Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 3. Цилиндрические поверхности го порядка Следовательно, справедлива Теорема 6.5. Пусть поверхность го порядка задана в аффинной системе координат уравнением (1) и r A — ранг матрицы (6). Для того, чтобы поверхность была цилиндрической, необходимо и достаточно, чтобы А ≤ 2. При этом, если А = 2, то цилиндрическая поверхность имеет образующие определенного направления, а при А = 1 она распадается на пару плоскостей. § 4. Конические поверхности го порядка Докажем признак для определения конических поверхностей. Теорема 6.6. Для того, чтобы поверхность второго порядка , определяемая в аффинной системе координат уравнением del i j i ij i0 00 : F(x,x) a x x 2a x a 0 (1) была конической поверхностью с вершиной в точке M 0 ( i ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия j ij i0 i i0 00 a a 0, a a 0. (2) Необходимое условие признака. Пусть (1) — коническая поверхность второго порядка с вершиной в точке М. Возьмем произвольный вектор def 1 2 3 i p (p ,p ,p ) {p } неасимптотического направления и проведем через М прямую. i i i : x p t l , (3) параллельную вектору р Параметры точек пересечения поверхности (1) и прямой l(3) является корнями квадратного уравнения (§ 1): 2 Pt 2Qt 0. R (4) Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 188 По определению конической поверхности прямая l (3) либо пересекает поверхность (1) водной точке М, либо целиком принадлежит . В обоих случаях (см. § 1) 0 p ) a a ( 0 p a p a 0 Q i 0 i j ij i 0 i j i Последнее соотношение есть тождество относительно {p i } так как вектор р выбирался произвольно, те. j ij i0 a a 0. (5) Точка i j i j i i 0 ij i0 00 ij i0 i0 00 M a 2a a 0 (a a ) (a a ) 0. Отсюда в силу (5) имеем i i0 00 a a 0. (6) Из (5) и (6) следуют соотношения (2). Достаточное условие признака. Пусть для поверхности (1) выполняются условия (2). Покажем, что поверхность (1) — коническая поверхность с вершиной в точке М. Прежде всего в силу (5) и (6) (или (2)) имеем i j i j i i ij i0 00 ij i0 i0 00 F( ; ) a 2a a (a a ) (a a ) 0, те. точка М. Кроме того, из (5) следует, что 0 a a Q 0 i j ij Проведем произвольную прямую l (3) через точку М. Тогда с учетом, что R = Q = 0, получаем следующее уравнение для определения параметров точек пересечения прямой l с поверхностью (1): Pt 2 = 0. (7) Отсюда следует, что прямая l(3) либо целиком принадлежит поверхности) (Р = 0), либо пересекает ее только в точке М (t = 0). Таким образом, — коническая поверхность с вершиной в точке М (по определению конической поверхности. § 4. Конические поверхности го порядка Доказанная теорема 6.6 позволяет установить другой критерий для определения конических поверхностей. Рассмотрим матрицы 11 12 13 11 12 13 10 21 22 23 21 22 23 20 31 32 33 31 32 33 30 01 02 03 01 02 03 а а а а а а а а а а а а а а А , А а а а а а а а а а а а а а а) Система (2) совместна тогда и только тогда (теорема Кронекера- Капелли), когда ранги этих матриц равны между собой, те. A A r r Итак, имеет место Теорема 6.7. Для того чтобы поверхность (1) была конической, необходимо и достаточно, чтобы ранги матриц (8) совпадали. Следствие. Если (1) — коническая поверхность, то 11 12 13 10 21 22 23 24 31 32 33 30 01 02 03 а а а а а а а а 0. а а а а а а а а) Действительно, если (1) — коническая поверхность, то ранги матриц (8) совпадают, поэтому ранг A r 4. Отсюда следует, что определитель этой матрицы равен нулю (9). Пример. В аффинной системе координат дана поверхность второго порядка 2 2 2 1 2 3 1 3 1 2 3 35 2х 3х 2х 8х х 4х 6х х 3 (10) Показать,что эта поверхность является конической, и найти координаты вершины. Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 190 Для поверхности (10) уравнения (2) принимают вид 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0 4 2 0, 0 3 0 3 0, 4 0 2 4 0, 35 2 3 4 0. 