Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 4. Касательная к линии второго порядка 151 Пользуясь формулами (5)—(7), можно рассмотреть ряд интересных геометрических свойств касательных к эллипсу, гиперболе и параболе. Сформулируем без доказательства три утверждения. 1º. Касательная к эллипсу или гиперболе образует равные углы с фокальными радиусами точки касания. 2º. Отрезок любой касательной к гиперболе, заключенный между асимптотами, делится в точке касания пополам. Эти свойства могут быть использованы для построения с помощью циркуля и линейки касательной в данной точке эллипса или гиперболы. 3º. Касательная к параболе образует равные углы с фокальным радиусом точки касания и с лучом, исходящим из точки касания, параллельно оси параболы. На этом свойстве касательной параболы основана важное свойство вогнутых параболических зеркал — прожекторов, применяемых в технике. Поверхность параболического зеркала образована вращением дуги параболы вокруг оси. Если источник света поместить в фокусе поверхности, те. в общем фокусе всех образующих парабол, то лучи, отражаясь от внутренней зеркальной поверхности, пойдут параллельно оси. Это свойства может быть также применено для построения циркулем и линейкой касательной к параболе в данной точке 0 M , если известна ось d параболы и фокус F (рис. 5.7). Рис. 5.7 0 M F d L Глава V. Общая теория линий второго порядка § 5. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления 1. Пусть в аффинной системе координат 1 2 Oe e дана линия φ уравнением) Возьмем какой-нибудь вектор 1 2 ( , ) p p p неасимптотического направления относительно этой линии и рассмотрим множество d всех точек плоскости, которые являются серединами хорд направления рис. 5.8). По лемме 1 о координатах середины хорды точка ( , ) M x принадлежит этому множеству тогда и только тогда, когда выполняется условие 11 12 10 1 21 22 20 2 ( ) ( ) 0. a x a y a p a x a y a p (2) Рис. 5.8 Это и есть уравнение множества d его можно записать так 11 1 12 12 21 1 22 2 10 1 20 2 ( ) ( ) 0. a p a p x a p a p y a p a p (3) p d ( , ) M x y § 5. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления 153 Вектор p не является вектором асимптотического направления, поэтому (см. формулу (5) § 2). Отсюда заключаем, что коэффициенты при x и у в уравнении (3) неравны нулю одновременно, следовательно, d есть прямая линия. Итак, доказана следующая теорема. Теорема 5.6. Множество середин всех хорд линии (1), параллельных вектору 1 2 ( , ) p p p неасимптотического направления, есть прямая, заданная уравнению (3). Прямая d называется диаметром, сопряженным хордами, направление которых определяется вектором p . Будет также говорить, что диаметр сопряжен вектору p 2. Рассмотрим некоторые свойства диаметров линии второго порядка. Если линия второго порядка имеет центры, то каждый центр принадлежит любому диаметру линии. ○ Пусть 0 0 ( , ) C x y — центр линии второго порядка, а d — произвольный диаметр, заданный уравнением (2). По теореме 5.3 координаты точки С удовлетворяют равенством (3) § 3, поэтому координаты точки С удовлетворяют уравнению (2). Это означает, что C d . ● Отсюда следует интересный вывод если линия второго порядка имеет более чем один центр, то она имеет один и только один диаметр. В общем случае линия второго порядка может иметь бесконечное множество диаметров. Имеет место, например, следующее утверждение, доказательство которого мы опускаем. 2º. Если дана центральная линия второго порядка, то любая прямая неасимптотического направления, проходящая через ее центр, является диаметром этой линии. В частности, любая прямая, проходящая через центр эллипса (или окружности, является его диаметром. 3º. Любой диаметр нецентральной линии второго порядка имеет асимптотическое направление. ○ Пусть d — произвольный диаметр нецентральной линии второго порядка φ, а (3) — уравнение этого диаметра. Из (3) следует, что вектор является направляющим вектором Глава V. Общая теория линий второго порядка прямой d . По теореме 5.2 вектор q является вектором асимптотического направления линии φ. В самом деле, координаты вектора q при любых значениях 1 p и 2 p , как легко проверить, удовлетворяют системе. Так как нецентральная линия φ имеет только одна асимптотическое направление, то из свойства 3º следует, что направление ее диаметра не зависит от направления тех хорд, которые он делит пополам, те. любые два диаметра нецентральной линии параллельны. Применим