВЫЧЕСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Интеграл Эйлера-Пуассона
Рассмотрим  Это – несобственный двойной интеграл. Возьмём в качестве исчерпывающей последовательности последовательность кругов  Тогда

А теперь возьмём в качестве исчерпывающей  последовательности последовательность квадратов  Тогда

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения несобственных интегралов даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.
Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например. К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при других интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственными интегралами с неограниченной подынтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл 

ЛИТЕРАТУРА
1.	 Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. - М.: Наука, 2000.
2.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. - М.: Наука, 1999.
3.	Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 2003.
4.	Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учебник для вузов. 3-е изд., испр. – М: Наука. Гл. ред. физ-мат. мет.,  1989.- 464с.
5.	Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: Наука, 1999.
6.	Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа (под редакцией А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича). – Т.2. - М.: Наука, 2004.