Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 2. Признаки коллинеарности и компланарности векторов Теорема 4. Если векторы a , b , c таковы, что || a b и b a c (2.4), то они компланарны. Отложим от некоторой точки О пространства вектор a OA , затем от точки А вектор b AB . Так как OB AB OA , то a b OB (2.7) Из (2.4) и (2.7) следует, что c OB . Через точки О, Аи В проходит плоскость = (АОВ) (рис. 1.9). Рис. 1.9 Так как 0, 0, то из равенств a OA , b AB , c OB следует, что векторы параллельны плоскости , те. они компланарны Теоремы 3 и 4 определяют соответственно необходимое и достаточное условия компланарности трех векторов a ,b ,c , среди которых, по крайней мере, два неколлинеарны. Теорема 5. (Признак компланарности векторов. Пусть векторы a , b , c таковы, что Для того чтобы векторы a , b , c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (2.4). АО В c a a b b Глава I. Векторы и операции над ними 14 § 3. Линейная зависимость векторов Пусть дана система векторов 1 a , 2 a , …, n a (3.1) Условимся в следующей терминологии. Линейную комбинацию n n a ... a a 2 2 1 1 (3.2) назовем тривиальной, если все ее коэффициенты 1 , 2 ,, n равны нулю. В этом случае комбинация всегда равна 0 . Если в соотношении (3.2) хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то эта комбинация называется нетривиальной. Система (3.1), состоящая из n векторов, называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов равна 0 , те. 0 2 2 1 1 n n a a a , 0 2 2 2 2 1 n (3.3) Если равенство (3.3) справедливо только тогда, когда линейная комбинация (3.2) тривиальна то система векторов (3.1) называется линейно независимой. При n = 1 имеем систему, состоящую из одного вектора. Очевидно, что такая система будет линейно независима тогда и только тогда, когда вектор системы ненулевой. Рассмотрим некоторые свойства системы линейно зависимых (независимых) векторов. Свойство 1. При n > 1 система векторов (3.1) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой системы Пусть система (1) линейно зависима, те. в равенстве (3.3) одно из чисел n ,..., , 2 1 отлично от нуля. Пусть 0 k (k — одно из чисел 1,2,…,n). Равенство (3.3) перепишем в виде n k n k k k k k k k k k a a a a a a 1 1 1 1 2 2 1 1 § 3. Линейная зависимость векторов Итак, вектор k a является линейной комбинацией остальных векторов системы (3.1). Обратно, пусть в системе (3.1) вектор k a является линейной комбинацией остальных векторов, те. 0 ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n k k k n k n n k k k k k a a a a a a a a a a (3.4) Таким образом нетривиальная комбинация векторов (3.4) равна 0 , те. согласно определению векторы системы (3.1) линейно зависимы. Свойство 2. Если часть (подсистема) данной системы векторов (3.1) линейно зависима, то и вся система (3.1) линейно зави- сима Действительно, пусть система из m (m<n) векторов m a a a ,..., , 2 1 линейно зависима, те. 0 0 2 1 1 m m k k k a a a a , где, например, 0 k . Тогда имеем следующую нетривиальную комбинацию векторов системы (3.1) равную нулевому вектору 0 0 0 1 0 2 1 Значит, система векторов (3.1) также линейно зависима. Свойство 3. Если в системе векторов (3.1) имеется нуль-век- тор, то система (3.1) линейно зависима Занумеруем векторы системы в таком порядке n a ,..., a , a , 3 2 0 . Для доказательства го свойства достаточно предъявить пример нетривиальной комбинации этих векторов равной нуль-вектору: 0 0 0 0 0 1 3 2 n a a a Свойство 4. Если система векторов (3.1) линейно независима, то любая ее подсистема также линейно независима Доказательство проведем методом от противного. Итак, пусть найдется линейно зависимая подсистема данной системы векторов (3.1). Тогда по свойству 2 вся система векторов (3.1) будет линейно зависима, что противоречит условию. Отсюда следует, что допущение неверно и, следовательно, свойство 4 справедливо. Глава I. Векторы и операции над ними 16 Выясним геометрическую интерпретацию линейной зависимости системы, состоящей из трех векторов. Теорема 6. Система из двух векторов , a b линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Пусть система векторов , a линейно зависима. По свойству 1 хотя бы один из векторов линейно выражается через другой. Пусть, например, a b . В силу теоремы 8 векторы a и b коллинеарны. Докажем достаточное условие. Допустим, что b a || . Если 0 a , то по свойству 3 система векторов , a b линейно зависима. Если 0 a , тогда в силу теоремы 1 имеем 0 ) 1 ( b a a b , те. система векторов , a b линейно зависима. Теорема 7. Система векторов, , a b c линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны Пусть система векторов c b a , , линейно зависима. По свойству 1 имеем, например, c a b (3.5) Если b a || , то из соотношения (3.5) находим, что все три вектора c b a , , коллинеарны и, следовательно, компланарны. Если векторы и b неколлинеарны, то согласно теореме 5 векторы c b a , , компланарны. Докажем обратное утверждение. Пусть c b a , , компланарны. Если b a || , то по теореме 6 векторы a и b линейно зависимы. Отсюда по свойству 2 система c b a , , линейно зависима. Если векторы a и b неколлинеарны, то по теореме 3 о компланарных векторах Тогда в силу свойства 2 система векторов c b a , , линейно зависима. § 4. Координаты векторов и точек в пространстве и на плоскости § 4. Координаты векторов и точек в пространстве и на плоскости 1. Предварительно докажем теорему о разложении вектора потрем некомпланарным векторам. Теорема 8. Если векторы c b a , , некомпланарны, то для любого вектора p существуют единственные числа , , такие, что p a b c (4.1) Докажем сначала существование чисел , и , удовлетворяющих равенству (4.1). Отложим от некоторой точки О пространства векторы a OA , b OB , c OC , p OP . Так как векторы c b a , , некомпланарны, то точки О, А, В, Сне лежат водной плоскости. Риса) Если точка Р лежит на прямой ОС (рис. 1.10), то векторы c OC и p OP коллинеарны, поэтому по теореме 2 следует c b a p c p 0 Итак, мы получим равенство вида (4.1). Аналогично рассматриваются случаи, когда точка Р лежит на прямой ОВ (или ОА). б) Пусть точка Р лежит, например, в плоскости АОС (в плоскости АОВ или ВОС). Тогда векторы p OP , a OA , c OC компланарны. С Р ВО АС Р А ВО Глава I. Векторы и операции над ними 18 По теореме 5 получим c b a p c a p 0 , те. равенство видав) Наконец, рассмотрим случай, когда точка Р не лежит нив одной из плоскостей АОВ, АОС, ВОС (рис. 1.10). Проведем через точку Р прямую Р, где F — точка пересечения этой прямой с плоскостью АОВ. Так как векторы a , b и OF компланарны, то по теореме 5 существуют числа и такие, что b a OF . С другой стороны, векторы FP и c коллинеарны и поэтому (теорема 2). По правилу треугольника сложения векторов Итак, разложение вида (4.1) существует. Докажем теперь, что числа , , в равенстве (4.1) определяются однозначно. Пусть существуют числа 1 , 1 , 1 такие, что c b a p 1 1 1 (4.2) Из равенств (4.1) и (4.2) получаем 0 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 c b a (4.3) В равенстве (4.3) 0 1 , 0 1 , 0 1 . Действительно, если допустить противное, те, например, 0 ) ( 1 , то из равенства (4.3) получим c b a 1 1 1 1 (4.4) Из равенства (4.4) в силу теоремы 8 следует, что векторы компланарны. Получили противоречие с условием. Итаки, следовательно, единственность разложения (4.1) доказана. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов 3 называется аффинным базисом векторов пространства. Упоря- § 4. Координаты векторов и точек в пространстве и на плоскости доченная тройка попарно перпендикулярных и единичных векторов (ортов) называется прямоугольным декартовым базисом векторов пространства (рис. 1.11). Рис. 1.11 1 2 3 , , e e e — аффинный базис , , i j k — прямоугольный декартов базис или ортонормированный базис. Введем понятие координат вектора в данном базисе. Пусть 1 2 3 , , e e e аффинный базис пространства, p — произвольный вектор пространства. По теореме 8 вектор p можно разложить по векторам 1 2 3 , , e e e , те представить p в виде 3 2 1 e z e y e x p (4.5) Коэффициенты x, y, z в разложении вектора p по аффинному базису 3 2 1 , , e e e называются аффинными координатами вектора p в этом базисе (или относительно этого базиса. Число х называется первой координатой, y — второй, z — третьей координатой вектора p . Коэффициенты x, y, z в разложении p xi yj zk (4.6) О 2 e 1 e 90 90 90 i j k Глава I. Векторы и операции над ними 20 вектора p по ортонормированному базису , , i j k называются декартовыми координатами вектора p в базисе , , i j k Ортонормированный базис , , i j k есть частный случай аффинного базиса 1 2 3 , , e e e . Если вектор p в данном базисе имеет координаты то кратко это будем записывать так p = (x, y, z) или p (x, y, z). Отметим, что базисные векторы 1 2 3 , , e e e в базисе 1 2 3 , , e e e имеют координаты 1 (1,0,0) e , 2 (0,1,0) e , Аналогично вводятся координаты векторов на плоскости. Упорядоченная пара неколлинеарных векторов 1 2 , e e называется аффинным базисом векторов плоскости. Упорядоченная пара единичных и перпендикулярных векторов называется прямоугольным декартовым базисом или ортонормированным базисом векторов на плоскости. Коэффициенты в разложении 1 2 a xe ye (или a xi yj ) (4.7) вектора a по аффинному базису (декартовому базису) называются соответственно аффинными (декартовыми) координатами вектора a в этом базисе. Обозначение 1 2 ( , ) a xe ye a x y . (4.8) Теорема 9. Какова линейная зависимость векторов 1 1 2 2 n n p a a a , (4.9) такова и линейная зависимость их соответствующих координат. § 4. Координаты векторов и точек в пространстве и на плоскости Пусть относительно декартового базиса , , i j k заданы векторы 1 2 3 ( , , ) p p p p , 1 1 1 1 ( , , ) a x y z , 2 2 2 2 ( , , ) a x y z , …, ( , , ) n n n n a x y z . Разложим эти векторы по векторам базиса , , i j k и, подставив в равенство, получим 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n n n n n n n n p x i y j z k x i y j z k x i y j z k x x x i y y y j z z z k (4.10) С другой стороны, k z j y i x p (4.11) Сравнивая разложения (4.10), (4.11) вектора p по базису и учитывая, что эти разложения определяются единственным образом, приходим к следующей системе 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , , n n n n n n x x x x y y y y z z z z (4.12) Из соотношений (4.5) и (4.12) следует утверждение теоремы 9. Теорема 10. Для того, чтобы векторы ) , , ( 3 2 1 a a a a и ) , , ( 3 2 1 b b b b , заданные координатами в базисе 3 2 1 , , e e e были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны Если один из векторов a или b нулевой, то утверждение очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда 0 a и 0 b . В силу теорем 2 и 9 получаем цепочку эквивалентных предложений , , || 3 3 2 2 1 1 b a b a b a b a b a (4.13) Пусть дана упорядоченная тройка некомпланарных векторов a OA , b OB , c OC . Будем говорить, что эта тройка векто- Глава I. Векторы и операции над ними 22 ров ( c b a , , ) образует тройку векторов правой ориентации (левой ориентации, если кратчайший поворот от OA кв плоскости (АОВ) совершается против часовой стрелки (почасовой стрелке) предполагается, что мы смотрим на плоскость (АОВ) из точки С) рис. 1.12). Правая тройка векторов Левая тройка векторов Рис. 1.12 При циклической перестановке векторов данной тройки ( c b a , , ) ее ориентация не меняется ( c b a , , ),( a c b , , ),( b a c , , ) — правые (левые) тройки векторов, если ( c b a , , ) — правая (левая) тройка векторов. Геометрический образ, состоящий из фиксированной точки и аффинного базиса 3 2 1 , , e e e называется аффинной системой координат 3 2 1 , , , e e e O в пространстве. Точка О называется началом координата векторы 3 2 1 , , e e e — координатными векторами ( 1 e — первый координатный вектор 2 e — второй, а 3 e — третий. Прямоугольная декартова система координат k j i O , , , состоит из фиксированной точки О и ортонормированного базиса k j i , , . Точка О — начало координат, векторы k j i , , — координатные векторы (рис. 1.13). СВ АО С А ВО. Координаты векторов и точек в пространстве и на плоскости Рис. 1.13 Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, называются координатными осями. Положительные направления координатных осей определяются координатными векторами. Оси, параллельные векторам 3 или векторам k j i , , ), называются соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат и обозначаются так Ox, Oy, Oz. Плоскости, определяемые осями Охи О, Ox и Oz, Oy и Oz называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно через Oxy, Oxz, Oyz. Пусть 3 2 1 , , , e e e O аффинная система координата М — произвольная точка пространства. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки М. Координаты x, y, z вектора OM в базисе 3 2 1 , , e e e называются аффинными координатами точки М в системе координат 3 2 1 , , , e e e O , те. ) , , ( 3 2 1 z y x M e z e y e x OM (4.13) Для построения точки M(x,y,z) по ее координатам в системе 3 2 1 , , , e e e O воспользуемся формулой (4.13). О z y x 3 e 1 e 2 e z y x i j k Глава I. Векторы и операции над ними 24 Рис. 1.14 От начала координат отложим вектор 1 1 e x OM , затем от точки М 1 отложим вектор 2 2 1 e y M M и наконец, от точки М отложим 3 2 e z M M (рис. 1.14). По правилу многоугольника 3 2 1 2 2 Таким образом, М — искомая точка. Ломаную ОМ 1 М 2 М называют координатной ломаной точки М. Другой способ построения точки М по ее координатам в системе 3 2 1 , , , e e e O основан на правиле параллелепипеда сложения трех векторов. От начала координат отложим векторы 1 1 e x OM , 2 2 e y OM , 3 Строим параллелепипед, сторонами которого являются отрезки ОМОМ, ОМ (рис. 1.15). Очевидно, что 3 2 1 3 2 1 e z e y e x OM OM OM OM , те. точка М искомая. М 1 М 2 М z y x O 2 e y 3 e 1 e 2 e |