это свойство к параболе, которая является нецентральной линией. Все диаметры параболы имеют асимптотическое направление. Если парабола задана каноническим уравнением 2 2 y px , то уравнение диаметра, сопряженного вектору 1 2 ( , ) q q q , имеет вид (3): 2 1 0 q y pq или, так как 1 2 2 0, 0. q q y p q Для любого вектора q эта прямая имеет направление оси Ox . Обратно, любая прямая 0 y A , имеющая направление оси Ox , являются диаметром параболы. Действительно, диаметр, сопряженный вектору ( , ), q A p совпадает с прямой. Теорема 5.7. Если диаметр 1 d центральной линии второго порядка является множеством середин хорд, параллельных диаметру 2 d , то диаметр 2 d является множеством середин хорд, параллельных диаметру 1 d . ○ Пусть диаметр 1 d сопряжен вектору p , а диаметр 2 d — вектору q (риса. По условию теоремы 2 || p d . Докажем, что 1 || q d . Диаметр имеет уравнение 1 11 12 10 2 21 22 20 ( ) ( ) 0 q a x a y a q a x a y a (см. формулу (2)). Вектор p — направляющий вектор этой прямой, поэтому 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 ( ) ( ) 0 q a p a p q a p a p , (4) или 1 11 1 12 2 2 21 1 22 2 ( ) ( ) 0 p a q a q p a q a q § 5. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления 155 а б в Рис. 5.9 Так как диаметр 1 d имеет уравнение (2), то это равенство означает, что 1 || q d .● Определение Два диаметра центральной линии второго порядка называются сопряженными, если каждый из них делит пополам хорд, параллельные другому диаметру. На рисунке 5.9 а, б ив изображены сопряженные диаметры 1 d и 2 d эллипса, окружности и пары пересекающихся прямых. 2 d p 1 d q p 2 d 1 d q q p 2 d 1 d Глава V. Общая теория линий второго порядка 4. Направление ненулевого вектора 1 2 ( , ) p p p называется сопряженными с направлением ненулевого вектора 1 2 ( , ) q q q относительно линии, заданной уравнением (1), если выполняется равенство 11 1 1 12 1 2 21 2 1 22 2 2 0 a p q a p q a p q a p q (5) Так как ij ji a a , то понятие сопряженности направлений является взаимным, поэтому говорят, что направления векторов p и q сопряжены относительно линии (1). (Иногда говорят более кратко векторы p и q сопряжены относительно линии (1).) Сравнивая равенства (5) с равенством (5) § 2, замечаем, что асимптотическое направление является самосопряженным направлением. Отметим далее, что сопряженные диаметры центральной линии второго порядка (см. формулу (4)) имеют сопряженные направления. Докажем, что понятие сопряженности относительно линии (второго порядка имеет геометрический смысл, поэтому не зависит от выбора системы координат. Для доказательства возьмем произвольный ненулевой вектор 1 2 ( , ) p p p и рассмотрим два случая. 1) Вектор p является вектором неасимптотического направления. Запишем равенство (5) в виде 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 ( ) ( ) 0 a p a p q a p a p q (6) Направление любого ненулевого вектора q , удовлетворяющее этому равенству, как следует из формулы (4), совпадает с направлением диаметра, который делит хорды, параллельные вектору p , пополам. Таким образом, существует одно и только одно направление, сопряженное с направлением вектора p , и это направление имеет простой геометрический смысл. 2). Вектор 1 2 ( , ) p p p является вектором асимптотического направления. Если 0 , то числа 11 1 12 2 a p a p и 21 1 22 2 a p a p неравны нулю одновременно, так как 0 p . Поэтому все векторы 1 2 ( , ) q q q , координаты которых удовлетворяют равенству (6), попарно коллинеарны и образуют одномерное векторное подпространство L . Оно является подпространством, натянутым на вектор p , так как p L (см. (5) § 2). Таким образом, кроме направления вектора p , нет других направлений, сопряженных с p § 5. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления 157 Если 0 , то по теореме 5.2 11 1 12 2 0 a p a p и 12 1 22 2 0 a p a p , поэтому соотношение (6) удовлетворяется для любого вектора q . В этом случае любое направление плоскости сопряжено с направлением вектора. Главные направления. Главные диаметры Определение Направление ненулевого вектора ) р ; р ( р 2 1 называется сопряженным с направлением ненулевого вектора ) q ; q ( q 2 1 относительно линии, заданной уравнением ах + 2a 12 xy + a 22 y 2 + хау) если выполняется равенство р+ a 12 p 1 q 2 + a 21 p 2 q 1 + р = 0. (2) Так как a ij = a ji , то понятие сопряженности направлений является взаимным. Поэтому говорят, что направления векторов р и q сопряжены