Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 2. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления 2. Коэффициент P в уравнении (3) зависит только от направления прямой с направляющим вектором и не зависит от координат 0 0 ( , ) x y точки 0 M . Следовательно, если 0, P то все прямые, имеющие направление вектора 1 2 ( , ) p p p , пересекают линию φ в двух точках вещественных различных, совпадающих или мнимых комплексно-со- пряженных). Если 0, P то либо , либо прямая пересекает линию не более чем водной точке. Определение Направление, определяемое ненулевым вектором p , называется асимптотическим направлением относительно линии φ, если прямая, параллельная вектору p , либо имеет с линией не более одной общей точки, либо содержится в линии φ. Из предыдущего следует направление,определяемое ненулевым вектором 1 2 ( , ) p p p , является асимптотическим направлением относительно линии φ, заданной уравнением (1), тогда и только тогда, когда 2 2 11 1 12 1 2 22 2 2 0. P a p a p p a p (5) Пользуясь этой формулой, легко найти асимптотические направления относительно линии второго порядка. Если 22 0, a то из (5) следует, что 1 0 p (так как p — ненулевой вектор, поэтому из равенства (5) получаем 2 22 12 11 2 0, a k a k a где 2 1 p k p . Отсюда 12 22 , a k a где 2 11 22 12 a a a (6) Если 22 0, a то уравнение (5) имеет вид 2 11 1 12 1 2 2 0. a p a p p Этому уравнению удовлетворяют координаты векторов 2 (0,1) e и 12 11 ( 2 , ). p a a (7) Выясним, сколько существует асимптотических направлений относительно линии второго порядка φ. Рассмотрим три случая. 1) 2 11 22 12 0 a a a и, значит, 22 0. a Из формулы (6) мы заключаем, что относительно линии φ не существует асимптотических направлений Глава V. Общая теория линий второго порядка 2) 2 11 22 12 0. a a a В этом случае относительно линии φ существует два асимптотических направления. В самом деле, если 22 0, a то этот вывод следует из формулы (6), а если 22 0, a то из (7). В последнем случае 12 0, a поэтому векторы 2 (0,1) e и 12 11 ( 2 , ) p a a неколлинеарны В этом случае относительно линии φ существует только одно асимптотическое направление. В самом деле, если 22 0, a то этот вывод следует из формулы (6), а если 22 0, a то из (7). В последнем случае 12 0, a поэтому векторы 2 (0, и 11 (0, a ) p коллинеарны и определяют одно и тоже асимптотическое направление. Полученный вывод сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема 5.1. Пусть линия второго порядка задана уравнением (1) и 2 11 22 12 a a a Если 0, то относительно такой линии не существует асимптотических направлений, если 0, то существует два асимптотических направления, а если 0 — одно асимптотическое направление. Замечание. Понятие асимптотического направления является геометрическим (те. определено через взаимное расположение геометрических фигур) и поэтому не зависит от выбора системы координат. Таким образом, из доказанной теоремы следует, что условия 0, 0 или 0 не зависят от выбора системы координат. Выясним, сколько асимптотических направлений имеется относительно эллипса, гиперболы и параболы. Пусть эллипс задан каноническим уравнением 2 2 2 2 1 x y a b . Тогда 2 2 1 0 a b , поэтому относительно эллипса не имеется асимптотических направлений. Аналогично для гиперболы, заданной уравнением 2 2 2 2 1 x y a b , 2 2 1 a b , и уравнение (5) принимает вид 2 2 1 2 2 2 0 p p a b . Отсюда следует, что относительно гиперболы имеется два асимптотических направления которые совпадают с направлениями ее асимптот. Точно также можно доказать, что для параболы 0, поэтому относительно параболы § 2. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления имеется только одно асимптотическое направление В соответствии с этим выводом линия второго порядка называется линией эллиптического типа, если 0, гиперболического типа, если 0, и параболического типа, если 0. В заключении докажем следующую теорему Теорема 5.2. Направление ненулевого вектора 1 2 ( , ) q q q является асимптотическим направлением относительно линии φ параболического типа, заданной уравнением (1), тогда и только тогда, когда 11 1 12 2 21 1 22 2 0, a 0. a q a q q a q (8) Покажем сначала, что координаты вектора асимптотического направления относительно линии φ параболического типа удовлетворяют системе (8). В п. 2 мы выяснили, что относительно линии φ имеется только одно асимптотического направление, которое определяется вектором 22 12 ( , ), q a a если 22 0, a и вектором 2 (0,1), e если 22 0. a Координаты вектора q удовлетворяют уравнению (8). Во втором случае из равенств 22 0, 0 a следует, что 12 0, a поэтому координаты вектора 2 e удовлетворяют системе (8). Обратно, пусть координаты некоторого ненулевого вектора 1 2 ( , ) q q удовлетворяют системе (8). Умножив первое уравнение на 1 , q авто- рое — на 2 q и сложив, получаем 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 ( ) ( ) 0. a q a q q a q a q Итак, доказано, что вектор q имеет асимптотическое направление см. формулу (5)).