Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград

• Название: Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 3.17 Mb.
• Имя файла: Попов Анал. Геом.pdf
• Тип: Лекции; #755703
• страница: 4 из 19

§ 7. Векторное произведение векторов
§
7. Векторное произведение векторов
Векторным произведением неколлинеарных упорядоченных векторов a

и b

(взятых в данном порядке, называется вектор p

, удовлетворяющей следующим условиям
1
.



),
b
,
a
sin(
b
a
p





2
.
,
b
p
,
a
p






3
. Упорядоченная тройка векторов (
p
,
b
,
a



) имеет правую ориентацию (или туже ориентацию, что и тройка (
k
,
j
,
i



) безисных векторов. Векторное произведение векторов a

и b

обозначается [ b
,
a


]. Векторное произведение коллинеарных векторов считается равным нуль-вектору. Свойства векторного произведения векторов Пусть a

и b

— неколлинеарные векторы. От некоторой точки А пространства отложим вектры
a
AD

 ,
b
AB

 и построим параллелограмм так, чтобы отрезки AD и AB были смежными сторонами параллелограмма ABCD (рис. 1.25). Рис. 1.25 А В К
D
C h
a

b


Глава I. Векторы и операции над ними
36 Параллелограмм ABCD назовем параллелограммом, построенным на векторах a

и b

. В зависимости от выбора точки А на данных векторах и b

можно построить бесконечное множество параллелограммов, но все они конгруентны друг другу (наложимы друг на друга, поэтому имеют одну и туже площадь. Свойство 1
. Модуль векторного произведения векторов a

, численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах
Пусть ABCD — параллелограмм, построенный на векторах a

ирис. ВК = h — высота параллелограмма. Из
АВК находим sin sin( , )
h AB
BAD
b
a Пусть
,
p
a b




[
]
. Имеем sin( , )
ABCD
S
AD h
a b
a b
p


  






 Свойство 2
. Скалярный множитель можно выносить из под знака векторного произведения (вносить под знак векторного произведения, те b
a b

 




[
]
[
]
(7.1) а) Пусть
0, тогда
a
a
 


,
(
, ) ( , )
a b
a b








,
  
(7.2) В силу определения векторного произведения векторов с учетом соотношений (7.2), получим а)
q
p
)
b
,
a
sin(
b
a
q
),
b
,
a
sin(
b
a
p






























, а)


b
p
;
a
p
;
b
q
,
a
q













, а) Упорядоченные тройки векторов (
p
,
b
,
a




) и (
q
,
b
,
a



) правой ориентации, те.
q
p

  .

§ 7. Векторное произведение векторов Таким образом, ]
[
]
[
b
,
a
b
,
a
q
p












 b) Пусть теперь
  0. В этом случае
,(
, )
,
( , ),
a
a
a b
a b


 

     
  






(7.3) С учетом определения вектроного произведения и соотношений
(7.3) находим
1b) sin(
, )
sin(
)
sin( , )
sin( , ).
p
a b
a b
a b
a b
a b
q
a b
a b



  

 
    

 























p
q

 


2b)


,
;
;
p
a p
b q
a q
b
 






 

 
,
3b) Упорядоченные тройки векторов (
p
,
b
,
a




) и (
q
,
b
,
a



) противоположной риентации, те.
q
p

  . Отсюда вытекает, что
,
,
p
q
a b
a b




   
 










 Свойство 3
. Векторное произведение антикоммутативно.
,
,
a b
b a




 








(7.4)
Построив векторы
,
p
a b


  



ирис, убеждаемся, что
p
q
 


 Рис. 1.26
B А
D
C
a

b

]
,
[ a
b
q


 

p

Глава I. Векторы и операции над ними
38 Свойство 4. Векторное произведение подчиняется дистрибутивному закону
]
,
[
]
,
[
]
,
[
c
b
c
a
c
b
a










