Криптография 2е издание Протоколы, алгоритмы и исходные тексты на языке С
 Скачать 3.25 Mb.
|
|
Выберите для проверки случайное число p. Вычислите b - число делений p - 1 на 2 (т.е., 2 b - это наибольшая степень числа 2, на которое делится p - 1). Затем вычислите m, такое что p = 1 + 2 b * m. (1) Выберите случайное число a, меньшее p. (2) Установите j = 0 и z = am mod p. (3) Если z = 1 или если z = p - 1, то p проходит проверку и может быть простым числом. (4) Если j > 0 и z = 1, то p не является простым числом. (5) Установите j = j + 1. Если j < b и z( p - 1, установите z = z 2 mod p и вернитесь на этап (4). Если z = p - 1, то p проходит проверку и может быть простым числом. (6) Если j = b и z ? p - 1, то p не является простым числом. В этом тесте вероятность прохождения проверки составным числом убывает быстрее, чем в предыдущих. Гарантируется, что три четверти возможных значений a окажутся свидетелями. Это означает, что составное число проскользнет через t проверок с вероятностью не большей (1/4) t , где t - это число итераций. На самом деле и эти оценки слишком пессимистичны. Для большинства случайных чисел около 99.9 процентов возмо ж- ных значений a являются свидетелями [96]. Существуют более точные оценки [417]. Для n-битового кандидата в простые числа (где n больше 100), ве- роятность ошибки в одном тесте меньше, чем 4 2 2 1 2 n k ( ) . И для 256-битового n вероятность ошибки в шести тес- тах меньше, чем 1/2 51 . Дополнительную теорию можно найти в [418]. Практические соображения В реальных приложениях генерация простых чисел происходит быстро. (1) Сгенерируйте случайное n-битовое число p. (2) Установите старший и младший биты равными 1. (Старший бит гарантирует требуемую длину простого числа, а младший бит обеспечивает его нечетность.) (3) Убедитесь, что p не делится на небольшие простые числа: 3, 5, 7, 11, и т.д. Во многих реализациях пров е- ряется делимость p на все простые числа, меньшие 256. Наиболее эффективной является проверка на д е- лимость для всех простых чисел, меньших 2000 [949]. Это может быть эффективно выполнено с помощью колеса [863]. (4) Выполните тест Rabin-Miller для некоторого случайного a. Если p проходит тест, сгенерируйте другое случайное a и повторите проверку. Выбирайте небольшие значения a для ускорения вычислений. Выпол- ните пять тестов [651]. (Одного может показаться достаточным, но выполните пять.) Если p не проходит одной из проверок, сгенерируйте другое p и попробуйте снова. Иначе, можно не генерировать p случайным образом каждый раз, но последовательно перебирать числа, н а- чиная со случайно выбранного до тех пор, пока не б удет найдено простое число. Этап (3) не является обязательным, но это хорошая идея. Проверка, что случайное нечетное p не делится на 3, 5 и 7 отсекает 54 процента нечетных чисел еще до этапа (4). Проверка делимости на все простые числа, меньшие 100, убирает 76 процентов нечетных чисел, проверка делимости на все простые числа, меньшие 256, убирает 80 процентов нечетных чисел. В общем случае, доля нечетных кандидатов, которые не делятся ни на одно простое число, меньшее n, равна 1.12/ln n. Чем больше проверяемое n, тем больше предварительных вы- числений нужно выполнить до теста Rabin-Miller. Одна из реализаций этого метода на Sparc II способна находить 256-битовые простые числа в среднем за 2.8 секунды, 512-битовые простые числа - в среднем за 24.0 секунды, 768-битовые простые числа - в среднем за 2.0 минуты, а 1024-битовые простые числа - в среднем за 5.1 минуты [918]. Сильные простые числа Если n - произведение двух простых чисел, p и q, то может понадобиться использовать в качестве p и q сильные простые числа. Такие простые числа обладают рядом свойств, которые усложняют разложение пр о- изведения n определенными методами разложения на множители. Среди таких свойств были предложены [1328, 651]: Наибольший общий делитель p - 1 и q - 1 должен быть небольшим. И p - 1, и q - 1 должны иметь среди своих множителей большие простые числа, соответственно p' и q'. И p' - 1, и q' - 1 должны иметь среди своих множителей большие простые числа. И p + 1, и q + 1 должны иметь среди своих множителей большие простые числа. И (p - 1)/2, и (q - 1)/2 должны быть простыми [182). (Обратите внимание, при выполнении этого условия в ы- полняются и два первых.) Насколько существенно применение именно сильных простых чисел, остается предметом продолжающихся споров. Эти свойства были разработаны, чтобы затруднить выполнение ряда старых алгоритмов разложения на множители. Однако самые быстрые алгоритмы одинаково быстры при разложении на множители любых чисел, как удовлетворяющих приведенным условиям, так и нет [831]. Я против специальной генерации сильных простых чисел. Длина простых чисел гораздо важнее их структ у- ры. Более того, сама структура уменьшает случайность чи сла и может снизить устойчивость системы. Но все может измениться. Могут быть созданы новые методы разложения на множители, которые лучше р а- ботают с числами, обладающими определенными свойствами. В этом случае снова могут потребоваться сил ь- ные простые числа. Заглядывайте в журналы по теоретической математике. 