● § 3. Центр линии второго порядка 1. Докажем сначала лемму о координатах середины хорды. Лемма 1. Дан вектор 1 2 ( , ) p p p неасимптотического направления линии второго порядка, заданной уравнением 2 2 11 12 22 10 20 00 2 2 2 0. a x a xy a y a x a y a (1) Глава V. Общая теория линий второго порядка Для того чтобы точка 0 0 ( , ) M x y была серединой какой-ни- будь хорды, параллельной вектору p , необходимо и достаточно, чтобы 1 0 0 1 2 0 0 2 ( , ) ( , ) 0. def Q F x y p F x y p (2) Запишем параметрические уравнения прямой , проходящей через точку 0 0 ( , ) M x y и параллельной вектору 1 2 1 0 ( , ) : , p p p x p t x 2 0 y p t y Пусть 1 M и 2 M — точки пересечения прямой сданной линией, аи параметры этих точек. Тогда 1 1 1 0 2 1 0 2 1 2 0 2 2 0 ( , ), ( , ). M p t x p t y M p t x p Очевидно, точка 0 0 0 ( , ) M x y является серединой отрезка 1 2 M M тогда и только тогда, когда 1 2 0. t t С другой стороны, 1 t и 2 t являются корнями квадратного уравнения (3) § 2. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна нулю тогда и только тогда, когда 0, Q те. выполняется равенство (2). ● 2. Точка С называется центром линии второго порядка, если она является центром симметрии этой линии. Теорема 5.3. Для того чтобы 0 0 ( , ) C x y была центром линии второго порядка, заданной уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы пара чисел 0 0 , x y была решением системы 11 12 10 21 22 20 0, 0. a x a y a a x a y a (3) Пусть 0 0 ( , ) C x y центр линии второго порядка φ. Докажем, что 0 0 , x y удовлетворяют системе (3). Проведем через точку С две хорды неасимптотического направления, параллельные соответственно векторами Так как С — центр линии φ, то эта точка является серединой каждой из проведенных хорд. По лемме 1 о координатах середины хорды 1 0 0 1 2 0 0 2 1 0 0 1 2 0 0 2 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0. F x y p F x y p F x y q F x y q § 3. Центр линии второго порядка 147 Векторы p и q неколлинеарны, поэтому 1 1 2 2 0. p q p q Следовательно, 1 0 0 ( , ) 0, F x y 2 0 0 ( , ) 0, F x y те. координаты точки С удовлетворяют системе уравнений (3). Обратно, пусть координаты точки С 0 0 ( , ) x y удовлетворяют системе докажем, что С — центр линии φ. Рассмотрим перенос начала координат в точку Си запишем уравнение линии в новой системе координат. В данном случае формулы преобразований координат имеют вид 0 0 , , x X x y Y y поэтому, подставим значения x ив уравнение (1), получаем уравнение линии φ в новой системе координат 2 2 ' ' ' 11 12 22 10 20 00 2 2 2 0. a X a XY a Y a X a Y a (4) где ' ' ' 10 1 0 0 20 2 0 0 00 0 0 ( , ), ( , ), ( , ). a F x y a F x y a F x Так как координаты точки С 0 0 ( , ) x y удовлетворяют системе (3), то С ' ' 10 20 0, 0; a a поэтому уравнение (4) принимает вид 2 2 ' 11 12 22 00 2 0. a X a XY a Y a Из этого уравнения видно, что С — центр симметрии линии φ. Действительно, если ( , ) , M x y то '( , ) , M x y где ' M — точка симметричная точке M относительно С. Итак, С — центр линии φ.● Теорема 5.4. Для того чтобы начало координат было центром линии, заданной уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы 10 20 0 a a . Действительно, числа (0,0) удовлетворяют системе (3) тогда и только тогда, когда 10 20 0 a a .● 3. Доказанная теорема 5.3 позволяет исследовать вопрос о существовании центров данной линии. Задача сводится к исследованию системы уравнений (3). Рассмотрим матрицы 11 12 10 11 12 21 22 21 22 20 , a a a a a A A a a a a a (5) Глава V. Общая теория линий второго порядка и обозначим соответственно через r и R ранги этих матриц. Очевидно, r R . Возможны следующие случаи 1) 2 r R . В этом случае система (3) имеет единственное решение и поэтому линия φ имеет один и только один центр. Линии, обладающие этим свойством, называются центральными 2) 1 r R . В этом случае система (3) имеет бесконечное множество решений одно из уравнений системы (3) является следствием другого. Линия имеет прямую центров. Эта прямая задается одним из уравнений системы (3). 