(7.5) а) Если хотя бы один из векторов
c
b
a



,
,
нулевой, то равенство
(7.5) очевидно выполняется. b) Пусть теперь
c
b
a



,
,
— ненулевые векторы и
a
b
b
a







||
. Преобразуем правую часть (7.5) с учетом свойства 2 и условия
a
b




:
[
, ] [
, ] [(1
) , ] (1
)[ , ]
a b c
a
a c
a c
a c

  

 
  




 
 
 
(7.6) Затем преобразуем выражение
]
,
)[
1
(
]
,
[
]
,
[
]
,
[
]
,
[
]
,
[
]
,
[
c
a
c
a
c
a
c
a
c
a
c
e
c
a
























(7.7) Правые части соотношений (7.6) и (7.7) равны. Значит, равны и левые части, те. формула (7.5) справедлива ив этом случае. с) Рассмотрим случай, когда векторы a

и b

неколлинеарны. От произвольной точки О пространства отложим
a
OA

 , от точки А отложим вектор
b
OB

 . По правилу треугольника сложения векторов
b
a
OB

 

. Пусть
ОА
1
В
1
— ортогональная проекция
ОАВ на произвольную плоскость
, проходящую через точку О. Пусть
e
OE

 — орт, причем (рис. 1.27). Рис. 1.27
A
A
1
B
B
1
B
2
A
2
O
E

90

b
a

 

a

b

e


§ 7. Векторное произведение векторов Повернем
ОА
1
В
1
в плоскости
 на 90 почасовой стрелке (если смотреть из точкиЕ на плоскость
). В результате получим
ОА
2
В
2
. Предварительно дакажем, что
]
,
[
2
e
a
OA



(7.8) Для этого достаточно проверить справедливость условий 1
—3 определения векторного произведения векторов. Действительно, имеем
1
.









)
e
,
a
sin(
|
e
|
|
a
|
)
cos(
|
OA
|
|
OA
|
|
OA
|
|
OA
|




2 1
2 2
, где



)
e
,
a
(


;
2
.


)
OA
(
OA
(
)
OA
(
)
OA
(
),
OE
(
)
OA
(




2 1
2 2




a
OA
,
e
OA
)
OA
(
)
OA
(
),
OE
(
)
OA
(







2 2
2 2
3
. Упорядоченная тройка векторов (
2
OA
,
e
,
a


) имеет правую ориентацию. Таким образом, из 1—3 следует, что формула (7.8) справедлива. По правилу треугольника сложения векторов
2 2
2 2
B
A
OA
OB


(7.9) В силу формулы (7.8) соотношение (7.9) приводим к виду
]
[
]
[
]
[
e
,
b
e
,
a
e
,
b
a










(7.10) Умножим обе части равенства (7.9) на
|
c
|

и, учитывая, что
e
|
c
|
c


 
, получим
,| |
,| |
,| |
,
,
, .
a b c e
a c e
b c e
a b c
a c
b c













 
  
 


 

[
] [
] [
]
[
] [
] Выражение векторного произведения векторов через координаты сомножителей Теорема 14. Если векторы a

и b

заданы в ортонормированном базисе {
k
,
j
,
i



} своими координатами, те.
)
a
,
a
,
a
(
a
3 2
1


,
)
b
,
b
,
b
(
b
3 2
1


, то векторное произведение [ a

, b

] определяется по формуле

Глава I. Векторы и операции над ними
40
3 2
1 3
2 1
2 1
2 1
3 1
3 1
3 2
3 2
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
b
a
a
;
b
b
a
a
;
b
b
a
a
b
,
a
















]
[
(7.11)
Предварительно составим таблицу векторных произведений базисных векторов
k
,
j
,
i



i, j
0, i,j k, i,k j,
j,i k, j,j
0, j,k i,
k,i j, k,j i, k,k
0.


