Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград

• Название: Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 3.17 Mb.
• Имя файла: Попов Анал. Геом.pdf
• Тип: Лекции; #755703
• страница: 12 из 19

§ 6. Гиперболоиды
119
Аналогичный результат мы получим и при пересечении поверхности) плоскостью y = h. Однополостный гиперболоид изображен на рисунке 4.17. Рис. 4.17 4. Если уравнение (1) а = b, то получим уравнение поверхности в виде
,
1
c z
a y
a x
2 2
2 2
2 2



(7) которая называется однополостным гиперболоидом вращения. Как легко видеть, эта поверхность образована вращением гиперболы
1
c z
a x
2 2
2 2


(8) вокруг оси О (вокруг мнимой оси гиперболы. Асимптотический конус поверхности (7) определяется уравнением
0
c z
a y
a x
2 2
2 2
2 Это есть конус вращения, образованный вращением асимптот гиперболы) (те. прямой z
c a
x

или z
c a
x


вокруг оси Oz).

Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Докажем, что любой однополостный гиперболоид можно получить из некоторого однополостного гиперболоида вращения с помощью сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения
В самом деле, пусть данный однополостный гиперболоид F в прямоугольной системе координат k
j i
O



имеет уравнение (1). Рассмотрим однополостный гиперболоид вращения G, который в той же системе координат задан уравнением (7), и применим к поверхности G сжатие пространства к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия z
'
z
,
y a
b
'
y
,
x
'
x
:
a При этом сжатии, как нетрудно убедиться, поверхность G переходит в поверхность G', которая в системе координат k
j i
O



определяется уравнением (1). Таким образом, поверхность G' совпадает сданным однополостным гиперболоидом F.
5) Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением
1
c z
b y
a x
2 2
2 2
2 2




(9) Это уравнение называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида
Из уравнения (9) следует, что поверхность симметрична относительно плоскостей координат, осей координат (оси поверхности) и начала координат (центр поверхности. Ось Oz пересекает поверхность в двух точках С
1
(0,0,с) и C
2
(0,0, с, называемых вершинами двуполостного гиперболоида сама эта прямая называется вещественной осью. Оси симметрии Охи Оу не имеют с поверхностью (9) общих точек и называются мнимыми осями этой поверхности. Положительные числа ас называются полуосями двуполостного гиперболоида. Исследование вопроса о пересечении поверхности (9) с прямыми, проходящими через ее центр, в точности совпадает с исследованием этого вопроса, проведенным выше для однополостного гиперболоида. Здесь получим, что множество асимптот поверхности (9) образует конус) с вершиной в центре поверхности — асимптотический конус этой поверхности.

§ 6. Гиперболоиды
121
Если поверхность, заданную в прямоугольной системе координат k
j i
O



уравнением (9), пересечь плоскостью z = h, то проекция сечения на плоскость Оху в системе координат j
i
O


имеет уравнение
1
c h
b y
a x
2 2
2 2
2 2



(10) При |h| > c это уравнение определяет эллипс, поэтому сечения двуполостного гиперболоида плоскостями z = h, где |h| > c, представляют собой эллипсы. При h = c или h =
 c уравнение (10) определяет пару мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке, поэтому каждая из плоскостей z = c и z =
 c имеет только одну общую точку с поверхностью — вершину поверхности. При |h| с уравнение (10) определяет мнимый эллипс, поэтому плоскости z = h, где |h| < c, не имеют общих точек с двуполостным гиперболоидом. Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что сечения поверхности (9) плоскостями x = h или y = h — гиперболы. Двуполостный гиперболоид изображен на рисунке 4.18. Рис. 4.18

Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям
6) Если в уравнении (9) а = b, то получим уравнение поверхности
1
c а y
a x
2 2
2 2
2 2




