Курс лекций по теории функций комплексного переменного Волгоград Издательство Волгоградского государственного университета с Пособие содержит курс лекций по теории аналитических функций для студентов университетов математических спе циальностей
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
− z 0 ) + (|z| 2 − 1)(|z 0 | 2 − 1) (1 + |z| 2 )(1 + |z 0 | 2 ) = = (1 + |z| 2 )(1 + |z 0 | 2 ) − 2|z − z 0 | 2 (1 + |z| 2 )(1 + Следовательно, z 0 ) = 2|z − z 0 | q (1 + |z| 2 )(1 + При z 0 = ∞ формула принимает вид, ∞) = 2 q 1 + Упражнения. Найдите точки, симметричные к a относительно биссектрис углов, образованных координатными осями. Докажите, что точки a 1 , a 2 , являются вершинами равностороннего треугольника в томи только в том случае, если a 2 1 +a 2 2 +a 3 3 = a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 1 . 3. Допустим, что a и b — две вершины квадрата. Найдите две другие вершины во всех возможных вариантах. Упростите выражения 1 + cos ϕ + . . . + cos nϕ и sin ϕ + sin 2ϕ + . . . + sin nϕ. 5. Найдите центр и радиус окружности, проходящей через точки, a 2 , a 3 . 6. Запишите уравнения эллипса, гиперболы и параболы в комплексной форме. Докажите, что все окружности, проходящие через a и 1/a, пересекают окружность |z| = 1 под прямым углом § 3. Комплексная дифференцируемость 15 § Комплексная дифференцируемость Теория функций комплексного переменного расширяет исчисление на комплексную область. При этом и дифференцирование и интегрирование приобретают некоторое новое значение. Кроме того, область применения их существенно сужается и приводит к классу аналитических или голоморфных функций. В основном мы будем придерживаться традиционного понимания функции как отображения одного множества комплексных чисел в другое. В таком представлении функция должна быть однозначной. Хотя более глубокое проникновение в природу аналитических функций заставляет нас отступить от однозначности. Определение. Говорят, что функция f (z) имеет предел A при z → a и пишут lim z→a f (z) = если > 0 ∃δ > 0 : |f (z) − A| < ε при 0 < |z − a| < Формулировка легко видоизменяется для случая, когда a = ∞ или A = ∞ или оба вместе. Например, при a = ∞ нужно писать вместо 0 < |z − a| < Хорошо известные из вещественного анализа результаты, касающиеся предела суммы, произведения и частного остаются верными ив комплексном анализе. Действительно, их доказательства основываются только на свойствах модуля = |a| и + b| ≤ |a| + Заметим также, что условие (1) эквивалентно lim z→a f (z) = Из (1) и (2) следуют также соотношения f (z) = Re A, lim z→a Im F (z) = Im A. Глава I . Комплексные числа и функции Обратно, если выполнены последние соотношения, то выполняются и (1), (2). Функция f (z) называется непрерывной в точке a, если lim z→a f (z) = f (a). Термин непрерывная функция будем применять в случае, когда f непрерывна во всех точках, где она определена. Сумма f (z) + g(z) и произведение f (z)g(z) двух непрерывных функций являются непрерывными частное f (z)/g(z) определено и непрерывно в a, если g(a) 6= 0. Кроме того, если f (z) непрерывна, то таковыми являются Re f (z), Im f (z) и |f Производная функции определяется как предел отношения приращений независимой и зависимой переменных. Таким образом, по форме комплексное дифференцирование вполне аналогично вещественному Это определение и совпадение правил арифметики комплексных и вещественных чисел показывают, что обычные правила дифференцирования суммы, произведения и частного выполняются ив комплексном случае. Выполняется также правило дифференцирования сложной функции. Однако, в отличие от понятия непрерывности, которое сводится просто к непрерывности вещественной и мнимой частей, условие дифференцируемости влечет совершенно неожиданные свойства функции. Теорема 1. Для дифференцируемости функции w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) в точке z в комплексном смысле необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в вещественном смысле (т.е. дифференцируемы функции u(x, y) и v(x, y)) и выполнялись соотношения Доказательство. Вещественная дифференцируемость функции f в точке z = x + iy означает представление приращений + ξ, y + η) − u(x, y) = u 0 x ξ + u 0 y η + o(|ζ|), v(x + ξ, y + η) − v(x, y) = v 0 x ξ + v 0 y η + o(|ζ|), § 3. Комплексная дифференцируемость 17 где ζ = ξ + iη. С другой стороны, комплексная дифференцируемость функции f в точке z эквивалентна представлению (z + ζ) − f (z) = f 0 (z)ζ + Отделяя в этом равенстве вещественную и мнимую части, получаем) = α + iβ): u(x + ξ, y + η) − u(x, y) = αξ − βη + o(|ζ|), v(x + ξ, y + η) − v(x, y) = αη + βξ + В силу единственности дифференциала получаем α, u 0 y = −β, v 0 x = β, v 0 y = что эквивалентно (Таким образом, из комплексной дифференцируемости следует вещественная дифференцируемость и выполнения условий (3). Обратно, если f дифференцируема в вещественном смысле и выполняющая равенства (3), то, очевидно, имеет место и комплексная дифференци- руемость. 