Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 8. Смешанное произведение векторов Соответствующее свойство для смешанного произведения таково 1) При перемене мест любых двух векторов-сомножителей смешанного произведения знак его меняется на противоположный, те, например, ( c , b , a ) = ( b , c , a ). (8.6) ( c , b , a ) = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 b b b c c c a a a c c c b b b a a a ( b , c , a ). 2) Определитель равен нулю, если одна из его строк есть линейная комбинация двух других. Соответствующее свойство для смешанного произведения 2*). Смешанное произведение равно нулю, если один из векторов его является линейной комбинацией двух других, те, например, если b a c , то ( c , b , a ) = 0. 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 b a b a b a b b b a a a ) c , b , a ( . b b b b b b a a a a a a b b b a a a 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Теорема 17. (Признак компланарности векторов. Векторы c , b , a компланарны тогда и только тогда, когда ( c , b , a ) = 0. Необходимость. Пусть векторы c , b , a компланарны. Тогда в силу теоремы 5 имеем b a c . Отсюда по свойству 2*) ( c , b , a ) = 0. Достаточность. Пусть теперь ( c , b , a ) = 0 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a . Отсюда следует, что одна из строк определителя есть линейная комбинация двух других. Например, b a c b a c i i i , те. векторы теорема 5) компланарны. Глава I. Векторы и операции над ними Теорема. Объем параллелепипеда, построенного на векторах c , b , a , равен модулю смешанного произведения ( c , b , a ), те. | c , b , a | V ма пар . Рис. 1.29 Рассмотрим параллелепипед АС, построенный на трех упорядоченных некомпланарных векторах c , b , a (рис. 1.29). Пусть ] [ b , a p , тогда площадь осн онования параллелепипеда АС (площадь параллелограмма АВСD) равна p b , a S S ABCD def . осн ] [ Высота параллелепипеда | с . пр . орт | AF K A h p 1 . Таким образом, | ) c , b , a ( | | c p | c . пр . орт | p | h S V V p . осн да пар def или в координатной форме 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a mod V А А 1 В В 1 С САК. Формулы преобразования декартовой системы координат 45 Глава ЛИНИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ § 1. Формулы преобразования декартовой системы координат. Рассмотрим на плоскости две декартовы системы координат { k , j , i , O } и { * k *, j *, i *, O }. Первую систему назовем старой, а вторую — новой. Пусть М — произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координаты ( y , x ), а в новой системе — ( * y *, x ). Задача преобразования координат состоит в следующем выразить координаты) точки М в старой системе через координаты ( * y *, x ) той же точки в новой системе. Зададим новую систему координат относительно старой (рис. 2.1). Рис. 2.1 . j cos i sin j ) sin( i ) cos( * j , j sin i cos * i , j y i x * OO o o 90 90 (1.1) O * j y j * i i x x O* y* x* 90 M i j Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости 46 По правилу треугольника сложения векторов С учетом (1.1) распишем формулу (1.2): * j y * i x j y i x j y i x * * o o ) j cos i sin ( y ) j sin i (cos x j y i x * * o o . j ) y cos y sin x ( i ) x y sin cos x ( o * * o * * (1.3) Так как разложение вектора M O по базису { j , i } однозначно, то . y cos y sin x y , x sin y cos x x o * * o * * (1.4) Формулы (1.4) называются формулами преобразования декартовой системы координат. Определитель системы (1.4) 1 cos sin sin cos (1.5) Это означает, что системы одинаково ориентированны (на рис. 2.1 обе системы правой ориентации. Если системы противоположно ориентированы, то ) cos ; (sin j * и формулы преобразования (1.4) примут вид . y cos y sin x y , x sin y cos x x o * * o * * (1.6) и 1 2. Рассмотрим два частных случая преобразования декартовой системы координат. А. Параллельный перенос д.с.к. В этом случае i i * , j j * и матрица перехода от базиса { j , i } к базису { * * j , i } примет вида формулы (1.4) запишутся так § 1. Формулы преобразования декартовой системы координат 47 . y y y , x x x o * o * (1.7) Б. Поворот д.с.к. В этом случае начало О старой системы совпадает с началом О новой декартовой системы координат, те. О* О. Следовательно, 0 o x . Если обе системы одинаково ориентированы, то формулы поворота получаем из (1.4) (при 0 o o y x ): . cos y sin x y , sin y cos x x * * * * (1.8) Если системы координат противоположно ориентированы, то при 0 o o y x из формул (1.6) получаем . cos y sin x y , sin y cos x x * * * * (1.9) Геометрическая интерпретация формул (1.9) такова сначала происходит поворот исходной системы координат { j , i, O } на угол , а затем зеркальное отражение в оси Ох (относительно новой оси абсцисс. 