11.6 Дискретные логарифмы в конечном поле В качестве другой однонаправленной функции в криптографии часто используется возведение в степень по модулю. Легко вычислить: a x mod n Задачей, обратной возведению в степень по модулю, является поиск дискретного логарифма. А это уже н е- легкая задача: Найти x, для которого a x ? b (mod n). Например: Если 3 x ? 15 mod 17, то x = 6 Решения существуют не для всех дискретных логарифмов (помните, речь идет только о целочисленных р е- шениях). Легко заметить, что следующее уравнение не имеет решений 3 x ?7 (mod 13) Еще сложнее решать эту задачу для 1024-битовых чисел. Вычисление дискретных логарифмов в конечной группе Криптографы интересуются дискретными логарифмами следующих трех групп: — Мультипликативная группа полей простых чисел: GF( p) — Мультипликативная группа конечных полей степеней 2: GF(2 n ) — Группы эллиптической кривой над конечными полями F: EC(F) Безопасность многих алгоритмов с открытыми ключами основана на задаче поиска дискретных логарифмов, поэтому эта задача была глубоко изучена. Хороший подробный обзор этой проблемы и ее наилучшие решения на соответствующий момент времени можно найти в [1189, 1039]. Лучшей современной статьей на эту тему является [934]. Если p является простым числом и используется в качестве модуля, то сложность поиска дискретных лог а- рифмов в GF(p) по существу соответствует разложению на множители числа n того же размера, где n - это про- изведение двух простых чисел приблизительно равной длины [1378,934]. То есть: e O n n ( ( ))(ln( )) (ln((ln( ))) 1 1 1 2 1 2 + Решето числового поля быстрее, оценка его эвристического времени выполнения: e O n n ( . ( ))(ln( )) (ln((ln( ))) 1 923 1 1 3 2 3 + Стивен Полиг (Stephen Pohlig) и Мартин Хеллман нашли способ быстрого вычисления дискретных лог а- рифмов в GF(p) при условии, что p - 1 раскладывается на малые простые множители [1253]. По этой причине в криптографии используются только такие поля, для которых p - 1 обладает хотя бы одним большим простым множителем. Другой алгоритм [14] вычисляет дискретных логарифм со скоростью, сравнимой с разложением на множители, он был расширен на поля вида GF( p n ) [716]. Этот алгоритм был подвергнут критике в [727] по ряду теоретических моментов. В других статьях [1588] можно увидеть, насколько на самом деле трудна пр о- блема в целом. Вычисление дискретных логарифмов тесно связано с разложением на множители. Если вы можете решить проблему дискретного логарифма, то вы можете и разложить на множители. (Истинность обратного никогда не была доказана.) В настоящее время существует три метода вычисления дискретных логарифмов в поле простого числа [370, 934, 648]: линейное решето, схема целых чисел Гаусса и решето числового поля. Предварительное, объемное вычисление для поля должно быть выполнено только один раз. Затем, быстро можно вычислять отдельные логарифмы. Это может серьезно уменьшить безопасность систем, основанных на таких полях. Важно, чтобы различные приложения использовали различные поля простых чисел. Хотя нескол ь- ко пользователей одного приложения могут применять общее поле. В мире расширенных полей исследователями не игнорируются и GF(2 n ). Алгоритм был предложен в [727]. Алгоритм Копперсмита (Coppersmith) позволяет за приемлемое время находить дискретные логарифмы в таких полях как GF(2 127 ) и делает принципиально возможным их поиск в полях порядка GF(2 400 ) [368]. В его основе лежит [180]. У этого алгоритма очень велика стадия предварительных вычислений, но во всем остальном он хорош и эффективен. Реализация менее эффективной версии этого же алгоритма после семи часов предвар и- тельных вычислений тратила на нахождение каждого дискретного логарифма в поле GF(2 127 ) лишь несколько секунд [1130, 180]. (Это конкретное поле, когда-то использовавшееся в некоторых криптосистемах [142, 1631, 1632], не является безопасным.) Обзор некоторых из этих