2 Заметим, что из хода доказательства теоремы следует равенство) = ∂f ∂x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x = ∂v ∂y − i ∂u ∂y = В действительности, мы можем записать четыре различных выражения для f 0 (z). Приведенные два равенства дают комплексную запись уравнений (3): ∂f ∂x = Определение. Функцию f, определенную на открытом множестве будем называть аналитической, или голоморфной, в D, если она дифференцируема в комплексном смысле в каждой точке Будем говорить, что f аналитична на произвольном множестве ⊂ C, если она аналитична в некотором открытом множестве, содержащем E. Глава I . Комплексные числа и функции Система уравнений (3), которой удовлетворяют вещественная и мнимая части голоморфной функции называется системой уравнений Коши-Римана и обладает рядом интересных свойств. В частности, если предположить, что функции u и v являются дважды непрерывно дифференцируемыми, то из (3) следует те гармоническая функция. Аналогично проверяется гармоничность функции Отметим еще одно важное равенство, вытекающее из системы (Это равенство показывает, что является якобианом отображения, Отметим еще одно формальное представление условий (3) или, которое проливает некоторым образом свет на природу аналитических функций. Сразу же оговоримся, что это представление имеет лишь формальное, а недоказательное значение. Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала и формальной заменой, dy на dz, dz : df = ∂f ∂x dx + ∂f ∂y dy = 1 2 ∂f ∂x (dz + dz) + 1 2i ∂f ∂y (dz − dz) = = 1 2 Ã ∂f ∂x − i ∂f ∂y ! dz + 1 2 Ã ∂f ∂x + Эта запись побуждает ввести формальные дифференциальные операторы и ∂/∂z : ∂f ∂z = 1 2 Ã ∂f ∂x − i ∂f ∂y ! , ∂f ∂z = 1 2 Ã ∂f ∂x + Из (4) видно, что уравнения Коши–Римана можно записать в виде /∂z = 0. § 3. Комплексная дифференцируемость 19 Это наводит на высказывание, что аналитическая функция не зависит от z, а является лишь функцией от Теорема 2. Пусть f — аналитическая в круге |z − a| < r функция ив нем. Тогда f (z) ≡ Доказательство. Если f (z) = u(x, y)+iv(x, y), тов силу сделанного предположения u 0 x = u 0 y = v 0 x = v 0 y = 0. Применяя одномерную теорему, получаем постоянство u и v на всех горизонтальных и вертикальных прямых. Отсюда и из того, что каждые две точки круга можно соединить ломанной с вертикальными и горизонтальными звеньями, следует утверждение теоремы. 2 Выделим теперь некоторые простейшие аналитические функции. Каждая константа является аналитической в C функцией с производной, равной нулю. Поскольку сумма и произведение двух аналитических функций снова аналитическая функция, тополином+ представляет собой аналитическую в C функцию. Если a n 6= 0, то число n называется степенью полинома P. При этом его производная) = a 1 + 2a 2 z + · · · + является полиномом степени n − 1. Нулевую константу можно рассматривать как полином. Однако по многим причинам ее приходится исключать из алгебры полиномов. При n > 0 уравнение P (z) = 0 по основной теореме алгебры имеем, по крайней мере, один корень α 1 . Тогда P (z) = (z − где P 1 — полином степени n−1. Повторение этого процесса приводит к представлению (z) = a n (z − α 1 ) . . . (z − где корни α 1 , . . . , необязательно различные. Из разложения P на множители и отсутствия делителей нуля в поле комплексных чисел следует, что P (z) не может обращаться в нуль нив одной точке, отличной от α 1 , . . . , α n . Более того, приведенная факторизация единственна с точностью до порядка сомножителей Глава I . Комплексные числа и функции Если повторяется в представлении (5) раз, то называется порядком нуля полинома P (z). Таким образом, считая каждый нуль столько раз, какова его кратность, можно сказать, что полином степени n имеет ровно n корней. Порядок нуля можно выразить в терминах производных. Действительно, если α — нуль того порядка полинома P (z), то P (z) = (z − α) k P k (z), где P k — полином степени n − k и P k (α) 6= 0. Последовательное дифференцирование показывает, что (α) = P 0 (α) = · · · = P (k−1) (α) = в то время как P (k) (α) 6= 0. Другими словами, порядок нуля равен порядку первой отличной от нуля производной в этой точке. Нуль первого порядка называется простым нулем и характеризуется условиями Следующий шаг в расширении класса аналитических функций приводит к рассмотрению рациональных функций) = P представляющих собой отношение двух полиномов. Будем предполагать, что P (z) и Q(z) не имеют общих множителей, а следовательно, и нулей. Кроме того, рассматривая R(z) как функцию со