Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград

• Название: Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 3.17 Mb.
• Имя файла: Попов Анал. Геом.pdf
• Тип: Лекции; #755703
• страница: 16 из 19

§ 7. Классификация линий второго порядка
163 тор 'i

имеет асимптотическое направление аи атак как ось абсцисс — главный диаметр. Таким образом, уравнение (2) имеет вида. Здесь a’
10
 0, так как точка О не является центром линии
 (линия  не имеет центров. Из уравнения видно, что ось абсцисс пересекает линию в точке







0
;
'
a
2
a
10 00
. Если перенести начало координат в эту точку, то уравнение линии принимает виду+ ах = 0 или у
= рх, где
22 ар. Это уравнение параболы.
5. Итак, существуют девять типов линий второго порядка, представленных в следующей таблице. Название линии Каноническое уравнение

R Центры
1. Эллипс
1
b y
a x
2 2
2 2


> 0 2 Один центр, не принадлежащий линии
2. Гипербола
1
b y
a x
2 2
2 2


< 0 2 Один центр, не принадлежащий линии
3. Парабола y
2
= 2px
= 0 2 Нет центров
4. Мнимый эллипс
1
b y
a x
2 2
2 2



>0 2 Один центр, не принадлежащий линии
5. Пара пересекающихся прямых
0
b y
a x
2 2
2 2


< 0 2 Один центр, принадлежащий линии
6. Пара мнимых пересекающихся прямых Один центр, принадлежащий линии
7. Пара параллельных прямых y
2
 a
2
= 0 0 1 Прямая центров, не принадлежащих линии
8. Пара мнимых параллельных прямых y
2
+ а = 0 0 1 Прямая центров, принадлежащих линии
9. Пара совпавших прямых y
2
= 0 0 1 Прямая центров, принадлежащих линии

Глава V. Общая теория линий второго порядка
§ 8. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек В этом параграфе рассмотрим примеры приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Сначала рассмотрим общую схему, а затем перейдем к примерам. Пусть линия второго порядка
 в прямоугольной системе координат j
i
O


задана общим уравнением ах + 2а
12
ху + ау + ах + ау + а = 0,
(1) где a
12
 0. Найдем главные направления линии  и примем их за направления новых координатных осей. Координаты единичного вектора
)
sin
,
(cos p



главного направления, где
)
p
,
i
(





, удовлетворяют уравнению (3) из § 10. Это уравнение можно записать так









sin cos
0
sin a
cos a
sin a
cos a
22 21 12 Для каждого вектора p

главного направления существует такое
, что































0
sin
)
a
(
cos a
,
0
sin a
cos
)
a
(
;
sin sin a
cos a
,
cos sin a
cos a
22 21 12 11 22 21 12 11
(2) Эта система совместна тогда и только тогда, когда
0
)
a a
a
(
)
a a
(
0
a a
a a
2 12 22 11 22 11 2
22 21 12 11













(3) Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линии второго порядка
. Корни этого уравнения находятся по формуле
2
а
4
)
а а
(
)
а а 12 2
22 11 22 Так как
0
а
4
)
а а 12 2
22 11



, то корни

1
и

2
характеристического уравнения (3) — действительные числа, причем если
 не является окружностью (те. если
0
а
4
)
а а 12 2
22 11



), то

1
 
2
. Пусть для

§ 8. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
165 определенности

2
 0. Подставив каждый из этих корней в уравнения
(2), получаем соотношение, из которого находим координаты единичного вектора главного направления. Таким образом, каждому корню характеристического уравнения соответствует главное направление. Пусть
)
sin
,
(cos
'i




— единичный вектор главного направления, который соответствует корню

1
. Из формул (2) находим
0
sin а 1
11






, отсюда
12 11 1
a a
tg



(5) Найдем sin
 и cos:









2 2
tg
1 1
cos
,
tg
1
tg Формулы преобразования координат имеют вид











cos
'
y sin
'
x y
,
sin
'
y cos
'
x x
(6) Подставив отсюда значения x и у в уравнение (1), получаем, получаем уравнение линии
 в системе 'j
'i
O


: a’
11
x’
2
+ a’
22
y’
2
+2a’
10
x’ + 2a’
20
y’ + a’
00
= 0,
(7) где






























cos a
sin a
'
a
,
sin a
cos a
'
a
,
cos a
cos sin a
2
sin a
'
a
,
sin a
sin cos a
2
cos a
'
a
20 10 20 20 10 10 2
22 12 2
11 22 2
22 12 2
11 11
(8) Из первой формулы (8), учитывая равенства (2), получаем sin cos sin
)
sin a
cos a
(
cos
)
sin a
cos a
(
'
a
1 2
1 2
1 22 21 12 11 11




















Глава V. Общая теория линий второго порядка Из формул (8) получаем a’
11
+ a’
22
= a
11
+ a
22
или

1
+ a’
22
= a
11
+ Но по теореме Виета а + а =

1
+

2
, поэтому a’
22
=

2
. Следовательно, уравнение (7) линии
 имеет вид х +

2
y’
2
+ 2a’
10
x’ + 2a’
20
y’ + a
00
= 0.
(9) Коэффициенты аи а непосредственно находятся по формулам (8). Из уравнения (9) путем переноса начала координат в некоторую точку О' получаем каноническое уравнение линии
. Если  не является параболой, то О' — центр (или один из центров) линии
; если же  — парабола, то О' — ее вершина. Таким образом, для того чтобы привести уравнение (1) линии
 второго порядка к каноническому виду и построить точки этой линии, необходимо выполнить следующее.
1) Найти корни характеристического уравнения (З.
2) Найти координаты векторов
)
sin
,
(cos
'i



и по формулам (4).
3) Вычислить коэффициенты а, а по формулами записать уравнение линии
 в виде (9).
4) Переносом начала координат получить каноническое уравнение линии
.
5) Построить систему координат 'j
'i
'
O


по координатам точки О' и векторов 'i

и 'j

и затем построить точки линии
 в системе 'j
'i
'
O


по каноническому уравнению. ’ Рассмотрим пример, иллюстрирующий эту схему. Пример 1.
0 8
y
2
x
2
xy
8
y
5
x
5 2
2






1) Запишем характеристическое уравнение (3) для данной линии и найдем его корни

2
 10 + 9 = 0, 
1
= 1,

2
= 9.
2) По формулам (4) найдем координаты векторов
)
sin
,
(cos
'i



и
)
cos
,
sin
(
'j
















45
,
2 2
cos
,
2 2
sin
,
1
tg
2 2
,
2 2
'j
,
2 2
,
2 2
'i




















§ 8. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
167
3) По формулам (8) вычислим коэффициенты а, a’
20
: a’
10
=
 1, a’
20
= 0. Уравнение (9) в данном случае имеет вид х + у 2x’  8 = 0.
4) Так как
’ =19  0, то линия центральная. По формулам









0
'
a y
'
a x
'
a
,
0
'
a y
'
a x
'
a
20 22 21 10 12 11
находим координаты центра О' в системе


 
O ', i ', j ' : O'(1;0). Формулы переноса системы координат в точку О' имеют вид х' = Х + 1. y' = Y, поэтому линия в системе 'j
'i
'
O


имеет уравнение
1 1
Y
9
X
0 9
Y
9
X
2 2
2 2






(10) Это каноническое уравнение эллипса с полуосями а = 3, b = 1.
5) На рисунке 5.10 выполнено построение эллипса (10). Сначала строим систему O ' i ' j '
 
, в этой системе точку О' и через эту точку проводим оси координат системы O ' i ' j '
 
. Затем на этих осях координат отмечаем вершины эллипса по заданным полуосями вычерчиваем эллипс. Рис. 5.10