относительно линии (1) или более кратко векторы р и q сопряжены относительно линии (1). Определение Направление называется главным относительно данной линии второго порядка, если оно сопряжено с перпендикулярным направлением. Так как понятие сопряженности является взаимным, то если данное направление является главным, то и перпендикулярное к нему направление является главным. Пусть в прямоугольной системе координат j i O линия задана общим уравнением (1). По определению ненулевой вектор ) р ; р ( р 2 1 является вектором главного направления относительно этой линии тогда и только тогда, когда векторы ) р ; р ( р 2 1 и ) р ; р ( q 2 1 сопряжены. Подставив координаты этих векторов в уравнение (2) получаем ар р) = 0. (3) Глава V. Общая теория линий второго порядка Эта формула позволяет найти главные направления относительно линии второго порядка и выяснить, сколько главных направлений имеется относительно той или иной линии. Рассмотрим следующие случаи. 1) а 0. В этом случае р 0 (так как р ). Поэтому если положить, то уравнение (3) запишется так k 2 a 12 + (a 11 а а = 0. (4) Это квадратное уравнение имеет два различных действительных корня , a 2 a 4 ) a a ( a a k 12 2 12 2 11 22 11 22 причем k 1 k 2 = 1. Отсюда следует, что относительно данной линии имеются два и только два главных направления. 2) а = 0, а а 0. Уравнение (3) принимает вид р р 0 р р ) а а 1 2 1 11 22 . Ив этом случае относительно данной линии имеются два и только два главных направления направления координатных осей. 3) a 12 = 0, а а = 0. Ясно, что координаты любого вектора р р ( р 2 удовлетворяют равенству (3), поэтому любое направление является главным. В этом случае данная линия является окружностью (вещественного, мнимого или нулевого радиуса. Итак, доказана следующая важная теорема. Теорема 4 . Относительно любой линии второго порядка, отличной от окружности, существуют два и только два главных направления. Относительно окружности любое направление плоскости является главным. 2. Диаметр линии второго порядка называется главным, если он перпендикулярен сопряженным хордам. Отсюда следует, что главный диаметр является осью симметрии линии второго порядка. рис. 5.8). § 6. Главные направления. Главные диаметры 159 Пусть d — главный диаметра р р ( р 2 1 — вектор, параллельный сопряженным хордам. Направление вектора р сопряжено с направлением диаметра d, поэтому р имеет главное направление, а, следовательно, и диаметр d имеет главное направление. Обратно, если р — вектор главного, но неасимптотического направления, то сопряженный ему диаметр перпендикулярен к нему, поэтому является главным диаметром. Итак, для нахождения главных диаметров следует найти все главные, ноне асимптотические направления данной линии. Диаметры, сопряженные этим направлениям, являются главными. Теорема 5 . Центральная линия второго порядка, отличная от окружности, имеет два и только два главных диаметра для окружности любой диаметр является главным. Нецентральная линия второго порядка имеет только один главный диаметра) Пусть — центральная линия второго порядка, отличная от окружности. По теореме 1 она имеет два и только два главных направления. Эти направления не являются асимптотическими. Поэтому диаметры, сопряженные хордам этих направлений, являются главными диаметрами. б) Окружность является линией эллиптического типа, поэтому не имеет асимптотических направлений. Так как любое направление для окружности является главным, то любой диаметр окружности является главным диаметром. в) Пусть р — вектор асимптотического направления нецентральной линии второго порядка , a q — перпендикулярный к нему ненулевой вектор. Направления векторов р и q сопряжены, поэтому каждое из этих направлений является главным. По теореме 4 других главных направлений линия не имеет. Диаметр, сопряженный вектору, является единственным главным диаметром линии . 