,
(11) которая называется двуполостным гиперболоидом вращения. Заметим, что эта поверхность образована вращением гиперболы
1
c z
a x
2 2
2 вокруг оси О (вокруг действительной оси этой гиперболы. Аналогично предыдущему (см. п. 4) можно убедиться в том, что при сжатии пространства к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия a
b k
 поверхность (11) переходит в поверхность (9). Следовательно, любой двуполостный гиперболоид можно получить из некоторого двуполостного гиперболоида вращения с помощью сжатия к плоскости, проходящей через ось вращения 7. Параболоиды Различают эллиптические и гиперболические параболоиды.
1. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением а y
a x
2 2
2 2


(1) Это уравнение называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. Так как хи у входят в уравнение (1) в четных степенях, то эллиптический параболоид симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyz и относительно оси Oz (ось поверхности. Эта поверхность несимметрична относительно плоскости Оху, относительно осей Ох, Оу и начала координат. Точка пересечения эллиптического параболоида сего осью называется вершиной. Если поверхность задана каноническим уравнением
(1), то начало координат выбрано в вершине поверхности.

§ 7. Параболоиды
123
Из уравнения (1) заключаем, что для всех точек эллиптического параболоида выполняется соотношение z
 0, причем z = 0 выполняется только для вершины. Следовательно, все точки эллиптического параболоида (1), кроме его вершины, расположены по одну сторону от плоскости Оху.
2. Изучим форму эллиптического параболоида методом сечений. Если поверхность, заданную в прямоугольной системе координат k
j i
O



уравнением (1), пересечь плоскостью z = h, то проекция сечения на плоскость Оху в системе координат j
i
O


имеет уравнение h
2
b y
a x
2 2
2 2


(2) Здесь возможны три случая.
1) h > 0. Линия (2) (а значит, и равная ей линия, полученная в сечении) является эллипсом с полуосями h
2
b
*
b
,
h
2
a
*
a


. Эти полуоси неограниченно возрастают при неограниченном возрастании h.
2) h = 0. Линия (2) — пара мнимых прямых, пересекающихся вначале координат. Значит, плоскость z = 0 имеет с поверхностью лишь одну общую действительную точку.
3) h < 0. Уравнение (2) определяет мнимый эллипс. Значит, плоскость не пересекает поверхность. Если данную поверхность пересечь плоскостью y = h, тов сечении получим параболу, проекция которой на плоскость Oxz имеет уравнение. Следовательно, все эти параболы при изменении равны между собой и равны параболе х = 2a
2
z, полученной в сечении, поверхности (1) координатной плоскостью Oxz. Аналогично убеждаемся, что в сечении поверхности (1) плоскостью x = h получим параболу. Все такие параболы равны параболе y
2
= 2b
2
z, которая получается в сечении поверхности плоскостью Oyz.
3. Если в уравнении (1) а = b, то получим уравнение поверхности в виде а y
a x
2 2
2 2


,
(3) которая называется параболоидом вращения. Нетрудно заметить, что эта поверхность получена вращением параболы х = 2a
2
z вокруг ее оси (оси Oz).

Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Пусть дан параболоид вращения своим каноническим уравнением
(3). При сжатии пространства к плоскости Oxz с коэффициентом сжатия поверхность (3) переходит в поверхность (1). Следовательно, любой эллиптический параболоид можно получить из параболоида вращения с помощью сжатия к плоскости, проходящей через ось
вращения
Эллиптический параболоид изображен на рисунке 4.19. Рис. 4.19

§ 7. Параболоиды. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением z
2
b y
a x
2 2
2 2


(4) Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболического параболоида. Как ив случае эллиптического параболоида, гиперболический параболоид) симметричен относительно плоскостей Oxz, Oyz и относительно оси Oz (ось поверхности. Эта поверхность несимметрична относительно плоскости Оху, осей Ох, Оу и начала координат. Точка пересечения гиперболического параболоида сего осью называется вершиной. Если поверхность задана каноническим уравнением, то начало координат выбрано в вершине этой поверхности.
5. Изучим форму гиперболического параболоида методом сечений. Если поверхность, заданную в прямоугольной системе координат k
j i
O