3 Эта система имеет единственное решение 1 5 3 , 2 1 , 3 4 3 На основании теоремы 6.6 утверждаем, что поверхность (10) коническая с вершиной в точке 0 М 1; 3 3 § 5. Сопряженные и главные направления относительно поверхности го порядка 1. Сопряженные направления. Пусть в аффинной системе координат поверхность второго порядка задана уравнением def i j i ij i0 00 : F(x;x) a x x 2a x a 0. (1) Определение. Если координаты двух ненулевых векторов i p {p и j q {q } удовлетворяют соотношению i j ij a p q 0, (2) то векторы называются сопряженными относительно поверхности (1). Очевидно понятие сопряженности есть взаимное понятие, так как i j i j ij ij a p q а qp Понятие сопряженности в некотором смысле является обобщением понятия асимптотичности. § 5. Сопряженные и главные направления относительно поверхности го порядка Действительно, если сопряженные векторы р и q коллинеарны, то i i p q p q . (3) Подставив р i (3) в соотношения (2), получим условие асимптотичности: i j ij a qq 0, (4) Можно показать [§ 5, п. 4], что понятие сопряженности векторов относительно) не зависит от выбора системы координат и, следовательно, является геометрическим понятием. Основные свойства понятия сопряженности относительно (1): 1) Если векторы р и q сопряжены относительно , то и векторы p и q , где ≠ 0; ≠ 0, сопряжены относительно . 2) Если вектор р сопряжен стремя векторами q , m, n , то он сопряжен с любой линейной комбинацией этих векторов. В частности, если вектор р сопряжен стремя некомпланарными векторами 1 ее е }, то он сопряжен с любым вектором пространства, так как любой вектор пространства линейно выражается через базисе ее пространства. 3) Для того чтобы базисные векторы 1 ее е были взаимно сопряжены относительно (1), необходимо и достаточно, чтобы а = а = а = 0. (5) 4) Для любой плоскости пространства существуют два вектора p q , которые параллельны плоскости и сопряжены относительно поверхности (1). 2. Главные направления. Определение Направление нулевого вектора р называется главным относительно поверхности (1), если любой вектор х р сопряжен с ним. Найдем условия, при которых данный вектор имеет главное направление Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 192 Теорема 6.8. Если поверхность второго порядка задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1), то, для того чтобы ненулевой вектор i p {p } имел главное направление относительно , необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число , при котором координаты вектора р удовлетворяли условиям j i ij a р р . (6) Необходимость условий (6). Пусть i p {p } имеет главное направление относительно поверхности (1). Это означает, что если х р , то i х {х } сопряжен с рте. если 1 1 2 2 3 х p х р х р) то j i j 1 j 2 j 3 ij 1j 2 j 3 j a p x 0 a p x a p x a p x 0. (8) Условия (7) и (8) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда коэффициенты при х, х, х пропорциональны, те. существует число такое, что выполняются соотношения (6). Достаточность условий (6). Пусть существует число такое, что выполняются соотношения (6). Тогда для всякого векторах, удовлетворяющего условию (7), выполняется также условие (8), те. вектор р имеет главное направление. Доказанная теорема 6.8 дает возможность решить задачу об определении главных направление данной поверхности (1). Систему (6) представим в виде 1 2 3 11 12 13 1 2 3 21 22 23 2 3 31 32 33 (a )p a p a p 0, a p (a )p a p 0, a a p (a )p 0. (9) Рассмотрим эту систему как систему линейных уравнений относительно. Система (9) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, те. § 5. Сопряженные и главные направления относительно поверхности го порядка 11 12 13 21 22 23 31 32 а - а а а а - а 0. а а а (10) Заметим, что кубическое уравнение (10) относительно всегда имеет по крайней мере, один действительный корень. Решив уравнение, найдем значение и, подставив найденное значение в уравнения, определим координаты вектора, имеющего главное направление. Таким образом, каждому действительному значению соответствует по крайней мере один вектор главного направления. Может случится итак, что данному значению соответствует несколько попарно неколлинеарных векторов главного направления, даже бесконечное множество таких векторов. Уравнение (10) называется характеристическим уравнением поверхности, а его корни — характеристическими числами