Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 10. Определение вида линий второго порядка по инвариантам. Классификация линий второго порядка по инвариантам 1. Путем надлежащего подбора системы координат линию второго порядка (см. (1), § 9) можно привести к одному из видов 2 2 1 2 00 1 2 0, где 0, x y a (1) 2 2 10 2 10 2 0, 0, a 0, y a x (2) 2 1 00 0. x a (3) Установим признаки определения линии второго порядка по инвариантам Пусть приводится к виду (1). В этом случае 1 1 2 2 ; I I 1 2 3 1 2 00 ; , I a поэтому уравнение (1) принимает вида Уравнение (4) задает эллипс, если 1 и 2 имеют одинаковые знаки ( 2 0 I ), а 3 2 I I — знак, противоположным знаками. Отсюда следует, что 2 1 3 0; 0 I I I . (5) Обратно, если для линии (§ 9, (1)) выполняются условия (5), то линия — эллипс. В самом деле, уравнение приводится к одному из видов (1)—(3). Так как 2 0 I , то это только уравнение (1), так как для линий вида (2) или (3) 2 В силу 2 0 I следует, что 1 и 2 одного знака, а из 1 3 0 I I получаем, что 3 2 I I имеет знак, противоположный знаками. Итак, уравнение (1) при условиях (5) задает эллипс. § 10. Определение вида линий второго порядка по инвариантам 175 Замечание В дальнейшем доказательство обратного предложения признака предоставляется читателю. б Уравнение (4) задает мнимый эллипс, если 1 , 2 , 3 2 I I имеют одинаковые знаки. Отсюда следует, что 2 0; I 1 2 0 I I (6) Доказательство обратного утверждения аналогично предыдущего см. па. Итак, условия (6) – признак мнимого эллипса. в Уравнение (4) задает гиперболу, если 1 и 2 имеют разные знаки и 3 2 0, I I те. 2 3 0; 0. I I (7) Убеждаемся, что обратное утверждение верно. Следовательно, соотношения признак гиперболы. г Уравнение (4) задает пару действительных пересекающихся прямых тогда и только тогда, когда 2 3 0; 0. I I (8) д Уравнение (4) задает пару мнимых пересекающихся прямых тогда и только тогда, когда 2 3 0; 0. I I (9) II. Пусть уравнение линии приводится к виду (2). В этом случае 2 2 1 2 2 3 2 10 1 10 ; 0; ( ) ( ) , a a I I I I поэтому уравнение (2) принимает вид 2 3 1 1 2 0. y x I I I (10) Уравнение (10) задает параболу. Здесь 1 I и 3 I имеют разные знаки. Итак, имеем 2 0, I 3 0. I (11) Глава V. Общая теория линий второго порядка Верно и обратное утверждение если условия (11) выполняются для линии , то данная линия — парабола. III. Пусть линия приведена к виду (3). В этому случае имеем 1 1 2 3 ; 0; 0 I I I и 1 00 K a Уравнение (3) примет вид 2 1 1 0. K x I I (12) Этим уравнением задается пара действительных параллельных прямых, если 0, K 1 I - любое по знаку. В этом случае имеем 2 3 0, I I 0. K (13) Верно и обратное утверждение. Поэтому условия (13) — это признак пары действительных параллельных прямых. Аналогично предыдущему можно показать, что условия 2 3 0, I I 0 K (14) характеризуют пару мнимых параллельных прямых, а условия 2 3 0, 0 K I I (15) пару совпавших прямых. Резюмируя все изложенное выше, мы приходим к следующей таблице для определения вида второго порядка по инвариантам № п/п Признак вида Приведенное уравнение Каноническое уравнение Название кривой 1 2 1 3 0, 0 I I I 2 2 3 1 2 2 0 x y I I 2 2 2 Эллипс 2 2 1 3 0, 0 I I I 2 2 3 1 2 2 0 x y I I 2 2 2 2 1 x y a b Мнимый эллипс 3 2 3 0, 0 I I 2 2 3 1 2 2 0 x y I I 2 2 2 Гипербола § 10. Определение вида линий второго порядка по инвариантам 177 Окончание табл. № п/п Признак вида Приведенное уравнение Каноническое уравнение Название кривой 4 2 3 0, 0 I I 2 2 1 2 0 x y 2 2 2 Пара действительных пересекающихся прямых 5 2 3 0, 0 I I 2 2 1 2 0 x y 2 2 2 Пара мнимых пересекающихся прямых 6 2 3 0, 0 I I 2 3 1 1 2 0 x y I I I 2 Парабола 7 2 3 0, 0 I I K 2 1 1 0 K x I I 2 Пара действительных прямых 8 2 3 0, 0 I I K 2 1 1 0 K x I I 2 2 1 x a Пара мнимых параллельных прямых 9 2 3 0 I I K 2 0 x 2 Пара совпавших прямых Рассмотрим несколько примеров определения вида линии второго порядка по инвариантам. Пример 1. 