3. Как известно, осью симметрии фигуры называется прямая, относительно которой фигура симметрична. Мы уже отмечали, что любой главный диаметр линии второго порядка является ее осью симметрии. Из теоремы 2 следует, что любая линия второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии. Эллипс с неравными полуосями и гипербола Глава V. Общая теория линий второго порядка имеют две оси симметрии, окружность — бесконечное множество осей симметрии. Парабола имеет только одну ось симметрии. Существуют ли линии второго порядка, которые имеют оси симметрии, отличные от главных диаметров Можно показать, что такие линии существуют. Например, для пары параллельных прямых ха любая прямая, перпендикулярная этим прямым, является осью симметрии (рис. 5.2). Эти прямые не являются главными диаметрами. Для линии х у = 0, которая распадается на пару взаимно перпендикулярных прямых, сами прямые являются осями симметрии. Эта линия изображена на рисунке 5.1. Она имеет четыре оси симметрии — оси координат Охи Оу, которые являются главными диаметрами, и прямые, и l 2 , на которые распадается линия. Можно доказать, что в остальных случаях оси симметрии линии второго порядка, имеющей бесконечное множество действительных точек, совпадают с ее главными диаметрами. § 7. Классификация линий второго порядка Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы путем надлежащего выбора новой прямоугольной системы координат упростить уравнение линии, а затем поэтому уравнению установить, к какому классу принадлежит линия. Пусть линия второго порядка в прямоугольной системе координат j i O задана уравнением ах + 2а 12 ху + ау + а + 2a 20 y+ а = 0. (1) Рассмотрим поворот системы координат вокруг точки О так, чтобы вектор 'j новой системы координат 'j 'i O имел главное, ноне асимптотическое направление. Тогда вектор 'i также будет иметь главное направление. Запишем уравнение линии в новой системе координат 0 a ' y ' a 2 ' x ' a 2 ' y ' a ' y ' x ' a 2 ' x ' a 00 20 10 2 22 12 Так как вектор 'j = (0,1) имеет главное направление, то его координаты удовлетворяют уравнению (3) § 6, поэтому а = 0. Вектор 'j не § 7. Классификация линий второго порядка 161 имеет асимптотического направления, поэтому а 0. Таким образом, предыдущее уравнение имеет вид 0 a ' y ' a 2 ' x ' a 2 ' y ' a ' x ' a 00 20 10 2 22 2 11 (2) Дальнейшее упрощение этого уравнения достигается путем надлежащего выбора точки О' и переноса начала координат в эту точку. Рассмотрим различные случаи в зависимости от наличия центров линии. Классификация центральных линий второго порядка. Рассмотрим перенос начала координат в центр О' линии . В этом случаев новой системе координат коэффициенты при хи у' в уравнении линии равны нулю, поэтому оно имеет вид 0 ' a ' y ' a ' x ' a 00 2 22 2 11 , где 0 ' a ' a 22 11 . (3) Возможны два случая. 1) 0 ' a 00 . Уравнение (3) можно записать так 1 В у А х 2 2 , (4) где 11 00 ' a ' a A , 22 00 ' a ' a B . Не нарушая общности, можно предположить, что А В (в случае А < В выполним преобразование координат, поменяв местами координатные оси. а) Если А > 0, В > 0, то линия (4) есть эллипс с полуосями В , А б) Если А > 0, В < 0, то линия (4) есть гипербола с полуосями В ; А в) Если А < 0, В < 0, то, обозначив 2 2 b В , а А , где а > 0, b > 0, запишем уравнение (4) в виде 1 b y a x 2 2 2 2 . Линия не имеет ни одной вещественной точки и называется мнимым эллипсом 2) a’ 00 = 0. Уравнение (3) можно записать в виде 0 В у А х 2 2 , где А > 0. a) Если В < 0, то, обозначив А = а, В = b 2 , получаем Глава V. Общая теория линий второго порядка 0 b y a x 2 2 2 2 , или 0 b y a x b y a x Линия распадается на пару пересекающихся прямых b y a x = 0 и b y a x = 0. б) Если В > 0, то аналогично предыдущему получаем 0 b y a x 2 2 2 Линия имеет только одну вещественную точку — начало координат. Говорят, что линия распадается на пару мнимых пересекающихся прямых 0 b y i ахи ах. Классификация нецентральных линий второго порядка, имеющих центры. Рассмотрим перенос начала координат в один из центров О' линии . Так как в данном случае вектор 'i имеет асимптотическое направление, то уравнение (3) можно записать так у + С = 0, где 22 00 ' a ' а С (5) а) Если Сто, обозначив С = а, запишем уравнение (5) в виде у а = 0, или (у ау + а) = 0. Линия распадается на пару параллельных прямых (у аи у + а = 0). б) Если Сто аналогично предыдущему получаем у + а = 0 или (y ia)(y + ia) = 0. Линия не имеет ни одной вещественной точки. Говорят, что она распадается на пару мнимых параллельных прямых у ia = 0 ив) Если Сто уравнение (5) имеет виду или уу = 0. Говорят, что линия распадается на пару совпавших прямых (у = 0, у = 0). 4. Классификация нецентральных линий второго порядка, не имеющих центров. Рассмотрим перенос начала координат в точку О, лежащую на главном диаметре линии . В данном случае линия имеет только один главный диаметр, который совпадает с осью 'О и сопряжен с хордами, параллельными вектору 'j . Пусть уравнение линии в системе 'j 'i ' O имеет вид (2). Тогда атак как век |