результатов можно найти в [1189, 1039]. Позднее были выполнены предварительные вычисления для полей GF(2 227 ), GF(2 313 ) и GF(2 401 ), удалось зна- чительно продвинуться и для поля GF(2 503 ). Эти вычисления проводились на nCube-2, массивном параллельном компьютере с 1024 процессорами [649, 650]. Вычисление дискретных логарифмов в поле GF(2 593 ) все еще нахо- дится за пределами возможного. Как и для нахождения дискретных логарифмов в поле простого числа, для вычисления дискретных лог а- рифмов в полиномиальном поле также требуется один раз выполнить предварительные вычисления. Тахер Эль- Джамаль (Taher EIGamal) [520] приводит алгоритм вычисления дискретных логарифмов в поле GF( p 2 ). Глава 12 Стандарт шифрования данных DES (Data Encryption Standard) 12.1 Введение Стандарт шифрования данных DES (Data Encryption Standard), который ANSI называет Алгоритмом ши ф- рования данных DEA (Data Encryption Algorithm), а ISO - DEA-1, за 20 лет стал мировым стандартом. Хотя на нем и появился налет старости, он весьма прилично выдержал годы криптоанализа и все еще остается безопа с- ным по отношению ко всем врагам, кроме, возможно, самых могущественных. Разработка стандарта В начале 70-х годов невоенные криптографические исследования были крайне редки. В этой области почти не публиковалось исследовательских работ. Большинство людей знали, что для своих коммуникаций военные используют специальную аппаратуру кодирования, но мало кто разбирался в криптографии как в науке. Заме т- ными знаниями обладало Агентство национальной безопасности (National Security Agency, NSA), но оно даже не признавало публично своего собственного существования. Покупатели не знали, что они покупают. Многие небольшие компании изготавливали и продавали крипт о- графическое оборудование, преимущественно заокеанским правительствам. Все это оборудование отличалось друг от друга и не могло взаимодействовать. Никто не знал, действительно ли какое-либо из этих устройств безопасно, не существовало независимой организации, которая засвидетельствовала бы безопасность. Как гов о- рилось в одном из правительственных докладов [441]: Влияние соответствующего изменения ключей и принципов работы на реальную мощь аппаратуры шифров а- ния/дешифрирования было (и фактически осталось) неизвестным почти всем покупателям, и было очень трудно принимать обоснованные решения о генерации ключей, правильном диалоговом или автономном режиме, и т.д., которые отвечали бы потребностям покупателей в безопасности. В 1972 году Национальное бюро стандартов (National Bureau of Standards, NBS), теперь называющееся Н а- циональным институтом стандартов и техники (National Institute of Standards and Technology, NIST), выступило инициатором программы защиты линий связи и компьютерных данных. Одной из целей этой программы была разработка единого, стандартного криптографического алгоритма. Этот алгоритм мог бы быть проверен и се р- тифицирован, а использующие его различные криптографические устройства могли бы взаимодействовать. Он мог бы, к тому же, быть относительно недорогим и легко доступным. 15 мая 1973 года в Federal Register NBS опубликовало требования к криптографическому алгоритму, кот о- рый мог бы быть принят в качестве стандарта. Было пр иведено несколько критериев оценки проекта: — Алгоритм должен обеспечивать высокий уровень безопасности. — Алгоритм должен быть полностью определен и легко понятен. — Безопасность алгоритма должна основываться на ключе и не должна зависеть от сохранения в тайне с а- мого алгоритма. — Алгоритм должен быть доступен всем пользователям. — Алгоритм должен позволять адаптацию к различным применениям. — Алгоритм должен позволять экономичную реализацию в виде электронных приборов. — Алгоритм должен быть эффективным в использовании. — Алгоритм должен предоставлять возможности проверки. — Алгоритм должен быть разрешен для экспорта. Реакция общественности показала, что к криптографическому стандарту существует заметный интерес, но опыт в этой области чрезвычайно мал. Ни одно из предложений не удовлетворяло предъявленным требованиям. 