2 2 2 12 7 8 6 0 x xy y x y ( ) Определим инварианты этой линии 11 12 1 11 22 2 21 22 2 6 2 7 5; 50; 6 7 a a a a a a I I 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 2 6 4 6 7 3 4 10 3 30 50. 4 3 0 a a a a a a a a a I Глава V. Общая теория линий второго порядка В данном случае 2 3 0, 0, I I поэтому линия представляет собой гиперболу. Найдем корни характеристического уравнения 2 1 2 0, I I 2 1 2 5 50 0, 10, 5. Приведенное уравнение имеет вид 2 2 10 5 1 0. x y Пример 2. 2 2 1 3 2 6 2 8 0. ( ) x xy y x y 1 2 3 -1 3 1 4, 2, -1 1 I I 3 3 -1 -3 0 -1 -3 -1 -3 -1 1 1 0 1 1 5 5 2 10. 1 1 -3 1 8 5 1 8 В данном случае 2 1 3 0, 4 10 40 0. I I I Линия 1 представляет собой мнимый эллипс. Характеристическое уравнение имеет вид 2 1 2 4 2 0 2 2 2 2. Приведенное уравнение имеет вид 2 2 (2 2) (2 2) 5 0. x y Пример 3. 2 2 4 4 2 0. ( ) x xy y x 2 3 1 4 2 - 2 4 -2 1 1 1 0, 2 1 0 2 0 0. -2 1 2 2 4 1 - 0 2 2 Линия ( ) представляет собой параболу. Приведенное уравнение имеет вид 2 2 1 1 5 2 0, 0. 20 5 5 x y x y § 10. Определение вида линий второго порядка по инвариантам Примеры Определить вид следующих линий го порядка по инвариантам. Написать приведенные уравнения этих линий. 1) 2 2 9 4 6 6 8 2 0. x xy y x y 2) 2 12 5 12 22 19 0. xy y x y 3) 2 2 2 2 3 0. x xy y x y 4) 2 2 6 9 3 10 10 0. x xy y x y 5) 2 2 5 8 5 9 0. x xy y 6) 2 2 4 4 15 0. x xy y 7) 2 2 2 4 4 0. x y x Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 180 Глава ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Пересечение поверхности го порядка с прямой Пусть поверхность го порядка задана в аффинной системе координат уравнением del i j i ij i0 х, ха прямая l параметрическими уравнениями l: i i i р t , (2) где i, j, k…= 1,2,3; р р } — направляющий вектор прямой l, i 1 2 3 0 0 M ( ) M ( , , ) — начальная точка прямой l. Найдем точки пересечения прямой (2) и поверхности (1). Подставив х i (2) в уравнение (1), после элементарных преобразований получим) где i j ij P a р р , (4) i j i i j ij i0 ij i0 Q a р a р р (a a ) , (5) i j i ij i0 00 F( , ) a 2a a R (6) Корни уравнения (3) являются параметрами точек пересечения прямой (2) с поверхностью , заданной уравнением (1). Подставив найденное значение параметров в уравнение (2), получаем координаты точек пересечения. Таким образом, для выяснения количества и характера точек пересечения необходимо исследовать уравнение (3). § 1. Пересечение поверхности го порядка с прямой Из соотношения (4) следует, что коэффициент Р зависит от направления прямой l (от вектора р) и не зависит от выбора начальной точки М этой прямой. Значит, если для всех параллельных прямых выбрать один и тот же направляющий вектор, то коэффициент Р будет иметь одно и тоже значение. Поэтому, если для некоторой прямой Р ≠ 0 (Р = 0), то для всех прямых, параллельных этой прямой, коэффициент Р ≠ 0 (Р = 0). Это обстоятельство позволяет ввести Определение Прямые, направляющие векторы которых удовлетворяют условию Р = 0, называются прямыми асимптотического направления относительно данной поверхности , а направляющие векторы р этих прямых — векторами асимптотического направления или асимптотическими векторами. Исследование уравнения (3) по существу ничем не отличается от исследования аналитического уравнения § 2 главы V. В результате