3. Понятие линии. Первоначальная классификация линий на плоскости Линией на плоскости называется множество всех точек плоскости, координаты (x,y) каждой из которых удовлетворяют уравнению 0 ) y , x ( F (1.10) 2.2. Если функция ) y , x ( F в формуле (1.10) представляет собой многочлен, то линия (1.10) называется алгебраической, в противном случае линия (1.10) называется не алгебраической. В основу первоначальной классификации алгебраических линий положим такие признаки уравнений (1.10), которые не меняются при переходе от одной декартовой (аффинной) системы координат к другой. Можно показать, что при переходе от одной д.с.к. к другой по формулам (1.4) или (1.6) многочлен ) y , x ( F переходим в многочлен и Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости 48 степень многочлена не меняется. Степень многочлена ) y , x ( F называется порядком линии, определяемой уравнением (1.10). Примерами алгебраических линий являются 0 y x , 0 x , 1 2 2 y x , b kx y и т. д. Примерами неалгебраических линий являются, например, такие x y sin , x y cos , tgx y , ctgx y , x a y , x e y , x y a log , x y и т. д. Итак, алгебраические линии классифицируются по их порядку (степени многочлена ) y , x ( F в (1.10)): — линии первого порядка ( 1 , 0 , 0 x y x y x ), — линии второго порядка ( , 1 , 0 2 2 2 2 y x y x 0 2 2 y x ), — линии третьего порядка ( 0 , 0 2 2 3 3 x y y x y x ) и т. д. 4. Примером алгебраической линии второго порядка является окружность. Множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от фиксированной точки С называется окружностью. Точка С называется центром окружности (рис. Рис. 2.2 O C y x x j i R M(x,y) y § 1. Формулы преобразования декартовой системы координат Пусть относительно некоторой декартовой системы координат { j , i, O } задана точка С) — центр окружности радиуса OM = R. 2 2 | | ( ) ( ) M CM R x a y b R 2 2 2 ( ) ( ) x a y b R (1.11) Уравнение (1.11) называется общим уравнением окружности. Совершим параллельный перенос декартовой системы координат в точку С (а,b). Тогда С(а,b) О. Отсюда следует, что а = 0; b = 0. Уравнение) окружности примет вид (1.12): 2 2 2 R y x (1.12) Дальнейшее упрощение невозможно, так как при повороте на произвольный угол (1.8) из формулы (1.12) получим 2 2 2 ( *cos *sin ) ( *sin *cos ) x y x y R 2 2 2 * * , x y R (1.13) те. уравнение окружности не меняется. Уравнение (1.12) называется каноническим (простейшим) уравнением окружности. § 2. Полярная система координат 1. Аффинная система координат дает удобный, ноне единственный способ определять положение точек плоскости при помощи чисел. 2.4. Геометрический образ { i O , }, состоящий из фиксированной точки О и единичного вектора i называется полярной системой координат. Точка О называется полюсом, а прямая, проходящая через точку О параллельно i , называется полярной осью системы координат { i O , } рис. 2.3). Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости Рис. 2.3 Пусть точка М — произвольная точка плоскости. Обозначим через r — расстояние от точки О до точки М, а через — направленный угол ( , i OM ), те. | | OM r , ) ( OM i . Если точка М совпадает сточкой Ото, а угол — неопределенный. Числа r и однозначно определяют положение точки М на плоскости. Действительно, зная , сначала построим луч OQ, на котором лежит точка М, а затем на этом луче от его начала отложим отрезок ОМ длиной r (рис. 2.3). 2.5. Числа r и называются полярными координатами точки М в полярной системе { i O , }. Число r называется полярным радиусом или первой полярной координатой точки М, а число — полярным углом или второй полярной координатой этой точки. Если точка М имеет полярные координаты r и , то коротко пишут так М. Например, точки A, B, C, D, E, F на рис. 2.3 имеют полярные координаты ) 4 ; 2 ( A , ) ; ( B 0 2 , ) 4 3 ; 1 ( C , ) 2 ; 2 3 ( D , ) ; ( E 2 , Заметим, что полярный радиус r любой точки неотрицателен, те. 0 r , а полярный угол точки изменяется в пределах 2. К каждой полярной системе координат i O можно присоединить положительно ориентированную прямоугольную декартову систему координат { j i O , }, началом которой служит полюс О, первым координатным вектором — вектор i ирис) О Q M r полярная ось + A B C F D E 4 x A* |