Глава V. Общая теория линий второго порядка
3. В ряде случаев, когда в исходном уравнении (1) отдельные коэффициенты равны нулю, рассмотренная выше схема упрощается. Например, если а = 0, тонет необходимости в нахождении главных направлений линии, поэтому достаточно ограничиться пунктами 4 и 5 схемы. В случае, если а = а = 0, то следует выполнить только пункты и 5. Рассмотрим примеры. Примеру +х
 у + 9 = 0. Так как a
12
= 0, то координатные векторы i

и j

имеют главные направления. Данная линия
 не имеет центров, так как система уравнений для определения центров









0
a y
a x
a
,
0
a y
a x
a
22 21 10 12 11
несовместна:
0
 х + 0 уху. Следовательно, линия
 — парабола. Главный диаметр сопряжен вектору j

, поэтому имеет уравнение у
 4 = 0, или у = 2. Эта прямая пересекает параболу
 в точке О 1

), которая является вершиной параболы. Формулы переноса системы координат в точку О' имеют вид х = Х 1
 , y = Y + 2, поэтому линия
 в системе 'j
'i
'
O


имеет уравнение. Если изменить направление оси абсцисс, те. ввести новую систему координат 'j
'i
'
O



, где j
'j
,'
i
'i







, то формулы преобразования имеют вид Х =
 Х, Y = Y', поэтому линия  в новой системе координат имеет каноническое уравнение Y’
2
= Х. На рисунке выполнено построение этой параболы. Пример 3.
х 4ху + у 15 = 0.
1) 
2
 5 = 0, 
1
= 0,

2
= 5;
2)
5 1
cos
,
5 2
sin
,
2
tg







;
3) a’
10
= 0, a’
20
= 0. Уравнение данной линии, в системе 'j
'i
'
O


имеет вид 5y’
2
 15 = 0 или y’
2
 3 = 0. В этом случае нет необходимости в переносе начала координат, так как мы уже получили каноническое уравнение пары параллельных прямых
0 3
y
,
0 3
y




. На рисунке изображена эта линия.

§ 8. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду
169 Рис. 5.11 Рис. 5.12 4) Если данная линия распадается на пару прямых, то иногда удается без приведения уравнения линии к каноническому виду разложить левую часть уравнения на множители и найти уравнения тех прямых, которые составляют линию. Пример 4.
x
2
+ xy
 2y
2
+ 5x
 5y = 0. Запишем это уравнение так
(х + 2ху + х)
 (ху + у + у) = 0
 х(х + у + 5)  уху (х  уху Глава V. Общая теория линий второго порядка Данная линия распадается на пару пересекающихся прямых х
 уху (рис. 5.13). Рис. 5.13
§ 9. Инварианты линии второго порядка
1. Пусть относительно декартовой системы координат


0, , , k
i j
  линия второго порядка имеет вид
2 2
11 12 22 10 20 00 2
2 2
0
a x
a xy a y
a x
a y a





 .
(1) Чтобы в дальнейшем применять суммирование по Эйнштейну, введем обозначения
1 2
, ,
, , ,
1,2;
, , ... 0,1,2.
def
def
x
x y
x i j p q
  Уравнение (1) запишем в виде
00 2
0,
i
j
i
ij
io
a x x
a x
a



(2) а формулы преобразования координат
1 0
2 0
cos sin
;
sin cos
x
x
y
x C
y
x
y
C







 




 



(3*)

§ 9. Инварианты линии второго порядка
171 представим в виде
0
,
i
i
p
i
p
x
c x
c



(3) где
1 1
1 2
2 2
1 2
cos , sin ,
sin , cos , .
j
i
i
j
c
c
c
c
c
c





 



(4) и cos sin det ||
||
1.
sin cos
i
p
C







(5) Определение Инвариантом линии второго порядка (2) называется функция (
)
A

I
от коэффициентов этой линии (2), которая меняется при переходе одной декартовой системы координат к другой, те.
*
(
)
* (Подставив формулы (3) в сравнение (2), получим уравнение линии второго порядка относительно новой д.с. координат
*
:
O x y
 