значениями из расширенной комплексной плоскости, можно считать ее непрерывной. Нули Q(z) называются полюсами функции R(z) и им приписывается тот же порядок. Производная) = P 0 (z)Q(z) − Q 0 (z)P существует во всех точках z, где Q(z) 6= 0. Однако, она определена как рациональная функция с теми же полюсами, что и R(z). Порядок каждого полюса функции R 0 (z) возрастает на единицу в сравнении с функцией Большее единство достигается, когда позволяют z пробегать всю расширенную комплексную плоскость C (R : C → C является непрерывной в сферической метрике. При этом R(∞) можно определить предельным переходом. Однако это не дает возможность определить § 3. Комплексная дифференцируемость 21 порядок нуля или полюса в ∞. Поэтому предпочтительнее рассмотреть функцию R 1 (z) = R(1/z), которая также является рациональной функцией, и положить) = Если R 1 (0) = 0 или ∞, то порядок нуля или полюса в ∞ определяется как соответствующий порядок нуля или полюса функции R 1 (z) в точке z = 0. Если) = a 0 + a 1 z + · · · + a n z n b 0 + b 1 z + · · · + то) = z m−n a 0 z n + a 1 z n−1 + · · · + a n b 0 z m + b 1 z m−1 + · · · + где в зависимости от знака m − n попадает в числитель или знаменатель дроби. Если m > n, то R(z) имеет нуль порядка m − n в, а если m < n, то — полюс порядка n − m. В случае m = n имеем) = Можно теперь подсчитать общее количество нулей и полюсов рациональной функции в расширенной плоскости. При сделанных предположениях относительно бесконечно удаленной точки общее число нулей равно наибольшему из чисел m и n и равно общему числу полюсов. Это общее число для нулей и полюсов называется порядком рациональной функции. Если a — произвольная константа, то рациональная функция) − a имеет тоже общее количество полюсов (они просто совпадают, что и R(z). Таким образом, их порядки совпадают. Однако нули функции R(z) − a являются корнями уравнения R(z) = a, и мы приходим к следующему результату. Теорема 3. Рациональная функция R(z) порядка k имеет k нулей и полюсов. Кроме того, каждое уравнение R(z) = a имеет в точности k корней. Упражнения 1. Покажите, что постоянная аналитическая в круге |z−a| < r функция не может иметь тождественно постоянную абсолютную величину Глава I . Комплексные числа и функции. Покажите, что гармоническая функция u(x, y) удовлетворяет дифференциальному уравнению с формальными производными 0. 3. Докажите, что функции f (z) и f (z) являются аналитическими одновременно Степенные ряды Понятие предела последовательности, как и предела функции, в комплексном анализе вводится посредством модуля совершенно аналогично вещественному случаю. При исследовании вопроса сходимости также важную роль играет понятие фундаментальной последовательности и имеет место критерий Коши. Совершенно аналогично вещественному случаю строится теория абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами. Что касается условно сходящихся рядов, тов комплексном случае эта теория богаче, номы не имеем возможности на ее детальное обсуждение. Некоторые особенности условно сходящихся рядов с комплексными членами отражены в упражнениях. Совершенно без изменений формулируется понятие равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. При этом предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией, и если функциональный ряд мажорируется абсолютно сходящимся числовым рядом, то он равномерно сходится (признак Вейерштрасса). Под степенным рядом понимается функциональный ряд вида+ a 1 z + · · · + a n z n + . . . где a n — комплексные числа, называемые коэффициентами ряда, а — комплексная переменная. Можно рассмотреть более общий вид степенного ряда − z 0 ) n , но при его изучении не возникает существенных особенностей. Он сразу же принимает вид (1) после замены переменной ζ = (z − Почти тривиальный, но важный пример степенного ряда представляет так называемый геометрический ряд 1 + z + z 2 + . . . . Его § 4. Степенные ряды 23 частные суммы можно записать в виде + z + . . . + z n−1 = 1 − z n 1 − Поскольку z n → 0 при |z| < 1 и |z n | ≥ 1 при |z| ≥ 1, то геометрический ряд сходится к 1/(1 − z) при |z| < 1 и расходится при |z| ≥ 1. Оказывается, что ситуация с геометрическим рядом является типичной. В действительности, для каждого степенного ряда существует свой круг сходимости. Теорема (Абеля). Для каждого степенного ряда (1) число = называемое радиусом сходимости, удовлетворяет следующим условиям) В каждом круге |z| ≤ ρ < R ряд (1) сходится абсолютно и равномерно) Если |z| > R, то ряд (1) расходится) Сумма ряда является аналитической в круге |z| < R функцией и ее производная представляет собой сумму почленно продифференцированного ряда (Доказательство. Пусть ρ < R. Выберем ρ 0 ∈ (ρ, R). Поскольку то найдется такой номер |