Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования Луганской Народной
Республики «Луганский колледж информационных технологий
и предпринимательства»

Реферат
Тема: «Не прерывные дроби»

Выполнил обучающийся
Группы 105 по профессии:
«Мастер по обработки 
цифровой информации»
Булко А.О.

Луганск, 2022

Содержание

Введение
1.	История цепных дробей
2.	Разложение в непрерывную дробь
3.	Приближение вещественных чисел к рациональным
4.	Приложения цепных дробей
5.	Свойства золотого сечения

Введение

Цепная дробь (или непрерывная дробь) — это математическое выражение вида

где a0 есть целое число и все остальные an натуральные числа (положительные целые). Любое вещественное число можно представить в виде цепной дроби (конечной или бесконечной). Число представляется конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Число представляется периодической цепной дробью тогда и только тогда, когда оно является квадратичной иррациональностью.

1. История цепных дробей

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение.
Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений.
Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств, поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

2. Разложение в непрерывную дробь

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.
Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.
Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было.
Непрерывные дроби - последовательность, каждый член которой является обычной дробью, порождает непрерывную (или цепную) дробь, если ее второй член прибавить к первому, а каждую дробь, начиная с третьей, прибавить к знаменателю предыдущей дроби.
Любое вещественное число  может быть представлено (конечной или бесконечной, периодической или непериодической) цепной дробью 

где  обозначает целую часть числа .
Для рационального числа  это разложение оборвётся по достижении нулевого  для некоторого n. В этом случае  представляется конечной цепной дробью .
Для иррационального  все величины  будут ненулевыми и процесс разложения можно продолжать бесконечно. В этом случае  представляется бесконечной цепной дробью .
Для рациональных чисел может быть использован алгоритм Евклида для быстрого получения разложения в цепную дробь.

3. Приближение вещественных чисел к рациональным

Цепные дроби позволяют эффективно находить хорошие рациональные приближения вещественных чисел. А именно, если вещественное число  разложить в цепную дробь, то её подходящие дроби будут удовлетворять неравенству

Отсюда, в частности, следует:
•	подходящая дробь  является наилучшим приближением для  среди всех дробей, знаменатель которых не превосходит ;
•	мера иррациональности любого иррационального числа не меньше 2.

4. Приложения цепных дробей

Теория календаря
При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.
Другие приложения
•	Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана 
•	Решение в целых числах уравнения Пелля

и других уравнений диофантова анализа
•	Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)
•	Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC
•	Характеристика ортогональных многочленов
•	Характеристика устойчивых многочленов

5. Свойства золотого сечения

Интересный результат, который следует из того, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел, больших 1, состоит в том, что φ является одним из самых «трудных» действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел.
Теорема Гурвица утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n так, что
Хотя практически все действительные числа k имеют бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстоянии от k, чем эта верхняя граница, приближения для φ (то есть числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 и т. д.) в пределе достигают этой границы, удерживая расстояние на почти точно  от φ, тем самым никогда не создавая столь хорошие приближения как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано, что любое действительное число вида (a + bφ)/(c + dφ), a,b, c и d являются целыми числами, причём

ad − bc = ±1,

обладают тем же свойством, как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

дробь математический число уравнение