27 августа 1972 года в Federal Register NBS опубликовало повторное предложение. Наконец, у Бюро появи л- ся подходящий кандидат: алгоритм под именем Люцифер, в основе которого лежала разработка компании IBM, выполненная в начале 70-х (см. раздел 13.1). В IBM существовала целая команда криптографов, работавшая в Кингстоне (Kingston) и Йорктаун Хайтс (Yorktown Heights), в которую входили Рой Адлер (Roy Adler), Дон Копперсмит (Don Coppersmith), Хорст Фейстель (Horst Feistel), Эдна Кроссман (Edna Crossman), Алан Конхейм (Alan Konheim), Карл Майер (Carl Meyer), Билл Ноц (Bill Notz), Линн Смит (Lynn Smith), Уолт Тачмен (Walt Tuchman) и Брайант Такерман (Bryant Tuckerman). Несмотря на определенную сложность алгоритм был прямолинеен. Он использовал только простые логич е- ские операции над небольшими группами битов и мог быть довольно эффективно реализован в аппаратуре. NBS попросило NSA помочь оценить безопасность алгоритма и определить, подходит ли он для использов а- ния в качестве федерального стандарта. IBM уже получила патент [514], но желала сделать свою интеллект у- альную собственность доступной для производства, реализации и использования другими компаниями. В конце концов, NBS и IBM выработали соглашение, по которому NBS получало неисключительную, бесплатную л и- цензию изготавливать, использовать и продавать устройства, реализующие этот алгоритм. Наконец, 17 марта 1975 года в Federal Register NBS опубликовало и подробности алгоритма, и заявление IBM о предоставлении неисключительной, бесплатной лицензии на алгоритм, а также предложило присылать комментарии по поводу данного алгоритма [536]. В другой заметке в Federal Register, 1 августа 1975 года, раз- личным организациям и широкой публике снова предлагалось прокомментировать предложенный алгоритм. И комментарии появились [721, 497, 1120). Многие настороженно относились к участию "невидимой руки" NSA в разработке алгоритма. Боялись, что NSA изменит алгоритм, вставив в него потайную дверцу. Жалов а- лись, что NSA уменьшило длину ключей с первоначальных 128 битов до 56 (см. раздел 13.1). Жаловались на внутренние режимы работы алгоритма. Многие соображения NSA стали ясны и понятны в начале 90-х, но в 70- х они казались таинственными и тревожными. В 1976 году NBS провело два симпозиума по оценке предложенного стандарта. На первом обсуждались м а- тематика алгоритма и возможность потайной дверцы [1139]. На втором - возможности увеличения длины ключа алгоритма [229]. Были приглашены создатели алгоритма, люди, оценивавшие алгоритм, разработчики аппар а- туры, поставщики, пользователи и критики. По всем отчетам симпозиумы были весьма ожи вленными [1118]. Несмотря на критику Стандарт шифрования данных DES 23 ноября 1976 года был принят в качестве фед е- рального стандарта [229] и разрешен к использованию на всех несекретных правительственных коммуникац и- ях. Официальное описание стандарта, FIPS PUB 46, "Data Encryption Standard", было опубликовано 15 января 1977 года и вступило в действие шестью месяцами позже [1140]. FIPS PUB 81, " Modes of DES Operation" (Режимы работы DES), было опубликовано в 1980 году [1143]. FIPS PUB 74, "Guidelines for Implementing and Using the NBS Data Encryption Standard" (Руководство по реализации и использованию Стандарта шифрования данных NBS), появилось в 1981 году [1142]. NBS также опубликовало FIPS PUB 112, специфицируя DES для шифрования паролей [1144], и FIPS PUB 113, специфицируя DES для проверки подлинности компьютерных данных [1145]. (FIPS обозначает Federal Information Processing Standard.) Эти стандарты были беспрецедентными. Никогда до этого оцененный NSA алгоритм не был опубликован. Возможно эта публикация была следствием непонимания, возникшего между NSA и NBS. NSA считало, что DES будет реализовываться только аппаратно. В стандарте требовалась именно аппаратная реализация, но NBS опубликовало достаточно информации, чтобы можно было создать и программную реализацию DES. Не для печати NSA охарактеризовало DES как одну из своих самых больших ошибок. Если бы Агентство предполаг а- ло, что раскрытые детали позволят писать программное обеспечение, оно никогда бы не согласилось на это. Для оживления криптоанализа DES сделал больше, чем что-либо другое. Теперь для исследования был доступен алгоритм, который NSA объявило безопасным. Не случайно следующий правительственный стандарт алгори т- ма, Skipjack (см. раздел 13.12.), был засекречен. Принятие стандарта Американский национальный институт стандартов (American National Standards Institute, ANSI) одобрил DES в качестве стандарта для частного сектора в 1981 году (ANSI X3.92.) [50], назвав его Алгоритмом шифр о- вания данных (Data Encryption Algorithm, DEA). ANSI опубликовал стандарт режимов работы DEA (ANSI X3.106) [52], похожий на документ NBS, и стандарт для шифрования в сети, использующий DES (ANSI X3.105) [51]. Две другие группы внутри ANSI, представляющие банковские операции при розничной и оптовой торговле, |