 
 



 

 


 


 
 
 


 

 

 
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(7.12) Найдем векторное произведение [ b
,
a


] векторов a

и b

, используя свойства векторного произведения и таблицу (7.12):
.
b
b
b
a
a
a
k
j
i
k
b
b
a
a
j
b
b
a
a
i
b
b
a
a
k
)
b
a
b
a
(
j
)
b
a
b
a
(
i
)
b
a
b
a
(
i
b
a
j
b
a
i
b
a
k
b
a
j
b
a
k
b
a
k
b
j
b
i
b
,
k
a
j
a
i
a
b
,
a
3 2
1 3
2 1
2 1
2 1
3 1
3 1
3 2
3 2
1 2
2 1
3 1
1 3
2 3
3 2
2 3
1 3
3 2
1 2
3 1
2 1
3 2
1 3
2 Пример. Пусть заданы два вектора
)
;
;
(
a
2 5
1



и
)
;
;
(
b
0 12 1



относительно ортонормированного базиса
k
,
j
,
i



. Найти векторное произведение По формуле (7.11) получаем
)
;
;
(
12
1
-
5
-
1
;
0
1
-
2
1
-
;
0
12
2
5
-
b
,
a
7 2
24










]
[ 

 Реальным прообразом понятия векторного произведения являются известные в механике понятия линейной скорости v

точки твердого тела, вращающегося вокруг оси и момент M

силы F

относительно точки (рис. 1.28).
k

j

i


§ 7. Векторное произведение векторов
[ , ]




v
r

[ , ]




M
r F Рис. 1.28


— вектор угловой скорости вращения твердого тела,
r
OA

 — радиус-вектор точки АО начало неподвижной системы координат в пространстве.
§
8. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов
c
,
b
,
a



называется скалярное произведение вектора на вектор p

, где
]
[
c
,
b
p


 
, те.
,
def
a p
a b c
  

 


[
]
(8.1) Теорема 15. Смешанное произведение
]
[
c
,
b
a


 
упорядоченной тройки векторов
c
,
b
,
a



равно определителю третьего порядка, составленному из координат векторов-сомножителей, заданных в ортонормированном базисе {
k
,
j
,
i



}.
O
A
F

M

r



r

v

O
O
1
A

Глава I. Векторы и операции над ними
42
Пусть относительно базиса {
k
,
j
,
i



} заданы три упорядоченных вектора
)
a
,
a
,
a
(
a
3 2
1


,
)
b
,
b
,
b
(
b
3 2
1


,
)
c
,
c
,
c
(
c
3 2
1


. Найдем по формуле
(7.11) векторное произведение
2 3
1 3
1 2
2 3
1 3
1 2
[ , ]
b
b
b b
b b
p
b c
i
j
k
c
c
c c
c c










(8.2) и затем скалярное произведение
2 3
1 3
1 2
1 2
3 2
3 1
3 1
2
[ , ]
def
b
b
b b
b b
a p
a b c
a
a
a
c
c
c c
c c
  





 


1 2
3 1
2 3
1 2
3
a a
a
b b
b
c c
c


(8.3) Теорема 16. Квадратные скобки в смешанном призведении можно рассматривать произвольным образом, те.
c
b
,
a
c
,
b
a






]
[
]
[


(8.4)
c
b
,
a
b
,
a
c
b
b
b
a
a
a
c
c
c
c
c
c
b
b
b
a
a
a
c
,
b
a
















]
[
]
[
]
[
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
 Из свойств (8.3), (8.4) смешанного произведения получили
3 2
1 3
2 1
3 2
1
c
c
c
b
b
b
a
a
a
)
c
,
b
,
a
(
c
b
,
a
c
,
b
a
def














]
[
]
[
(8.5) Таким образом, из (8.5) следует, что свойства смешанного произведения трех векторов
c
,
b
,
a



есть соответствующие свойства строк (столбцов) определителя третьего порядка
(8.5), составленного из координат этих векторов Например. 1). При перемене мест любых двух строк (столбцов) определителя местами знак определителя меняется на противоположный.