00 2
0,
p
q
p
pq
po
a x x
a x
a









(6) причем
,
a
a C C








(7) где
0 0
0 0
1 2
1, 0.
C
C
C



(8) Предварительно вычислим определитель с учетом (4), (8):
1 1
1 1
1 2
0 0
2 2
2 2
1 2
0 0
0 0
0 1
2 0
cos sin det ||
||
C sin cos C
1.
0 0 1
C C
C C C
C
C
C
C
C










(9)

Глава V. Общая теория линий второго порядка
2. Задача отыскания инвариантов кривой сводится к отысканию таких комбинаций коэффициентов функций от a


), которые после замены их по формулам (7), преобразовывались в аналогичные комбинации от коэффициентов Первый такой инвариант
1
I
получим, сложив почленно первые две формулы (8), § 8:
1 11 22 11 22
a
a
a
a






I
(10) Замечание Величины
11
a

и
22
a

получаются из формул (7), если последовательно положить
1
 
  и
2
 
  . Далее согласно формулами) вычисляем












2
(7)
2
det ||
||
det ||
|| det ||
|| det ||
||
det ||
|| det ||
|| det ||
|| det ||
||
def
i
j
j
i
pq
ij
p
q
ij
q
p
j
i
ij
q
p
ij
a
a C C
a Следовательно, мы нашли второй инвариант линии (2):
11 12 2
21 22
a a
def
a
a

 
I
(11) В частности, если
2 2
0 0,
def

 
 те. линия параболического типа преобразования в линию параболического типа (нецентральная линия.
3. Определение. Если для линии второго порядка (2) определитель
11 12 10 3
21 22 20 01 02 00 0,
a a
a
D
a a
a
a a
a

 то линия (2) называется нераспадающейся (или невырождаю-
щейся), а если
3 0
D
 , то линия (2) называется распадающейся вырождающейся. Ясно, что если
3 0
D
 (линия распадающаяся, то ив новой системе координат она распадающаяся и потому
3 0
D


. Теин- вариант для распадающихся линий второго порядка. Это наводит на мысль проверить, а не будет ли определитель
3
D инвариантом для любых линий второго порядка (2).

§ 9. Инварианты линии второго порядка
173 Проведем вычисления с учетом (7), (9):
3 3
det ||
|| det ||
|| det ||
|| det ||
|| det ||
||
det ||
||
D
a
a C Итак,
3 3

I
D — третий инвариант линии (2). Отметим, что все три инварианта
1 2
3
, ,
I I I
функционально независимы, те. они являются функциями от различных совокупностей коэффициентов Кроме того, корни
1

и
2

характеристического уравнения
2 1
2 0





I
I
тоже являются инвариантами линии (2), так как они являются функциями инвариантов
1
I
и
2
I
:
2 1
1 2
1,2 4
2




I
I
I
○ Покажем, что любая линия (2) не может иметь более трех функционально независимых инвариантов. Чтобы получить зависимости между a


и a

, надо в формулах (7) исключить параметры
C


. Очевидно, что среди чисел
C


только три независимых параметра
1 2
0 0
, ,
C C

Исключая из шести уравнений (7) три параметра
1 2
0 0
( ; ;
)
C мы получим не более трех зависимостей между коэффициентами и a

.● Однако, для полной классификации линий второго порядка (2) (см.
§ 10) необходимо ввести понятие полуинварианта. Определение Функция
(
)
a

I
, не меняющаяся при повороте декартовой системы координат, называется полуинвариантом или семиинвариантом), линии второго порядка (2). Используя уравнения (7), непосредственным подсчетом убеждаемся, что величина
11 10 22 20 01 00 02 00
a a
a
a
a a
K
a
a


(12) является инвариантом линии (2) при повороте декартовой системы координат, те. K — полуинвариант (семиинвариант) линии (2).

Глава V. Общая теория линий второго порядка