уравнением (4), пересечь плоскостью z = h, то проекция сечения на плоскость Оху в системе координат имеет уравнение h
2
b y
a x
2 2
2 2


(5) Возможны три случая.
1) h > 0. Линия (5) является гиперболой с вещественной осью Ох. Следовательно, и равная ей линия пересечения поверхности (4) с плоскостью z = h, h > 0, является гиперболой, вещественная ось которой параллельна оси Ох.
2) h = 0. Плоскость z = 0 (плоскость Оху) пересекает поверхность
(4) по паре прямых
0
b y
a x
,
0
b y
a x




, пересекающихся в вершине поверхности.
3) h < 0. Как ив случае 1), находим, что сечением поверхности (4) плоскостью z = h является гипербола, но здесь действительная ось гиперболы параллельна оси Оу.

Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Если поверхность (4) пересечь плоскостью y = h, тов сечении получим параболу
2 2
2 2
2
h b
a z
a
2
x


. Следовательно, все эти параболы при изменении h равны между собой и равны параболе х = 2a
2
z, полученной в сечении поверхности (4) координатной плоскостью Oxz. Оси этих парабол имеют положительное направление, определяемое вектором Аналогично убеждаемся, что в сечении поверхности (4) плоскостью x = h получаем параболу. Все такие параболы при изменении h равны параболе у =
 2b
2
z, которая получается в сечении поверхности плоскостью. Оси этих парабол имеют положительное направление, определяемое вектором Гиперболический параболоид изображен на рисунке 4.20. Рис. 4.20
§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
1. Прямая, лежащая на поверхности, называется прямолинейной образующей этой поверхности. Следовательно, образующие цилиндрической и конической поверхностей являются их прямолинейными образующими.

§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
127
Рассмотрим вопрос о прямолинейных образующих поверхностей, изученных в § 5—7. Так как все точки эллипсоида не выходят заграницы некоторого параллелепипеда, а на каждой прямой есть точки, не принадлежащие этому параллелепипеду, то эллипсоид не имеет прямолинейных об-
разующих
Рассмотрим теперь двуполостный гиперболоид, заданный уравнением) из § 6. В п. 5 § 6 мы выяснили, что сечение поверхности плоскостью при любом h не содержит прямых линий. Поэтому гиперболический параболоид не имеет прямолинейных образующих, параллельных плоскости Оху или лежащих в этой плоскости. Если прямая не параллельна плоскости Оху и не лежит в ней, то такая прямая пересекает эту плоскость в некоторой точке, которая не лежит на поверхности, так как плоскость Оху не имеет общих точек с поверхностью. Следовательно, на нашей прямой есть точки, не принадлежащие поверхности, и поэтому такая прямая не может быть прямолинейной образующей двуполостного гиперболоида. Итак, двуполостный гиперболоид не имеет прямолинейных образующих. Аналогично можно убедиться в том, что эллиптический параболоид также не имеет прямолинейных образующих
Остается рассмотреть вопрос о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.
2. Уравнение однополостного гиперболоида.
1
c z
b y
a x
2 2
2 2
2 2



(1) представим в виде





 





 






 





 
b y
1
b y
1
c x
a x
c z
a x
(2) Рассмотрим две системы уравнений












 






 





 






 
;
b y
1
k c
z a
x
,
b y
1
c z
a x
k
1 1
1 1
l l
(3)

Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям












 






 





 