имеет место Теорема 6.1. Если прямая (2) не имеет асимптотического направления по отношению к поверхности (1), то она пересекает поверхность в двух точках а) действительных различных, если 2 D б) комплексно-сопряженных, если D < 0; с) совпадающих, если D = 0. Если прямая имеет асимптотическое направление по отношению к поверхности (1), то она либо пересекается с ней водной точке (P = 0; Q ≠0), либо не имеет с ней ни одной общей точки (Р = 0; Q = 0, R ≠ 0), либо принадлежит поверхности всеми своими точками (Р = 0; Q = 0; R = 0). Следствие Если прямая имеет с поверхностью более двух общих точек, то она целиком лежит на поверхности. Определение Прямые, принадлежащие поверхности (1), называются прямолинейными образующими поверхности. Пример. Найти те прямолинейные образующие поверхности 2 х у) которые проходят через точку (1;1;1). Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 182 Пусть р ( , , ) — направляющий вектор искомой прямолинейной образующей l, тогда параметрические уравнения образующей имеют вид x 1 t, y 1 t, z 1 t. (8) Подставив значения x,y,z (8) в уравнение (7), после элементарных преобразований получаем 0 t ) ( 2 t ) ( 2 2 2 Прямая l будет прямолинейной образующей в томи только в том случае, когда 2 2 2 0, 0. (9) Отметим, что ≠ 0, так как в противном случае ( = 0) из (9) следует. Разделим соотношения (9) на ≠ 0 и, вводя новые неизвестные ; , получаем 2 2 1, 1. (10) Из системы (10) находим, что 0 , 1 1 , 0 2 2 Положив = 1, получаем координаты двух направляющих векторов прямолинейных образующих р 1; 1) и р Итак, параметрические уравнения прямолинейных образующих имеют вид 1 2 : x 1; y 1 t; z 1 t; : 1 t; y 1; z 1 t. l l (11) Подставив значения x, y, z изв уравнение (7) убеждаемся в том, что уравнение (7) превращается в тождество относительно t. Другими словами, прямые l 1 и l 2 являются прямолинейными образующими поверхности (7). § 2. Пересечение поверхности го порядка с плоскостью § 2. Пересечение поверхности го порядка с плоскостью Пусть поверхность го порядка задана уравнением F(x,x) 0, (1) а плоскость уравнением А x A 0. (2) Теорема 6.2. Если существует хотя бы один неасимптотиче- ский вектор р, то линия пересечения поверхности (1) с плоскостью (2) является линией го порядка Выберем новую аффинную систему координат * * * * 1 2 3 {O ,e ,e ,e } так, что * * * 1 2 O , е || , e || , тогда уравнение плоскости в системе * * * * 1 2 3 {O ,e ,e ,e } имеет вид х) поверхности : i j i ij i0 00 a ха линия пересечения запишется в виде 1 2 1 2 2 2 1 2 11 12 22 10 20 00 а x а x x а x а а x ах) Путь 1 р (p ;p ;0) 0, р || и p — неасимптотический вектор поверхности, те. i 2 1 2 2 2 11 12 22 a p p 2a p p a p p 0. (6) Из (6) следует, что хотя бы один из коэффициентов 11 12 22 a а а отличен от нуля, те. линия (5) — есть линия го порядка. Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 184 Теорема 6.3. Пусть в некоторой аффинной системе координат 1 2 3 {O,e ,e ,e } поверхность задана уравнением (1), а плоскость — уравнением (2). Пусть любой вектор р || является вектором асимптотического направления относительно поверхности (1), тогда имеются следующие случаи расположения плоскости и поверхности : а) плоскость пересекает поверхность по прямой или касается поверхности по прямой б) плоскость не имеет ни одной общей точки с поверхностью ; в) плоскость целиком принадлежит поверхности . Выберем систему координат так, как ив теореме 6.2., тогда поверхность задается уравнением (4), плоскость уравнением (3), а линия пересечения — уравнениями (5). Однако в этом случае, так как векторы ее ее параллельны и