Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 9. Приложение к решению задач школьного курса геометрии В школьном курсе геометрии из поверхностей второго порядка изучаются сфера, прямой круговой цилиндр и прямой круговой конус. Рассмотрим примеры задач, в которых встречаются эти поверхности. 1. Рассмотрим сначала примеры задач, в которых встречается сфера. Задача. Даны сфера с центром в точке О и радиусом r и точка А. Через точку А проведена прямая d, которая пересекает данную сферу в точках Ми М. Доказать, что скалярное произведение 2 1 АМ АМ не зависит от выбора секущей d. Решение. Выберем прямоугольную систему координат k j так, чтобы начало координат совпало с центром данной сферы, а векторы OA и i были сонаправлены. В этой системе координат данная сфера имеет уравнение х + у + z 2 = r 2 , а точка А — координаты а, где а = ОА. Зададим прямую d единичным направляющим вектором ) р , р , р ( р 3 и точкой А (аи запишем ее параметрические уравнениях ау р, z = p 3 t. (1) Чтобы найти параметры t 1 и t 2 точек Ми М, надо подставить в уравнение сферы выражениях, у, z по формулами решить полученное уравнение относительно t: (a + p 1 t) 2 + (p 2 t) 2 + (p 3 t) 2 = r 2 . Учитывая, что р — единичный вектор, терр р2 3 2 2 2 1 , находим t 2 + 2ap 1 t + (a 2 – r 2 ) = 0. (2) Таким образом, точки Ми М имеют координаты ММ, где t 1 и t 2 — корни уравнения (2). Так как 1 АМ (p 1 t 1 , p 2 t 1 , p 3 t 1 ), 2 АМ (p 1 t 2 , p 2 t 2 , р, торр р(АМАМ. Из уравнения (2) по теореме Виета находим t 1 t 2 = a 2 r 2 . Но а = ОА, поэтому 2 2 2 1 r ОА АМ АМ (3) § 9. Приложение к решению задач школьного курса геометрии 133 Мы доказали, что скалярное произведение 2 1 АМ АМ действительно не зависит от выбора секущей d. Заметим, что формула (3) остается верной и тогда, когда точка А совпадает сточкой О (и значит, ОА = 0), а также когда она совпадает с одной из точек M 1 или Ми значит, ОА = r). Скалярное произведение 2 1 АМ АМ называется степенью точки А относительно данной сферы. Из формулы (3) следует, что степень точки А является положительной или отрицательной в зависимости оттого, лежит ли точка А вне или внутри сферы степень точки, лежащей на сфере, равна нулю. Задача. Доказать, что множество F всех точек пространства, каждая из которых имеет равные степени относительно двух данных неконцентрических сфер, есть плоскость, перпендикулярная линии центров этих сфер. Решение. Пусть О, r 1 и О, r 2 — соответственно центры и радиусы данных сфер. По формуле (3) точка М принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда 2 2 2 2 2 1 2 1 r M O r М О , те. 2 2 2 1 2 2 2 1 r r M O М О (4) Таким образом, F есть множество всех точек пространства, разность квадратов расстояний от каждой из которых до точек О и О 2 равна 2 2 2 1 r r . Это множество является плоскостью, перпендикулярной прямой О 1 О 2 2. Плоскость F, о которой идет речь в задаче 2, называется радикальной плоскостью данных сфер. Для построения радикальной плоскости достаточно построить одну из ее точек Ми через нее провести плоскость, перпендикулярную линии центров данных сфер. Если сферы имеют общие точки, тов качестве точки М можно взять любую из этих точек. Действительно, если М — общая точка двух сфер, то степень ее относительно каждой из этих сфер равна нулю, поэтому М — точка радикальной плоскости этих сфер. Если данные сферы не имеют общих точек, то ясно, что их радикальная плоскость не имеет общих точек ни с одной из этих сфер. Иногда удобно рассматривать точку как сферу нулевого радиуса. Степенью точки А относительно такой сферы с центром в точке М в Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям соответствии с формулой (3) считается число AM 2 (так как r = 0). Утверждение, сформулированное в задаче 2, верно ив том случае, когда одна изданных сфер или даже обе сферы имеют нулевые радиусы. Замечание. Две концентрические сферы не имеют радикальной плоскости, так как равенство (4) невозможно, если точки О и О 2 совпадают, и r 1 r 2 3. Рассмотрим задачи, в которых встречаются другие поверхности второго порядка. Задача. Доказать, что прямая, имеющая с прямым круговым цилиндром более двух общих точек, является прямолинейной образующей этого цилиндра Р е ш е ни е. Рассмотрим каноническое уравнение данного цилиндрах+ у = а) Пусть прямая d, заданная параметрическими уравнениями х = х + р, y = y 0 + p 2 t, z = z 0 +p 3 t (6) имеет сданным цилиндром более чем две общие точки. Докажем, что d — прямолинейная образующая этого цилиндра. Чтобы получить те значения t, для которых точка М прямой d лежит и на данном цилиндре, надо выражениях, у, z по формулам (6) подставить в уравнение (5): 2 2 2 2 2 2 1 2 0 1 0 2 0 0 p p t 2 x p y p t x y a 0 . Это квадратное уравнение должно иметь более двух корней (так как прямая d пересекает цилиндр (5) более чем в двух точках. Следовательно, его коэффициенты и свободный член равны нулю. Из 0 p p 2 2 2 1 заключаем, что p 1 = p 2 = 0 и потому прямая d параллельна оси Oz или совпадает с ней. Из равенства 0 a y x 2 2 0 2 0 следует, что точка Мху) прямой d лежит на поверхности (5). Но прямая, проходящая через точку цилиндрической поверхности параллельно ее оси, и есть прямолинейная образующая этой поверхности. Задача. Найти фигуру F, образованную всеми точками, отношение расстояний каждой из которых отданной точки О и отданной плоскости , проходящей через эту точку, постоянно и равно данному положительному числу а. § 9. Приложение к решению задач школьного курса геометрии 135 Р е ш е ни е. Выберем систему координат k j i O так, чтобы данная плоскость о совпала с координатной плоскостью Если Мху) F, то х, у, z удовлетворяют условию a z z y x 2 2 2 (7) Отсюда x 2 + y 2 (a 2 1)z 2 = 0. (8) Обратно, если координаты точки Мху) удовлетворяют уравнению) и z 0, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7). Таким образом, искомая фигура определяется уравнением (8), причем z 0. Если а > 0, то F — круговой конус без вершины при а = 1 фигура F — ось Oz без точки О если же a < 1, то F — пустое множество. 4. Поверхности, изученные в этой главе, часто встречаются при отыскании множества точек в пространстве. Рассмотрим пример. Задача. Найти множество S всех точек пространства, расстояние каждой из которых доданной точки А равно расстоянию доданной плоскости , не проходящей через точку АРе ш е ни е. Пусть AD — перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости . Выберем прямоугольную систему координат k j i O так, чтобы точка О была серединой отрезка AD и k ОА (рис. 4.23). В этой системе координат точка А имеет координаты ( 2 p , 0 , 0 ), где p = AD, а плоскость — уравнение 0 2 p z . Если точка Мху) принадлежит множеству S, то МАМ. Ноу х МА 2 2 2 2 p z ) , M ( , (9) поэтому 2 p z 2 p z y x 2 2 2 . Отсюда следует, что х + у = р. (10) Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям Рис. 4.23 Итак, доказано, что координаты любой точки множества S удовлетворяют уравнению (10). Докажем обратное утверждение каждая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (10), принадлежит множеству S. Подставив в первую из формул (9) значение х + у из (10), получим 2 p z 2 p z 2 p МА 2 . Следовательно МАМ, те. M S. Уравнение (10), которое можно записать так р у р х 2 , определяет параболоид вращения. Таким образом, S — параболоид вращения, осью вращения которого является прямая AD (рис. 4.23). § 1. Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка Глава ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [1] § 1. Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка 1. Если на плоскости задана аффинная система координат, толю- бая точка М плоскости имеет координаты (x, y), которые являются действительными числами. Обратно, любые два действительных числа, взятые в определенном порядке, являются координатами некоторой точки плоскости. Таким образом, при заданной системе координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и элементами из множества Для общности дальнейших рассуждений расширим понятие точки, те. дополним плоскость так называемыми мнимыми точками. Введем следующее соглашение при выбранной системе координат 1 2 Oe e точкой назовем любую пару чисел (x,y), взятых в определенном порядке, где 2 ( , ) , x y C С — множество всех комплексных чисел. Точка называется действительной (вещественной, если хи действительные числа, и мнимой, если хотя бы одной из них не является действительными числом. Например, среди точек (2; 5), B( 2; ), A i (0;3 2 ), C i ( 5;4) D мнимыми являются точки B и C. Если точка М в системе 1 2 Oe e имеет координаты (х, y), то будем считать, что та же точка в системе 1 2 ' ' ' O e e имеет координаты (x´, y´), где x , y´ определяются из формул 11 12 0 21 22 х с с с с Так как в этих формулах 11 12 0 21 22 0 , , , , , c c x c c y — действительные числа, то понятие мнимой точки не зависит от выбора системы координат. Отметим, что действительным точкам соответствуют обычные точки плоскости, поэтому их называют просто точками. Множество всех действительных и мнимых точек называется комплексной плоскостью. Глава V. Общая теория линий второго порядка Две точки 1 1 1 ( , ) M x y и 2 2 2 ( , ) M x y называются комплексно-сопряжен- ными, если их соответствующие координаты являются комплексно- сопряженными числами. Например, 1 (2 ,3 2 ) A i i и 2 (2 ,3 2 ) A i i или 1 (0, ) B i и 2 (0, ) B i — пары комплексно-сопряженных точек. Можно доказать, что понятие комплексно-сопряженности точек не зависит от выбора системы координат. Пару точек Аи В на комплексной плоскости называют отрезком с концами Аи В. Серединой отрезка с концами 1 1 1 ( , ) M x y и 2 2 2 ( , ) M x y называется точка 1 2 1 2 , 2 2 x x y y M Это понятие также не зависит от выбора системы координат. Интересно отметить, что середина отрезка с концами в комплексно-сопряженных точках есть действительная точка Действительно, пусть 1 ( , ) M a bi c di и 2 ( , ) M a bi c di комплексно-сопряженные точки. Тогда середина отрезка 1 2 M M есть точка ( , ), M a c которая является действительной, так как a и с — действительные числа. 2. Общее управление линии второго порядка в аффинной системе координат имеет вид 2 2 11 12 22 10 20 00 2 2 2 0. a x a xy a y a x a y a (1) Коэффициенты этого уравнения — любые действительные числа, причем 11 12 22 , , a a a неравны одновременному нулю. Коэффициенты 12 10 , a a и 20 a иногда будет обозначать соответственно через 21 01 02 , , a a a . Два уравнения видав одной и той же системе координат 1 2 Oe e определяют одну и туже линию тогда и только тогда, когда одно из них получается из другого умножением на действительное число, неравное нулю. Следовательно, линия второго порядка вполне определяется, если задать аффинную систему координат и коэффициенты уравнения (1) с точностью до числового множителя. Для удобства дальнейшего изложения введем следующие сокращенные обозначения 2 2 11 12 22 10 20 00 1 11 12 10 2 21 22 20 0 01 02 00 ( , ) 2 2 2 , ( , ) , ( , ) , ( , ) F x y a x a xy a y a x a y a F x y a x a y a F x y a x a y a F x y a x a y a § 1. Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка Применяя эти обозначения, уравнение (1) сокращенно можно записать так ( , ) 0, F x y или 1 2 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x y x F x y y F x y (2) Мы уже встречались с примерами линий второго порядка эллипс 2 2 2 2 1, x y a b гипербола 2 2 2 2 1, x y a b парабола 2 2 . y px Рассмотрим другие примеры линий второго порядка. Линия φ, заданная уравнением является линией второго порядка. Это уравнение можно записать в виде 0. x y x y a b a b В этом случае говорят, что линия распадается на пару пересекающихся прямых 0 x y a b и 0. x y a b Она изображена на рисунке 5.1. Аналогичная линия 2 2 0, x a где 0, a распадается на пару параллельных прямых 0 x a ирис. Рис. 5.1 Рис. 5.2 Рассмотренные примеры являются примерами линий второго порядка, которые имеют бесконечное множество действительных и мнимых точек. Однако существуют линии второго порядка, которые не обладают этим свойством. Например, линия, заданная уравнением 2 2 0, x y имеет только одну действительную точку (0, 0) и бесконеч- j 0 x y i y 0 x j i Глава V. Общая теория линий второго порядка ное множество мнимых точек, а линия 2 2 2 2 1 0 x y a b не имеет ни одной действительной точки, те. все ее точки мнимые. § 2. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления 1. Пусть линия второго порядка φ в аффинной системе координат задана общим уравнением 2 2 11 12 22 10 20 00 ( , ) 2 2 2 0 F x y a x a xy a y a x a y a (1) и прямая параметрическими уравнениями 0 1 0 2 , . x x p t y y p t (2) Найдем точки пересечения прямой с линией φ. Подставив значения и y из уравнений (2) в уравнение (1), после преобразований получим) где 2 2 11 1 12 1 2 22 2 2 , P a p a p p a p 1 0 0 1 2 0 0 2 ( , ) ( , ) , Q F x y p F x y p (4) 0 0 ( , ). R F x Найдя из уравнения (3) параметры 1 2 , t t точек пересечений и подставив их в равнения (2), получаем координаты точек пересечений. Отметим, что каждому корню уравнения (3) соответствует точка пересечения, причем различным корням соответствуют различные точки вещественным корням — действительные точки, а мнимым корням — мнимые точки. Исследуем уравнение (3). Возможно два случая. 1) 0. P Уравнение (3) имеет два корня 1 , Q t P 2 , Q t P где 2 Q PR — дискриминант уравнения (3). Прямая 1 пересекает § 2. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления линию φ в точках 1 M и 2 M — действительных различных, если 0, комплексно-сопряженных, если 0, и совпадающих, если 0. На рисунке 5.3 прямая 1 соответствует случаю 0, прямая 2 — случаю а прямая 3 — случаю 0. Рис. 5.3 2) 0. P Уравнение (3) принимает вид 0. Qt R Если 0, Q то прямая пересекает линию φ водной точке (прямая на рисунке 5.4 или на рисунке 5.5). Если 0, 0, Q R то прямая не имеет с линией φ ни одной общей точки — ни вещественной, ни мнимой (прямые m и m´ на рисунке 5.5 или прямые 1 2 3 , , ... m m m на рисунке 5.6). Если, наконец то любое t является решением уравнения (3), поэтому (прямые n и n´ на рисунках 5.5 и 5.6). 2 1 3 1 M 2 M 2 M 0 M p Глава V. Общая теория линий второго порядка Рис. 5.4 Рис. 5.5 Рис. 5.6 Таким образом, возможны шесть случаев взаимного расположения прямой и линии второго порядка φ: 0 две действительные точки пересечения мнимые комплексно-сопряженные точки пересечения совпадающие точки пересечения P 0 P 0 одна точка пересечения, 0 нет точек пересечения, R 0 прямая содержится в линии m p q ' m L n L n´ p q m 1 m 2 n´ m 3 n ´ p |