Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 1 1 1 2 2 2 : 2; 1;1 , 1; 2; 3 : 5; 2; 8 , 2;1; 4 . d M p d Находим 1 2 3; 3; 7 M и вычисляем смешанные произведение векторов 0 3 2 M M p p Значит, данные прямые лежат водной плоскости. При этом Итак, выполняются условия (5.3), те. прямые 1 d и 2 d пересекаются. ● 2. Взаимное расположение прямой и плоскости. Возможны следующие случаи их взаимного расположения риса Рис. 3.15 a) Прямая d пересекает плоскость тогда и только тогда, когда направляющий вектор p прямой не параллелен плоскости , те. когда 1 2 3 0. Ap Bp Cp (5.7) b) Прямая || d тогда и только тогда, когда вектор || p и точка 0 M не лежит в этой плоскости (рис. 29b): 1 2 3 0 0 0 0, 0. Ap Bp Cp Ax By Cz D (5.8) p 0 M p 0 M p d Глава III. Плоскость и прямая в пространстве c) Аналогично, прямая d лежит в плоскости тогда и только тогда, когда выполняются равенства 1 2 3 0 0 0 0, 0. Ap Bp Cp Ax By Cz D (5.9) Пример 14. Выяснить взаимное расположение прямой и плоскости, заданных в аффинной системе координат уравнениями 1 3 : ; : 3 6 8 0. 10 4 6 x y z d x y z ○ По каноническим уравнениям прямой находим точку 0 0; 1; и направляющий вектор 10; 4; 6 || . p d Вычисляем последовательно 1 2 3 0 0 0 3 10 6 4 1 6 0, 3 0 6 1 1 3 8 11 0. Ap Bp Cp Ax By Cz D Таким образом, выполнены условия (5.8), те. прямая и плоскость параллельны. 3. Взаимное расположение двух плоскостей. Пусть в некоторой аффинной системе координат заданы две плоскости и 2 своими уравнениями (5.12): 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0, (5.10) 0. (5.11) A x B y C z D A x B y C z Выясним взаимное расположение плоскостей 1 и Так как координаты каждой общей точки плоскостей 1 и 2 являются решением системы уравнений (5.12) и обратно (те. каждое решение системы уравнений (5.12) является координатами общей точки плоскостей 1 и 2 ), то вопрос о взаимном расположении двух плоскостей и 2 сводится к исследованию системы линейных уравнений (5.10) и (5.11). Обозначим через r и R соответственно ранги матриц 1 1 1 2 2 2 A B C A A B C и 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A A B C D § 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве Ясно, что , r R причем по теореме Кронекера — Капелли система уравнений (5.10) и (5.11) совместна тогда и только тогда, когда Таким образом, плоскости 1 и 2 имеют хотя бы одну общую точку тогда и только тогда, когда Возможны следующие случаи 1. 1. R Это означает, что строки матрицы A пропорциональны как и матрицы А, те. уравнения (5.10) и (5.11) отличаются друг от друга только коэффициентом пропорциональности. Другими словами уравнения (5.10) и (5.11) задают одну и туже плоскость, те. плоскости 1 и 2 совпадают. 2. R r Тогда плоскости 1 и 2 различны (они не могут совпадать, так как 1 R ) и имеют хотя бы одну общую точку (теорема Кроне- кера — Капелли), те. плоскости пересекаются по прямой. 3. 2, 1. R r По теореме Кронекера — Канелли система (5.12) не- совместна, поэтому плоскости 1 и 2 не имеют общих точек, те. 1 2 || Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям 96 Глава ИЗУЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПО КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ [1] § 1. Поверхности второго порядка. Метод сечений 1. Напомним, что уравнением поверхности в некоторой системе координат в пространстве называется уравнение F(x, у, z)=0, (1) которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой поверхности. Так, в аффинной системе координат уравнение первой степени 0 D Сz Ву Ах есть уравнение плоскости. В прямоугольной системе координат уравнение хау есть уравнение сферы с центром С (ас) радиуса r. Все поверхности подразделяются на два больших класса алгебраические и неалгебраические (или трансцендентные. Поверхность S называется алгебраической, если в какой-нибудь аффинной системе координат ее уравнение можно записать в виде (1), в котором х, у, z) — многочлен относительно х, у, z, те. алгебраическая сумма конечного множества членов вида ax p y q z r , где коэффициента действительное число, отличное от нуля, ар и r — неотрицательные целые числа. Число p + q + r называется степенью члена ax p y q z r , где а . Степенью многочлена называется наивысшая из степеней его членов. Порядком алгебраической поверхности называют степень ее уравнения в какой-либо аффинной системе координат (те. степень многочленах, у, z) в уравнении (1) этой поверхности. Можно доказать, что свойство поверхности быть алгебраической, а также порядок не зависят от выбора аффинной системы координат. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству соответствующей теоремы для алгебраических линий, поэтому мы его опускаем. Все поверхности первого порядка являются плоскостями. Сфера является примером поверхности второго порядка. § 1. Поверхности второго порядка. Метод сечений В этой главе будут изучены поверхности второго порядка. Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых в какой-либо аффинной системе координат удовлетворяют уравнению второй степени 0 a z a 2 y a 2 x a 2 yz a 2 xz a 2 xy a 2 z a y a x a 00 30 20 10 23 13 12 2 33 2 22 2 11 (2) где а, а, …, а — действительные числа, причем не все коэффициенты при членах второй степени равны нулю Мы не будем исследовать общее уравнение (2) поверхности второго порядка, а рассмотрим лишь основные типы таких поверхностей, используя их простейшие (так называемые канонические) уравнения. При этом для изучения формы поверхности часто будем прибегать к методу сечений, который описан в следующем пункте. 2. Метод сечений применим к любой поверхности, а не только к поверхности второго порядка. При этом оказывается удобно пользоваться прямоугольной системой координат. Сущность метода сечений состоит в следующем. Пусть поверхность S задана в прямоугольной системе координат уравнением (1). Поверхность S пересекаем плоскостями, параллельными координатным плоскостям (или самими координатными плоскостями, и находим линии пересечения поверхности с этими плоскостями. По виду этих линий и выносится суждение о форме поверхности S. Применение метода сечений основано наследующей теореме. Теорема 1. Пусть в прямоугольной системе координат k заданы поверхность S уравнением (1) и плоскость , параллельная плоскости Оху или совпадающая с ней, уравнением z = h. Если поверхность S пересекается с плоскостью по линии , то проекция линии на плоскость Оху в системе координат j имеет уравнение F(x, у, h) = 0. (3) Пусть ’ — проекция линии на плоскость Оху (рис. 4.1). Докажем, что на плоскости Оху координаты любой точки линии ’ удовлетворяют уравнению (3), а координаты точки плоскости Оху, не лежащей на линии ’, не удовлетворяют этому уравнению. Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Рис. 4.1 Возьмем произвольную точку М' линии ', которая в системе координат на плоскости Oxy имеет координаты х, у. Этаже точка в системе координат k j i O в пространстве имеет координаты (х, у, 0). Так как точка М' лежит на кривой ', то она является проекцией некоторой точки М кривой . Ясно, что точка М в пространстве имеет координаты Мху) (см. рис. 4.1). Но точка М лежит и на поверхности S, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению (1): у) = 0. Мы получили, что координаты произвольной точки М, лежащей на линии ', удовлетворяют уравнению (3). Возьмем теперь на плоскости Оху произвольную точку Руне лежащую на линии '. Проведем через точку Р' прямую с направляющим вектором k и обозначим через Р точку пересечения этой прямой с плоскостью . Так как точка Р' имеет в пространстве координаты (х, у, 0), то точка Р имеет координаты (x*, у, h). Но точка Р' не лежит на кривой ', поэтому точка Р не может лежать на кривой . Следовательно, координаты точки Р не удовлетворяют уравнению (3) поверхности S: х, у, h) 0. Значит, если точка плоскости Оху не лежит на линии ', то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3). § 1. Поверхности второго порядка. Метод сечений 99 Следствие . Линия пересечения поверхности S с плоскостью , параллельной плоскости Оху, равна проекции ' этой линии на плоскость Оху В самом деле, параллельный перенос на вектор k h p переводит каждую точку М в соответствующую точку М' '. Следовательно, существует движение, которое совмещает линию с линией ', а это значит, что эти линии равны. § 2. Поверхности вращения 1. Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой d, называется поверхностью вращения (рис. 4.2). Прямая d, вокруг которой производится вращение, называется осью вращения. Вращение точки вокруг оси происходит в плоскости, перпендикулярной оси. В сечении поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, получаются окружности, которые называются параллелями. Плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами. Рис. 4.2 1 Если точка М лежит на прямой d, то окружность, полученная вращением точки М вокруг прямой d, имеет нулевой радиус и состоит из самой точки М. Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям 2. Поверхность вращения может быть образована следующим образом. Пусть в плоскости даны прямая d и линия (рис. 4.3). Поверхность, образованная вращением линии вокруг прямой d, есть поверхность вращения с осью вращения d, Каждая точка линии , вращаясь вокруг прямой d, образует параллель этой поверхности. Рис. 4.3 Докажем теорему, которая позволяет найти уравнение поверхности вращения по уравнению линии на плоскости . Теорема 2. В прямоугольной системе координат k j i O уравнение S: ) z ( f y x 2 2 2 (1) есть уравнение поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oz линии, заданной уравнениями : x = f(z), у = 0. (2) § 2. Поверхности вращения Пусть S — поверхность вращения, образованная вращением вокруг оси Oz линии , заданной уравнениями (2) (рис. 4.3) Докажем, что уравнение (1) является уравнением поверхности S. Возьмем произвольную точку Мху) пространства и проведем через, нее плоскость, перпендикулярную оси Oz. Обозначим через М 0 точку пересечения этой плоскости с осью Oz. Окружность этой плоскости с центром Ми радиусом ММ пересекает плоскость Oxz в двух точках, которые обозначим через Ми М (рис. 4.4). Отрезки ММ, ММ и ММ — радиусы окружности , поэтому они равны друг другу. Так как ММ = 2 1 2 ух, то точки Ми М имеют координаты ). z , 0 , y x ( M ), z , 0 , y x ( M 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Рис. 4.4 Если точка М принадлежит поверхности S, то — параллель поверхности, причем одна из точек Мили М принадлежит линии (см. рис. 4.3), следовательно, ) z ( f ух 2 1 2 1 или ) z ( f ух 2 1 2 1 . Возведя соответствующее уравнение в квадрат, получаем ). z ( f y x 1 2 2 1 2 1 Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Пришли к выводу, что если M S, то координаты точки М удовлетворяют уравнению (1). Если точка Мне принадлежит поверхности S, тони одна из точек и Мне принадлежит линии , те. ) z ( f ухи ух 2 1 Отсюда следует, что ) z ( f y x 1 2 2 1 2 1 , те. координаты точки Мне удовлетворяют уравнению (1). Итак, доказано, что уравнение (1) определяет поверхность S. Замечание. Аналогично можно убедиться в том, что в прямоугольной системе координат уравнение ух) определяет поверхность вращения, образованную вращением вокруг оси Ох линии, заданной уравнениями y = g(x), z = 0, а уравнение х + z 2 = у) определяет поверхность, образованную вращением вокруг оси Оу линии, заданной уравнениями x = h(y), z = 0. Пример 1. В плоскости Oxz прямоугольной системы координат Oxyz дана окружность x 2 + z 2 = r 2 с центром вначале координат радиуса г. Написать уравнение поверхности S, образованной вращением этой окружности вокруг оси Решение. Сначала получим уравнения вида. (2) линии , отвращения которой вокруг оси Oz образуется поверхность. Из уравнения данной окружности находим 2 2 z Здесь знаку «+» соответствует одна полуокружность, а знаку « » — другая полуокружность данной окружности. Ясно, что при вращении вокруг оси Oz каждой из этих полуокружностей получается та же поверхность, что и при вращении всей окружности. Поэтому в качестве линии можно взять одну из указанных полуокружностей, например полуокружность, заданную уравнениями 2 2 z r x , у = 0. По доказанной теореме уравнение поверхности S имеет вид (1): 2 2 2 2 2 ) z r ( y x , или 2 2 2 2 r z y Таким образом, поверхностью S является сфера радиуса r сцен- тром вначале координат. § 2. Поверхности вращения 103 Заметим, что доказанная теорема верна ив том случае, когда в уравнениях (2) функция г) является постоянной. Рассмотрим пример. Пример 2. В плоскости Oxz прямоугольной системы координат Oxz дана прямая ха, параллельная оси Oz. Написать уравнение поверхности, образованной вращением этой прямой вокруг оси Oz. Решение. В данном случае уравнения (2) имеют вид хау. По доказанной теореме поверхность вращения определяется уравнением х + у = а. Эта поверхность, как известно из школьного курса геометрии, называется цилиндром вращения (или прямым круговым цилиндром. Она изображена на рисунке 4.5. § 3. Цилиндрические поверхности 1. Поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой М она содержит всю прямую, проходящую через М, параллельную данному ненулевому вектору р, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. Прямые, параллельные вектору р и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности. Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть — некоторая линия, ар ненулевой вектор. Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через некоторую точку линии параллельно вектору р, будет цилиндрической. В этом случае линия называется направляющей этой поверхности (рис. 4.6). Рис. 4.5 Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Докажем следующую теорему. Теорема 3. Пусть в пространстве дана прямоугольная система координат j i O ив плоскости Оху в системе координат j i O задана линия своим уравнением F(x,y) = 0. (1) Тогда уравнение (1) определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с направляющей линией и образующими, параллельными вектору k Возьмем произвольную точку М(х 1 ,y 1 ,z 1 ) пространства и рассмотрим прямую с направляющим вектором k , проходящую через эту точку. Эта прямая пересекает плоскость Оху в некоторой точке М, которая в системе k j i O имеет координаты (х, у, 0). Этаже точка М на плоскости Оху в системе j i O имеет координаты (х, у. Если М — точка поверхности S, то прямая ММ является образующей поверхности S, поэтому точка М лежит на кривой . Отсюда следует, что координаты (x 1 , уточки М удовлетворяют уравнению (1) линии : F(х 1 ,у 1 ) = 0. Полученное равенство означает, что координаты точки Мху) удовлетворяют уравнению (1). Если точка Мне принадлежит поверхности S, то точка Мне лежит на кривой , поэтому ее координаты (х, у) не удовлетворяют уравнению линии : х, у) 0. Полученное неравенство означает, что координаты, точки Мху) не удовлетворяют уравнению (1). Итак, доказано, что уравнение (1) есть уравнение цилиндрической поверхности с направляющей линией и образующими, параллельными оси Oz (одной из образующих будет служить сама ось Oz, если О ). Замечание. Аналогично можно убедиться в том, что если уравнение G(x,z) = 0 в плоскости Oxz в системе j i O определяет линию то это же уравнение в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, для которой линия ' служит направляющей, а образующие параллельны осиОу. Рис. 4.6 |