поверхности. Теорема 6.9. Каждая поверхность второго порядка имеет по крайней мере три взаимно перпендикулярных главных направления. Характеристическое уравнение (10) как алгебраическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами имеет имеет по крайней мере один действительный корень 1 . Подставив значение этого корня в уравнения (9), получим ненулевое решение i 2 р (р р р ) — вектор главного направления. Пусть плоскость р . По свойству (4) сопряженных направлений найдутся два вектора m и n такие, что m n , m || , n || и, кроме того, они сопряжены относительно поверхности (1). Таким образом, мы имеем тройку попарно перпендикулярных и попарно сопряженных векторов р . Векторы р определяют главные направления поверхности (1). Теорема 6.10. Для того, чтобы р 0 был вектором главного и асимптотического направления поверхности (1), необходимо и достаточно, чтобы координаты вектора i р {p } удовлетворяли условиям j ij a p 0. (11) Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 194 Необходимость. Если вектор р — есть вектор главного и одновременно асимптотического направления, то = 0 и из (6) следует (11). Достаточность. Из (11) и (6) следует, что = 0, те. вектор р — есть вектор плавного и асимптотического направления поверхности (1). Пример. Определить векторы главных направлений относительно поверхности второго порядка. 0 30 х 2 х х х 4 х х 4 х 5 х 6 х 7 2 1 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 Составим характеристическое уравнение данной поверхности 3 2 7- -2 0 -2 6- -2 0 18 99 162 0. 0 -2 5 (12) Находим корни уравнения (12): 1 = 3, 2 = 9, 3 = 6. Координаты вектора главного направления, соответствующего корню 1 = 3, определяются из соотношений (9): р 2р - , 0 р 2 р 3 2р - , 0 р 2 р 4 3 2 3 2 1 2 Рассмотрим первые два уравнения. Учитывая, что определитель, составленный из коэффициентов при р и р в этих уравнениях неравен нулю, мы приходим к выводу, что третье уравнение есть следствие первых двух. Из первых двух уравнений получаем ,t 4 t 2 3 0 р 2 4 р 2 2 4 р 3 где t ≠ 0. В частности, при t = 1 получаем p (4;8;8), который является вектором главного направления, соответствующего характеристическому числу 3. Аналогично, если 2 = 9 получаем соответствующий вектор главного направления q (2; 2;1) и для числа 3 = 6 − r (2;1; 2). § 6. Диаметральные плоскости, центр поверхности го порядка § 6. Диаметральные плоскости, центр поверхности го порядка 1. Пусть в аффинной системе координат задана поверхность второго порядка уравнением def i j i ij i0 00 : f(x,x) a x x 2a x a 0. (1) Теорема 6.11. Геометрическое место середин всех хорд поверхности (1), параллельных вектору i р {p } неасимптотического направления, есть плоскость, заданная уравнением def i j i ij i0 Q a p x a p 0. (2) Доказательство теоремы 6.11 аналогично соответствующей теореме из теории линий второго порядка (глава 5). Плоскость (2) называется диаметральной плоскостью поверхности второго порядка, соответствующей (или сопряженной) вектору р Итак, каждому вектору р неасимптотического направления соответствует своя диаметральная плоскость (2): j i ij i0 (a x a )p 0. (2*) Выясним геометрический смысл понятия сопряженности векторов р и i q {q } относительно поверхности (1): i j j i ij ij a p q 0 (a q )p 0. (3) Сравнивая (3) и (2*) убеждаемся, что соотношение) есть необходимое и достаточное условие параллельности вектора q и плоскости (2*). Отсюда следует вывод (геометрический смысл сопряженности векторов относительно поверхности ): если р не имеет асимптотического направления, то для того, чтобы вектор q был сопряжен с вектором р, необходимо и достаточно, чтобы q был параллелен диаметральной плоскости, соответствующей (сопряженной) вектору р. Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 196 2. Определение. Диаметральная плоскость, являющаяся плоскостью симметрии поверхности (1), называется главной (диаметральной плоскостью Диаметральная плоскость будет главной тогда и только тогда, когда она ортогональна вектору, которому она сопряжена (соответствует. Таким образом, для того чтобы диаметральная плоскость была главной, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий ей вектор имел главное, ноне асимптотическое направление. Это предложение позволяет практически определять все главные диаметральные плоскости. 