 
;
b y
1
k c
z a
x
,
b y
1
c z
a x
k
1 2
2 2
l l
(4) где k
1
, l
1
— какие-либо действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля этому же условию удовлетворяют и числа k
2
, Нетрудно подсчитать, что в каждой из систем уравнений (3), (4) ранг матрицы, составленной из коэффициентов при х, у, z, равен двум. Значит, каждая из этих систем определяет прямую линию. Если обе части каждого из уравнений системы (3) умножить на ка- кое-либо число, отличное от нуля, то мы получим новую систему, которая, очевидно определяет туже прямую. Значит, чтобы написать уравнение прямой, определяемой системой (3), надо знать лишь отношение. Это можно сказать и о прямой (4), которая определяется отношением Если координаты точки Мху) удовлетворяют системе уравнений) или (4), то они удовлетворяют и уравнению (2). Отсюда следует, что каждая прямая, определяемая системой уравнений (3), как и каждая прямая, определяемая системой уравнений (4), лежит на данной поверхности (1), те. является ее прямолинейной образующей. Прямые, определяемые системой (3) при всевозможных значениях k
1
, l
1
неравных нулю одновременно, образуют одно семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (1), а прямые, определяемые системой (4), при аналогичном условии для k
2
, l
2
образуют другое семейство прямолинейных образующих этой поверхности. Отметим основные свойства прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (без доказательства.
1) Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две и только две прямолинейные образующие. Одна из них принадлежит семейству (3), а другая — семейству (4).
2) Любые две прямолинейные образующие одного семейства скрещиваются.
3) Любые две прямолинейные образующие из разных семейств лежат водной плоскости. Однополостный гиперболоид с двумя семействами прямолинейных образующих изображен на рисунке 4.21.

§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
129
Рис. 4.21 Пример. Найти прямолинейные образующие однополостного гиперболоида
1 16
z
4
y
9
x
2 2
2



,
(5) проходящие через его точку М. Решение. Запишем уравнения (3) для однополостного гиперболоида, заданного уравнением (5):
2
y
1
k
4
z
3
x
,
2
y
1 4
z
3
x k
1 1
1 1





 






 





 






 
l l
(6) Подставив сюда значениях, у = 2, z = 8, получим 2k
1
= l
1
. Этому равенству удовлетворяют, например, числа k
1
= 1, l
1
= 2. Подставив эти значения в систему (6), приведем эту систему к виду











0 6
z
3
y
3
x
4
,
0 х
z
y

Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Эти уравнения определяют прямолинейную образующую одного семейства, проходящую через данную точку М поверхности (5). Проделав тоже самое с системой уравнений (4), найдем уравнения







0 прямолинейной образующей другого семейства, проходящей через точку М поверхности (5).
3. Известный инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853—1939) предложил устройство башен, мачт и опор, составленных из балок, расположенных по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения. Эти конструкции В. Г. Шухова оказались очень прочными и легкими. Они часто используются при строительстве водонапорных башен, высотных радиомачт, телевизионных мачт и т.
д.
4. Уравнение гиперболического параболоида z
2
b y
a x
2 2
2 2


(7) представим в виде z
2
b y
a x
b y
a x






 





 Рассмотрим две системы уравнений













 






 
;
k
2
b y
a x
,
z b
y a
x k
1 1
1 1
l l
(8)













 






 
,
k
2
b y
a x
,
z b
y a
x k
2 2
2 2
l l
(9) где k
1
, l
1
— действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля этому же условию удовлетворяют и числа k
2
, Точно также, как ив п. 2, можно показать, что при всевозможных значениях параметров k
1
, l
1
неравных нулю одновременно, и параметров, также неравных нулю одновременно, уравнения (8) оп

§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
131
ределяют одно семейство прямолинейных образующих поверхности
(7), а уравнения (9) — другое семейство. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида обладают теми же свойствами 1), 2), 3), что и образующие однополостного гиперболоида (см. пи еще одним свойством все прямолинейные образующие семейства (8) параллельны плоскости
0
b ах, а все прямолинейные образующие семейства (9) параллельны плоскости ах. Это свойство предоставляем доказать читателю самостоятельно. Гиперболический параболоид с двумя семействами прямолинейных образующих изображен на рисунке 4.22. Рис. 4.22

Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям