Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 4. Координаты векторов и точек в пространстве и на плоскости Рис. 1.15 Координаты x, y, z вектора OM в базисе k j i , , называются прямоугольными декартовыми координатами (в дальнейшем кратко декартовыми координатами) точки М в системе координат k , j , i, O . ) z , y , x ( M k z j y i x M M M M OM OM 2 2 1 1 , те. (x,y,z) — декартовы координаты точки М относительно декартовой системы координат k , j , i, O пространства. Аналогично введем координаты точек на плоскости. Пусть 2 1 e , e , O — аффинная система координата М — произвольная точка плоскости рис. 1.16). Координаты x, y вектора OM в базисе 2 1 e , e называются аффинными координатами точки М в системе 2 1 e , e , O . Координаты x, y вектора OM в базисе j , i называются прямоугольными декартовыми координатами (в дальнейшем кратко декартовыми координатами) точки М в системе j , i, O . z x M O M 1 M 2 M 3 1 e 2 e 3 e Глава I. Векторы и операции над ними 26 Рис. 1.16 ) y , x ( M e y e x OM 2 1 (4.14) Для построения точки М) по ее координатам в системе 2 воспользуемся формулой (4.14). От начала координат отложим вектор 1 1 e x OM , затем от точки М отложим вектор 2 1 e y M M (рис. 1.16). По правилу треугольника сложения векторов 2 1 1 1 e y e x M M OM OM Таким образом, М — искомая точка. Ломаную ОМ 1 М называют координатной ломаной точки М. Другой способ построения точки М) по ее координатам в системе 2 1 e , e , O основан на правиле параллелограмма сложения векторов (§ 1). § 5. Проекция вектора на ось На плоскости параллельной проекцией точки А на ось l называется точка А — точка пересечения оси l с прямой, проведенной через точку А параллельно вектору p , задающему направление проектирования Параллельной проекцией вектора AB на ось l называется координата вектора 1 1 B A относительно базиса оси l, где Аи В — параллельные проекции соответственно точек Аи В на ось l (рис. 1.17). M 2 M M 1 O y x i j M 2 M M 1 O y x 1 e 2 e § 5. Проекция вектора на ось Рис. 1.17 Согласно определению имеем AB . пр AB . пр x e x B A e l def 1 1 Если и базис e оси l декартов, те. 1 e , то проекция вектора AB на ось l называется ортогональной (рис. 1.18). AB . пр AB . пр . орт x i x B A l l def 1 Рис. 1.18 В пространстве направление проектирования задания двумя неколлинеарными векторами (рис. 1.19). Из определения проекции вектора на ось l вытекает, что каждая координата вектора есть проекция этого вектора на ось, определяемую соответствующим базисным вектором. А В А 1 В 1 l А В А 1 В 1 l Глава I. Векторы и операции над ними 28 Рис. 1.19 При этом направление проектирования задается двумя другими базисными векторами, если проектирование ведется (рассматривается) в пространстве, или другим базисным вектором, если проектирование рассматривается на плоскости (рис. 1.20). пр 1 1 1 , OA . пр . орт x i x OA i 1 OA . пр x e x OA e 2 2 2 2 2 , OA . пр . орт y j y OA j 2 , 2 2 1 1 2 1 e x e x OA OA OA , OA . пр . орт z k x OA k 3 , k z j y i x OA OA OA OA 3 Рис. 1.20 b a e b a A A 1 B B 1 C l А 1 А 1 А О А А 1 А 2 А 3 О i k j § 5. Проекция вектора на ось Теорема 11. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ось (рис. 1.21). Рис. 1.21 n a ... a a AB 2 1 ' B ' A ... ' A ' A ' A ' A ' B ' A n 1 2 1 1 (5.1) Разложим векторы ' B ' A , 1 ' A ' A , 2 1 ' A ' A , …, ' B ' A n 1 по базису e оси l и подставим разложения в равенство (5.1), получим 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) n n n l l l n xe x e x e x e xe x x x e x пр пр пр a Теорема 12. Ортогональная проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла между положительным направлением оси l ирис, те. ) i, a cos( a a . пр . орт l (5.2) x i x B A i x B A 1 1 1 С другой стороны, AC B A | AB . пр . орт | x l 1 1 (5.3) А А 1 А 2 А n-1 A 1 A A 2 A n-1 B B A n e Глава I. Векторы и операции над ними 30 Рис. 1.22 Из АСВ находим | cos | | cos( , ) | . AC AB BAC a a i (5.4) Подставим значение АС в равенство, получим | ) i, a cos( | | a | | x | (5.5) Так как числах и ) i, a cos( одного знака в обоих рассматриваемых случаях, то из равенства (5.5) следует ) i, a cos( | a | a . пр . орт x l § 6. Скалярное произведение векторов 1. Пусть a и b — нулевые векторы. Отложим от произвольной точки О векторы a OA , b OB и рассмотрим лучи ОА и ОВ рис. 1.23). Углом между вектрамиa и b называется угол между лучами ОА и ОВ, те. угол АОВ, если эти лучине совпадают. Если лучи ОА и ОВ совпадают, то угол между ними считается равным нулю. А В С А 1 B 1 А cos >0 B C B 1 A 1 a i i l cos <0 § 6. Скалярное произведение векторов Рис. 1.23 Угол между векторами a и b обозначается так ) b , a ( . Так как два угла, стороны которых сонаправлены, равны, то угол между данными векторами не зависит от выбора точки О (рис. 1.23). Два ненулевых вектора a и b называются взаимно перпендикулярными, если 2 ) b , a ( . Обозначение b a . Условимся считать, что нуль-вектор перпендикулярен любому вектору пространства. Итак, для любых векторов a и b имеем ) b , a ( 0 2. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению их длинна косинус угла между ними | || | cos( , ) a b a b a b (6.1) Свойства скалярного произведения Свойство 1. Скалярное произведение коммутативно (пере- местительный закон, те b b a (6.2) АО В a b А 1 a О 1 b В 1 Глава I. Векторы и операции над ними 32 | || | cos( , ) | || | cos( , ) a b a b a b b a b a b a Свойство 2 . Скалярное произведение ассоциативно относительно операции умножения вектора на число (подчиняется сочетательному закону, те b a b (6.3) а) Пусть > 0, тогда ,( , ) ( , ),| | a a a b a b ( ) | || | cos( , ) | || || | cos( , ) ( ) a b a b a b a b a b a b в) Если < 0, то || = – , , a a ( , ) , a b ( , ) a b ( ) | || || | cos( , ) | || | cos( ) | || | cos( , ) ( ). a b a b a b a b a b a b a b Свойство 3 . Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля, те 2 | a | a (6.4) 2 2 | a | ) a , a cos( | a | | a | a a a def Свойство 4. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны, те b a b (6.5) 0 | || | cos( , ) 0 cos( , ) 0 ab a b a b a b a b Свойство 5 . Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного из них на ортогональную проекцию другого на ось, определяемую первым выбранным вектором, т. е. ) a . пр . орт ( | b | b . пр . орт | a | b a b a (6.6) § 6. Скалярное произведение векторов ) b . пр . орт ( | a | ) i, b cos( | b || a | ) b , a cos( | b || a | b a a Свойство 6 . Скалярное произведение подчиняется дистрибутивному закону (распределительному закону, те. ( ) a b c a b a c (6.7) ( ) | | ( . . ( )) | | ( . . ) | | ( . . ) | | ( . . ) a a a a a a b орт пр b c a орт пр b орт пр c a орт пр b a орт пр c a b a c Теорема 13. Скалярное произведение векторов ) a , a , a ( a 3 2 1 и ) b , b , b ( b 3 2 1 , заданных в ортонормированном базисе, равно сумме произведений их соответствующих координат, те. 1 2 2 2 3 3 ab a a a b a b (6.8) Так как векторы k , j , i попарно перпендикулярны, то 0 ij jk ik (6.9) Учитывая (6.9) и свойства 2,3,6 скалярного произведения векторов, получим 1 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 ( )( ) ab a i a j a k b i b j b k a b i a b j a b k a b a b a Следствие 1 2 3 22 2 1 a a a |a | (6.10) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a a a a a a a a a a . Следствие 2 . Косинус угла между ненулевыми векторами 1 2 3 a ︵a , a , a ︶ и 1 2 3 b ︵b , b , b ︶ , заданными в ортогональном базисе, вычисляется по формуле 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos( , ) a b a b a b a b a a a b b b (6.11) Глава I. Векторы и операции над ними 34 Действительно, по формуле (6.1) находим cos( , ) ab a b a b . Подставив сюда значения , , ab a b из формулы (6.8), (6.10), получим (6.11). Скалярное произведение двух векторов находит широкое применение в различных разделах физики, в частности, в механике. Рассмотрим следующий пример. Пусть материальная точка М под действием силы F переместилась из точки М в точку М по прямолинейному пути (рис. 1.24). Рис. 1.24 Как известно из физики, работа силы F при перемещении навели- чину S M M 2 1 по прямолинейному пути вычисляется по формуле . S F S F cos S F S S F cos F S F A 1 1 1 Следовательно, работа постоянной силы F , действующей на материальную точку при прямолинейном перемещении 2 1 M M , равна скалярному произведению векторов F и S 2 F 1 M F 1 F 2 M |