3. Центр поверхности второго порядка. Определение. Точка С пространства называется центром поверхности (1), если поверхность симметрична относительно С. Это значит, что для всякой точки М, принадлежащей поверхности, точка М, симметричная М относительно С, также принадлежит поверхности. Теорема 6.12. Для того чтобы Сбыла центром поверхности (1), необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли системе уравнений j ij 0 i0 a x a 0. (4) Необходимость условия (4). Пусть С) — центр поверхности (1). Возьмем три некомпланарных вектора i р {p } , i q {q } , i m {m не имеющих асимптотических направлений относительно (1). Если через точку С провести три прямые, параллельные векторам p,q,m, то каждая из этих прямых пересекается с поверхностью соответственно в двух точках Р, Р Q 1 , Q 2 ; M 1 , M 2 . Точка С как центр поверхности является серединой отрезков Р 1 Р 2 , Q 1 Q 2 , M 1 M 2 . Отсюда следует, что С принадлежит диаметральным плоскостям, соответствующим (сопряженным) векторам p,q,m, : j i ij 0 i0 j i ij 0 i0 j i ij 0 i0 (a x a )p 0, (a x a )q 0, (a x a )m 0. (5) § 6. Диаметральные плоскости, центр поверхности го порядка Так как (p,q,m) 0, то система (5) имеет нулевое решение, те. j ij 0 i0 a x a 0. Достаточность условия (4). Пусть координаты точки Судов- летворяют соотношениям (4). Возьмем произвольную точку Ми докажем, что точка М) симметричная точке М относительно С, также принадлежит (1). Имеем i i i i i i 1 2 0 2 0 1 x х x 2x x Подставляя i 2 x в уравнение (1) убеждаемся, что координаты точки М удовлетворяют уравнению (1). Итак, мы доказали, что точка М, симметричная любой точке М относительно точки С, принадлежит этой поверхности , те. С — центр поверхности . Доказанная теорема 6.12 позволяет исследовать вопрос о существовании центров поверхностей второго порядка. Задача сводится кис- следованию системы уравнений (4). Рассмотрим матрицы 11 12 13 11 12 13 10 21 22 23 21 22 23 20 31 32 33 31 32 33 а а а а а а а В а а а , В а а а а а а а а а а аи пусть B B r r, r R. Очевидно, что r ≤ R. Возможны следующие случаи 1) r = R = 3. В этом случае система (4) имеет единственное решение и соответственно этому поверхность (1) имеет один и только один центр. Определение. Поверхности (1), имеющие один и только один центр, называются центральными поверхностями второго порядка 2) R = r = 2. В данном случае система (4) совместима и имеет бесконечное множество решений. Так как R = 2, то система содержит два линейно независимых решения. Значит, точки, координатами которых являются решения системы (4), в данном случае лежат на одной прямой. Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка 198 Итак, при r = R = 2 поверхность имеет прямую центров, определяемую системой (4). 3) R = r = 1. Система (4) имеет бесконечное множество решений. В этом случае два уравнения являются следствиями одного, поэтому поверхность (1) имеет плоскость центров. 4) r < R. Система (4) не имеет ни одного решения, в соответствии с этим поверхность не имеет ни одного центра. Определение Поверхности , не имеющие ни одного центра или имеющие бесконечное множество центров, называются нецентральными поверхностями второго порядка. Следствие Поверхность (1) является центральной тогда и только тогда, когда 11 12 13 3 21 22 23 31 32 а а а а а а 0. а а а) Пример. Найти центр поверхности второго порядка 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 3 2х 12х 4х 8х х 4х х 12х х 10х 14х 7 0. Для данной поверхности составим систему (4): 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0 2х 4х 2х 5 0, 4x 12х 6х 0, 2x 6х 4х 7 Так как 3 ≠ 0, то система имеет единственное решение 1 0 3 x ; 2 2 0 x 0; 3 0 x 1. 4. В заключение рассмотрим несколько теорем, весьма полезных для практики. Теорема 6.13. Для того чтобы начало координат совпадало с центром поверхности, необходимо и достаточно, чтобы а = а = а = 0. (8) |