являются асимптотическими (Р = 0), имеем 11 22 а а а) В силу (7) линия пересечения плоскости и поверхности имеет вида ха ха х) Возможны следующие случаи 1) 10 а а те. плоскость пересекает поверхность по прямой (8) или касается поверхности по прямой 2) 10 20 а а, а те. уравнение (9) не имеет смысла, те. плоскость не пересекает поверхность ; 3) 10 20 а а а те. координаты любой точки плоскости х удовлетворяют (9) и, следовательно § 3. Цилиндрические поверхности го порядка Пусть относительно аффинной стстемы координат уравнение поверхности имеет вид F(x,x) = 0. (1) § 3. Цилиндрические поверхности го порядка Теорема 6.4. признак цилиндрической поверхности. Для того, чтобы поверхность го порядка была цилиндрической с образующими параллельными вектору i р {p } , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия i ij i i0 a p 0, a p 0. (2) Необходимое условие признака Пусть уравнение (1) задает цилиндрическую поверхность с образующими параллельными вектору р {p } . Докажем, что координаты вектора р удовлетворяют условиям (2). Пусть М ( ) — произвольная точка пространства, а l — прямая, проходящая через эту точку и параллельная вектору р. Тогда прямая l является либо прямолинейной образующей поверхности (1), либо не имеет с ней ни одной общей точки. В силу теоремы 6.1 в обоих случаях имеем i j i ij i0 Q 0 a p a p 0. (3) Соотношение (3) есть тождество относительно j ( ) , поэтому справедливы условия (2). Достаточное условие признака Пусть для поверхности (1) существует вектор р, координаты которого удовлетворяют соотношениям (2). Возьмем произвольную точку Ми покажем, что прямая. i i i : x p t , l (4) проходящая через точку и параллельная вектору р, является прямолинейной образующей поверхности (1). Из условия (2) следует, что i j ij P (a p )p 0, Q 0. Так как М , то i i F( , ) 0. R Итак, Согласно теореме (6.1.) это означает, что l (4) — прямолинейная образующая поверхности. В силу того, что М — произвольная точка поверхности, утверждаем, что поверхность (1) — цилиндрическая поверхность. Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 186 Пример. Доказать, что поверхность, заданная в аффинной системе координат уравнением 2 2 3 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 4х 2х 3х 4х х 4х х 8х 4х 8х 0 (5) является цилиндрической. Найти направление прямолинейных образующих Составим систему (2) для данной поаерхности (5) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 р р 2р 0, 0 р 2р 2р 0, 2р 2р 3р 0, 4р 2р 4р 0. Решив систему, убеждаемся, что вектор р ( 1; 2; 2) — направляющий вектор образующих цилиндрической поверхности (5). Теорема 6.4 позволяет установить другой критерий для определения цилиндрических поверхностей второго порядка. Действительно, рассмотрим матрицу 11 12 10 21 22 20 31 32 30 01 02 а а а а а а А а а а а а аи обозначим через r ранг этой матрицы возможны следующие случаи а) r A = 3. В этом случае система (2) имеет только нулевое решение, поэтому поверхность (1) не является цилиндрической. б) r A = 2. Имеется одно направление, удовлетворяющее системе (2). Поверхность (1) является цилиндрической с определенным направлением образующих. в) r A = 1. Имеется бесконечное множество направлений, удовлетворяющих системе (2). Все они параллельны некоторой плоскости. В этом случае можно доказать, что поверхность распадается на пару плоскостей (см. § 2), темы имеем цилиндрическую поверхность, направляющей которой является пара прямых. Ранг матрицы (6) не может быть равен нулю, так как по определению поверхности го порядка хотя бы один из коэффициентов a ij (при i, j ≤ 3) неравен нулю. |