3) 1, 2 r R . Система (3) не имеет ни одного решения, ив соответствии с этим линия не имеет ни одного центра. Линии, не имеющие центров или имеющие больше одного центра, называются нецентральными. Из предыдущих рассуждений следует, что линия является центральной тогда и только тогда, когда 0. Таким образом, линии эллиптического и гиперболического типа являются центральными, а линии параболического типа — нецентральными. Эллипс и гипербола являются центральными линиями ( 0) , поэтому они имеют один и только один центр — начало системы координат, в которой эти линии имеют канонические уравнения. Для параболы, заданной каноническим уравнением 2 2 y px , матрицы (5) имеют ранги 1, r 2 R , поэтому парабола не имеет ни одного центра. Замечание Как следует из предыдущего, ранги r и R матриц (5) имеют геометрический смысл, поэтому они не зависят от выбора системы координат. § 4. Касательная к линии второго порядка 1. Если точка 0 , M принадлежащая линии второго порядка φ, является центром этой линии, то она называется особой точкой линии, в противном случае точка 0 M называется обыкновенной точкой. Определение Прямая, проходящая через обыкновенную точку 0 M линии второго порядка, называется касательной к этой линии в точке 0 M , если она пересекает линию в двух совпавших точках или целиком содержится в этой линии. Докажем теорему о касательной. § 4. Касательная к линии второго порядка 149 Теорема 5.5. В каждой обыкновенной точке линии второго порядка существует одна и только одна касательная. Если линия задана общим уравнением (1) § 3, то касательная в обыкновенной точке 0 0 0 ( , ) M x y этой линии имеет уравнение 11 0 12 0 10 21 0 22 0 20 01 0 02 0 00 ( ) ( ) ( ) 0, a x a y a x a x a y a y a x a y a (1) или 1 0 0 2 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x y x F x y y F x y ○ Пусть прямая l, проходящая через точку 0 M , задана параметрическими уравнениями (2) § 2. Параметры точек пересечения прямой l сданной линией φ определяются из уравнения (3) § 2, которое в данном случае имеет вид 2 1 2 2 2 0, 0 Q Pt Qt t t P , (2) так как 0 M , и поэтому 0 0 ( , ) 0. R F x y Докажем, что прямая l является касательной тогда и только тогда, когда 0 Q . Действительно, если l — касательная, то уравнение (2) имеет либо два совпавших корня, либо бесконечно множество решений. Ив томи в другом случае 0 Q . Обратно, если 0 Q , то уравнение) имеет либо два совпавших корня (когда 0 P ), либо бесконечное множество решений (когда 0 P ). Согласно формулам (4) § 2 условие 0 Q означает, что 1 0 0 1 2 0 0 2 ( , ) ( , ) 0. Q F x y p F x y p (3) Так как 0 0 0 ( , ) M x y — обыкновенная точка то 1 0 0 2 0 0 ( , ), ( , ) F x y F x y одновременно неравны нулю. Поэтому равенство (3) определяет единственное направление вектора 1 2 ( , ). p p p В качестве такого вектора можно взять, например, вектор 2 0 0 1 0 0 ( ( , ), ( , )). t F x y F x y Через точку 0 M проходит единственная прямая этого направления, поэтому в точке существует единственная касательная. Глава V. Общая теория линий второго порядка Касательная определяется точкой 0 M и направляющим вектором t , поэтому имеет уравнение 0 2 0 0 0 1 0 0 ( , ) 0 ( , ) x x F x y y y F x y (4) Так как 0 , M то по формуле (2) § 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x y x F x y y F x y . Учитывая это равенство, уравнение (4) можно записать так 1 0 0 2 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x y x F x y y F x y Это и есть уравнение (1).● 2. Все точки эллипса, гиперболы и параболы являются обыкновенными, поэтому в каждой точке этих линий существует одна и только одна касательная. Запишем уравнения касательных, если линии заданы каноническими уравнениями. 1) Касательная к эллипсу 2 2 2 2 1 x y a b в точке 0 0 ( , ) x y . В даном случае поэтому уравнение (1) принимает вид 0 0 2 2 1 xx yy a b . (5) 2) Касательная к гиперболе 2 2 2 2 1 x y a b в точке 0 0 ( , ) x y . По аналогии с предыдущим получаем 0 0 2 2 1 xx yy a b . (6) 3) Касательная к параболе 2 2 0 y px в точке 0 0 ( , ) x y . В данном случае 22 10 11 12 20 00 1, , 0, a a p a a a a поэтому уравнение (1) принимает вид 0 0 ( ). yy p x x (7) |