Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 3. Цилиндрические поверхности 105 Точно также, если уравнениеН(у,z) = 0 в плоскости Oyz в системе k j O определяет линию ", то это же уравнение в пространстве определяет цилиндрическую поверхность с направляющей " и образующими, параллельными оси Ох 2. Если уравнение (1) является уравнением второй степени относи- тельнох и у (те. если — линия второго порядка, то цилиндрическая поверхность с направляющей и образующими, параллельными вектору является цилиндрической поверхностью второго порядка (короче, цилиндром второго порядка. Этот цилиндр называется эллиптическим, гиперболическим, параболическим в зависимости оттого, является ли его направляющая (1) эллипсом, гиперболой или параболой. Возможен также случай, когда направляющая цилиндрической поверхности распадается на прямые d 1 и d 2 (пересекающиеся, параллельные или слившиеся. Проведя через каждую точку линии прямую, параллельную вектору k , мы получим плоскости 1 и, проходящие через прямые d 1 и d 2 и параллельные вектору k . В этом случае мы скажем, что цилиндр второго порядка распадается на пару плоскостей и Если прямоугольную систему координат k j i O выбрать так, чтобы образующие цилиндрической поверхности второго порядка были параллельны вектору k , а направляющая в системе j i O имела каноническое уравнение, то указанные выше цилиндрические поверхности определяются следующими уравнениями 1 b y a x 2 2 2 2 — эллиптический цилиндр (рис. 4.7); 1 b y a x 2 2 2 2 — гиперболический цилиндр (рис. 4.8); px 2 y 2 — параболический цилиндр (рис. 4.9); 0 b y a x 2 2 2 2 — цилиндр, распавшийся на пару пересекающихся по оси Oz плоскостей (рис. 4.10); 0 a , 0 a x 2 2 — цилиндр, распавшийся на пару параллельных плоскостей (рис. 4.11); х = 0 — цилиндр, представляющий собой пару совпавших плоскостей. Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Рис. 4.7 Рис. 4.8 Рис. 4.9 Рис. 4.10 Рис. 4.11 § 3. Цилиндрические поверхности 107 Эти уравнения называются каноническими уравнениями соответствующих цилиндрических поверхностей второго порядка. Замечание. Если в каноническом уравнении эллиптического цилиндра а = b, то направляющей цилиндра служит окружность 2 2 2 a y x , лежащая в плоскости Оху. В этом случае поверхность является цилиндром вращения (см. § 2, пример 2, рис. 4.5). § 4. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения 1. Определение. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой М, отличной от точки М, эта поверхность содержит прямую ММ. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими этого конуса. Отметим, что из определения конуса вовсе не следует, что он имеет единственную вершину. Например, плоскость является конической поверхностью, каждая точка которой может быть принята в качестве вершины. Коническую поверхность можно получить следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию и точку Мне лежащую на линии . Поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку Ми через некоторую точку линии , является конической поверхностью с вершиной М (риса. В этом случае линия называется направляющей. На рисунке б изображена коническая поверхность Ф с вершиной вначале прямоугольной системы координат, направляющей которой служит эллипс : ). 0 c ( , c z , 1 b y a x 2 2 2 2 (1) Найдем уравнение этой конической поверхности. Пусть точка Мху, отличная от точки О, принадлежит конусу Ф. Тогда прямая ОМ пересечет направляющую в некоторой точке х, ус. Так как ОМ и векторы ON и OM коллинеарны, то найдется такое вещественное число t, что OM t ON , или в координатах х = х, y 1 = ty, c = tz. Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям а б Рис. 4.12 Отсюда, учитывая, что z 0 (так как с 0), находим z cx x 1 , z cy y 1 . Подставив полученные выражениях, у в первое из равенств (1), после очевидных преобразований найдем 0 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 (2) Заметим, что этому уравнению удовлетворяют и координаты точки О (0,0,0) — вершины конуса. Таким образом, координаты любой точки конуса Ф удовлетворяют уравнению (2). Возьмем теперь какую-нибудь точку M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ), не принадлежащую конусу Ф (см. рис.4.12б). Точка M 1 не совпадает сточкой О, поэтому если z 1 = 0, то х 0 иди у 0. Отсюда следует, что координаты точки M 1 не удовлетворяют уравнению (2). Рассмотрим случай, когда z 1 0. Прямая ОМ пересечет плоскость z = c в некоторой точке N 1 (х, y 2 , с. Как и выше, мы находим 1 1 2 z cx x , 1 1 2 z cy y (3) § 4. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения 109 По условию М Фи поэтому точка N 1 не лежит на эллипсе . Отсюда следует, что числах, ус не удовлетворяют системе (1), те. 1 b y a x 2 2 2 2 2 2 . Подставляя сюда вместо х, у их выражения по формулам, получим 0 c z b y a x 2 2 1 2 2 1 2 Итак, если точка M 1 не принадлежит конусу Ф, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (2). Мы доказали, что уравнение (2) и есть уравнение конуса Ф. Это уравнение есть уравнение второй степени, поэтому конус Ф называется конусом второго порядка. Уравнение (2) называется каноническим уравнением конической поверхности второго порядка. В случае, когда направляющая (1) конической поверхности второго порядка является окружностью, те. когда а = b. уравнение (2) принимает вида) Поверхность, определяемая этим уравнением в прямоугольной системе координат, называется круговой конической поверхностью или круговым конусом (рис. 4.13). Как легко заметить, эта поверхность образована при вращении вокруг оси Oz прямой, лежащей в плоскости Охи заданной в системе координат k i O уравнением z c a x . Все образующие круговой конической поверхности составляют один и тот же угол 0 с плоскостью Оху, где a c рис. 4.13). 3. Рассмотрим сечения круговой конической поверхности (4) различными плоскостями. Возможны три случая. Рис. 4.13 Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям а) Плоскость сечения параллельна координатной плоскости Оху или совпадает с ней. В этом случае она имеет уравнение z = h, поэтому по теореме о сечениях проекция сечения на плоскость Оху определяется уравнением 2 2 2 2 2 2 c h a y a x или 2 2 2 r y x , где c | h | a r . Если 0 h , то этим уравнением определяется окружность радиуса r сцен- тром вначале координата если h = 0 начало координат (рис. 4.13). Таким образом, любая плоскость, параллельная плоскости Оху, пересекает круговой конус (4) по окружности. б) Плоскость сечения 0 проходит через вершину конуса и образует с плоскостью Оху угол , где 2 0 . Из наглядно геометрических соображений ясно, что возможны три случая а) если < 0 , то плоскость, кроме вершины, не имеет других общих точек с круговым конусом (плоскость 0 на риса б) если = 0 , то плоскость 0 и круговой конус имеют одну и только одну общую образующую. В этом случае говорят, что плоскость 0 касается конуса по образующей плоскость 0 на рис. б если > 0 , то плоскость 0 и круговой конус имеют две общие образующие (плоскость 0 на рис. в. а б в Рис. 4.14 § 4. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения 111 Итак, плоскость 0 , проходящая через вершину конуса, либо не имеет ни одной общей точки с круговым конусом, кроме вершины, либо касается конуса, либо пересекает конус по двум образующим. в) Плоскость сечения не проходит через вершину конуса и образует с плоскостью Оху угол , где 2 0 . Можно доказать, что в этом случае кривая пересечения плоскости с круговым конусом есть эллипс, парабола или гипербола (риса, б ив. Коническим сечением называется линия, по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью, не проходящей через вершину. Таким образом, коническими сечениями являются эллипс, гипербола и парабола. § 5. Эллипсоид Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 (1) Это уравнение называется каноническим уравнением эллипсоида. Положительные числаа, b, с называются полуосями эллипсоида Если b, b c, c a, то эллипсоид называется трехосным. Так как в уравнении (х, у, входят только в четных степенях, то эллипсоид, заданный уравнением (1), симметричен относительно координатных плоскостей, начала координат и осей координат. Центр симметрии эллипсоида называется его центром а оси симметрии — его осями. Каждая из осей пересекает эллипсоид в двух точках, которые называются его вершинами У трехосного эллипсоида шесть вершин А 1 (а.0,0), А 2 ( а,0,0), В, В 2 (0, b,0),С 1 (0,0,с), С 2 (0,0, с). Найдем промежутки изменения координат точек эллипсоида. Из уравнения (1) следует, что ах у 2 и 1 c z 2 2 . Поэтому a x a , b y b , c z c Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Отсюда следует, что все точки эллипсоида (за исключением его вершин) лежат внутри прямоугольного параллелепипеда с измере- ниями2а, 2b, с грани которого параллельны координатным плоскостями вершины эллипсоида служат центрами симметрии этих граней рис. 4.15). Рис. 4.15 2. Изучим форму эллипсоида методом сечений (теорема 1 из § 1 ) . Если эллипсоид, заданный уравнением (1) в прямоугольной системе координат ijk , пересечь плоскостью z = h то проекция сечения на плоскостьОху в системе координат O ij имеет уравнение 2 2 2 2 2 2 c h 1 b y a x (2) Возможны следующие три случая. 1) |h| < с. В этом случаев сечении мы получим эллипс, центр которого лежит на оси Oz (плоскость 1 на рис. 4.16). В самом деле, проекция сечения на плоскость Оху имеет уравнение § 5. Эллипсоид h 1 b y c h 1 a x 2 2 2 2 2 2 2 Рис. 4.16 Это уравнение определяет эллипс с полуосями 2 2 c h 1 a * a , 2 2 c h 1 b * b . Приуменьшении полуоси а, b* возрастают и при |h| = 0 имеем а = а, b* = b. Следовательно, плоскость Оху пересекает эллипсоид (1) по эллипсу 1 b y a x 2 2 2 2 2) |h| = c. Уравнение (2) принимает вид 0 b y a x 2 2 2 2 . Кривая на плоскости Оху представляет собой две мнимые прямые, пересекающиеся в вещественной точке (0,0). Плоскость z = h имеет с эллипсоидом лишь одну общую точку — вершину эллипсоида (плоскости и 3 на рис. 4.16). Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям 3) |h| > с. Уравнение (2) есть уравнение мнимого эллипса. Плоскость не имеет с эллипсоидом общих точек (плоскость 4 на рис. 4.16). Аналогично можно показать, что сечение эллипсоида (1) плоскостью х = h или y = h является эллипсом, вершиной эллипсоида или пустым множеством. Мы получили достаточно полное представление о форме эллипсоида. Поверхность изображена на рисунке 4.16. 3. Если две полуоси эллипсоида равны, например а = b, то он называется эллипсоидом вращения и имеет каноническое уравнение 1 c а y a x 2 2 2 2 2 2 (3) Пользуясь результатами § 75, заключаем, что поверхность, определяемая уравнением (3), действительно образована вращением эллипса, лежащего в плоскости Oxz (или вращением одной из его половин, симметричных относительно Oz) вокруг оси Oz. Если все три оси эллипсоида равны a = b = c, то он представляет собой сферу x 2 + y 2 + z 2 = a 2 . Следовательно, сфера есть частный случай эллипсоида. Докажем, что любой трехосный эллипсоид можно получить из некоторого эллипсоида вращения с помощью сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения. В самом деле, пусть данный трехосный эллипсоид F в прямоугольной системе координат Oijk имеет уравнение. Рассмотрим эллипсоид вращения G, который в этой же системе координат задан уравнением (3), и применим к поверхности G сжатие пространства к плоскости Ох с коэффициентом сжатия a b k . Аналитическое выражение этого сжатия запишется так z ' z , y a b ' y , x ' x (4) § 5. Эллипсоид 115 При этом сжатии эллипсоид вращения G, заданный уравнением (3), перейдет в новую поверхность G', которая в системе координат k j определяется уравнением 1 c z b y a x 2 12 2 12 2 12 (5) Это уравнение получается из уравнения (3), если в нем заменить х, у, z их выражениями по формулам (4). Сравнивая уравнения (5) и (1), мы заключаем, что G' совпадает с эллипсоидом F. Теперь докажем, что любой эллипсоид вращения в свою очередь получается из некоторой сферы с помощью сжатия к плоскости, проходящей через центр сферы. В самом деле, пусть данный эллипсоид вращения G в прямоугольной системе координат k j i O имеет уравнение. Рассмотрим сферу S, которая в той же системе координат задана уравнением х + у + z 2 = a 2 . Применим к этой сфере сжатие пространства к плоскости Оху с коэффициентом c k : x ' x, y ' y, a c z ' z. a Проведя рассуждения, аналогичные проделанным выше, получим, что сфера S переходит в поверхность S', которая в системе координат определяется уравнением (3). Таким образом, поверхность' совпадает с эллипсоидом вращения G. Учитывая вышесказанное, мы приходим к выводу, что любой трехосный эллипсоид (1) можно получить из некоторой сферы с помощью последовательного сжатия к двум взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии этой сферы. § 6. Гиперболоиды Различают однополостные и двуполостные гиперболоиды. 1. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 (1) Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Это уравнение называется каноническим уравнением однополостного гиперболоида. Так как в уравнении (1) х, у и z входят в четных степенях, то поверхность симметрична относительно плоскостей координат, осей координат (оси поверхности) и начала координат (центр поверхности. Две оси Охи Оу пересекают поверхность в точках А (а, А (аи В, В. Эти оси называются действительными осями однополостного гиперболоида, а указанные точки — его вершинами. Третья ось симметрии (ось Oz) не имеет общих точек с однополостным гиперболоидом и называется его мнимой осью. Положительные числа ас называются полуосями однополостного гиперболоида. 2. Исследуем вопрос о пересечении однополостного гиперболоида с прямыми, проходящими через его центр. Всякая такая прямая может быть определена точкой О (0,0,0) некоторым направляющим вектором р (р 1 , р, р) и, значит, имеет параметрические уравнения x = p 1 t, y = p 2 t, z = p 3 t. (2) Найдем значения параметра t для точек пересечения этой прямой с однополостным гиперболоидом (1). Для этого надо выражения для х, у, z по формулам (2) подставить в уравнение (1). Получим уравнение 0 1 Pt 2 (3) где c p b p a p P 2 2 3 2 2 2 2 Возможны три случая. 1) P > 0. В этом случае уравнение (3) имеет два действительных корня , P 1 t , P 1 t 2 1 и, значит, прямая пересекает однополостный гиперболоид в двух точках, которые симметричны относительно центра поверхности. 2) Р = 0. Уравнение (3) не имеет решений, поэтому прямая (2) не пересекает поверхности. Такая прямая называется асимптотой поверхности) (она проходит через центр поверхности и не имеет с ней общих точек. § 6. Гиперболоиды) Р < 0. Уравнение (3) имеет мнимые комплексно-сопряженные корни, поэтому прямая (2) не пересекает поверхность (1) (говорят, что прямая) пересекает поверхность (1) в комплексно-сопряженных точках. Возникает вопрос как расположены все асимптоты поверхности (1)? Каждая асимптота проходит через центр поверхности, а ее направляющий вектор р (р 1 , р, р) удовлетворяет условию 0 c p b p a p 2 2 3 2 2 2 2 Точка Мху) принадлежит асимптоте тогда и только тогда, когда вектор ОМ (х, у, z) коллинеарен направляющему вектору р (р 1 ,р 2 ,р 3 ) асимптоты, те. когда существует такое t, что x = tp 1 , y = tp 2 , z = tp 3 . Найдем отсюда значения р и p 2 , р и подставим в предыдущее равенство 0 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 (4) Как известно (см. § 4), это уравнение определяет коническую поверхность, которая называется асимптотическим конусом однополостного гиперболоида (1). Вершиной этого конуса служит центр поверхности (1). Можно доказать, что если прямая ОМ, где О — вершина асимптотического конуса, проходит внутри этого конуса, то для этой прямой Р < 0, поэтому согласно предыдущему выводу она не имеет с поверхностью) общих точек. Если же прямая ON проходит вне конуса, то P > 0, поэтому она пересекает поверхность (1) в двух и только в двух точках, симметричных относительно точки О. 3. Пусть однополостный гиперболоид в прямоугольной системе координат определяется уравнением (1). Изучим форму поверхности методом сечений. Если поверхность пересечь плоскостью z = h, то проекция сечения на плоскость Оху в системе координат j i O имеет уравнение c h 1 b y a x 2 2 2 2 2 2 (5) Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Это уравнение определяет эллипс с полуосями 2 2 h c c a * a , 2 2 h c c b * b . При h = 0 получим эллипс 1 b y a x 2 2 2 2 (сечение поверхности) плоскостью Оху), который называется горловым эллипсом однополостного гиперболоида. При неограниченном возрастании |h| полуоси а, b* эллипса (5) неограниченно возрастают, а следовательно, неограниченно возрастают и полуоси эллипса, полученного в сечении поверхности (1) плоскостью z = h. Уравнения этого эллипса (равного эллипсу, имеют вид h z , 1 *) b ( y *) a ( x 2 2 2 Если поверхность (1) пересечь плоскостью x = h, то проекция этого сечения на плоскость Oyz в системе координат k j O имеет уравнение a h 1 c z b y 2 2 2 2 2 2 (6) Здесь рассмотрим три случая. 1) h < a. В этом случае 0 a h 1 2 2 , уравнение (6) определяет гиперболу с мнимой осью Oz. В сечении получим равную ей гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Oz, 2) |h| = a. Уравнение (6) принимает вид 0 c z b y 2 2 2 Это уравнение определяет пару прямых, пересекающихся вначале координат. Поэтому каждая из плоскостей ха, ха пересекает поверхность) по паре прямых, пересекающихся на оси Ох. 3) |h|>a. В этом случае , 0 a h 1 2 2 уравнение (6) определяет гиперболу с мнимой осью Оу. В сечении имеем равную ей гиперболу с мнимой осью, параллельной оси Оу. |