Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 2. Полярная система координат Рис. 2.4 Пусть M(x,y) и M(r, ). Установим зависимость между декартовыми координатами точки Ми ее полярными координатами. Из ONM находим cos r x , sin y (2.1) Зная полярные координаты ( , r ) точки М по формулам (2.1) находим декартовы координаты (x,y) точки М, те. формулы (2.1) — это формулы перехода от полярной системы координат к декартовой. Разрешая уравнения (2.1) относительно , r , получим формулы перехода от декартовой системы координат к полярной 2 2 y x r , 2 2 y x x cos , 2 2 y x y sin (2.2) 3. Из определения полярных координат следует, что нелюбая пара действительных чисел является полярными координатами точки (так как 0 | M O | r ; ). Например, на плоскости не существует точки с полярными координатами (-5; 2 ). Это обстоятельство приводит к определенным трудностям при решении ряда конкретных задач в различных положениях. Чтобы устранить такое неудобство, обобщим понятие полярных координат так, чтобы в данной полярной системе { i, O } любая упорядоченная пара действительных чисел определяла на плоскости некоторую точку. O M N x y r i x y Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости Пусть ( , r ) — произвольная пара действительных чисел, а { i, O } — данная полярная система координат. 1). Если 0 r и , то этой парой определяется точка с полярными координатами ( , r ) так как было указано в п. 2). Если 0 r , , то выразим k 2 0 , где k — целое число такое, что 0 . Будем считать в этом случае, что пара ( 0 , r ) определяет точку М ), те. ) , r ( M ) , r ( M 0 3). Если 0 r , то будем считать, что пара ( , r ) определяет точку М, которая симметрична точке ) |; r (| * M относительно точки О. Например, пара ( 4 2 ; ) определяет точку Асимметричную точке А 2 ; ) относительно полюса О. Построения 1)—3) называются обобщенными полярными координатами точки М ), т.к. позволяют построить в системе { i, O } точку, координатами которой является любая пара действительных чисел. § 3. Различные способы задания прямой на плоскости 1. Уравнение прямой, заданной начальной точкой и направляющим вектором 2.6. Любой ненулевой вектор p , параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, однако любые два из них коллинеарны, так как они параллельны одной прямой. Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат { 2 1 e e O } ив этой системе задана точка ) y , x ( M 0 0 0 и направляющий вектор ) p p ( p 2 1 прямой l, проходящей через точку М (начальная точка прямой. Точкой Ми прямая l определяется однозначно (так как через точку М проходит одна и только одна прямая, параллельная данной АВ ( p AB )). § 3. Различные способы задания прямой на плоскости Точка М) плоскости принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда p || M M 0 (рис. 2.5). Рис. 2.5 Итак, 0 2 1 0 0 0 p p y y x x p || M M (3.1) или 0 0 1 0 2 ) y y ( p ) x x ( p (3.2) или 2 0 1 0 p y y p x x , если 0 0 2 1 p , p (3.3) Уравнение (3.3) называется каноническим уравнением прямой. Пример. 1. Найти канонические уравнения прямой, если ее направляющий вектора начальная точка ) ; ( M 3 1 0 . По формуле (3.3) получаем 0 2 5 5 3 1 1 y x y x 2. Уравнение прямой, заданной двумя точками. Пусть на плоскости заданы две точки ) y , x ( M 0 0 0 и ) y , x ( M 1 1 1 относительно аффинной системы координат { 2 1 e e O } (рис. 2.6). ММ А В p Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости Рис. 2.6 Известно, что через две точки можно провести одну и только одну прямую l M M def 1 0 . Вектор ) y y ; x x ( M M p 0 1 0 1 1 0 — является направляющим вектором прямой l. По формуле (3.1) уравнение прямой имеет вид 0 0 1 0 1 0 0 y y x x y y x x (3.4) Если 0 0 0 1 0 1 y y , x x , то уравнение (3.4) можно представить в виде 0 1 0 0 1 0 y y y y x x x x (3.5) Пример 2. Написать уравнение прямой, заданной двумя точками ) ; ( M ), ; ( M 5 1 3 2 1 0 . По формуле (3.5) имеем 0 7 3 8 8 3 3 2 3 5 3 2 1 2 y x y x y x 3. Уравнение прямой, заданной начальной точкой и нормальным вектором. 2.7. Вектор l AB , если l ) AB ( . (рис. 2.7). Рис. 2.7 О ММ О М 0 М 1 А В n l § 3. Различные способы задания прямой на плоскости 2.8. Любой ненулевой вектор n , перпендикулярный прямой l, называется ее нормальным вектором. Прямая в ее начальной точкой Ми нормальным вектором n определяется однозначно. Пусть в декартовой системе координат { j , i, O } задана точка Мху) и нормальный вектор ) B , A ( n прямой l (рис. Точка Мху l тогда и только тогда, когда 0 0 0 0 0 Итак, уравнение 0 0 0 ) y y ( B ) x x ( A (3.6) есть уравнение прямой, заданной ее начальной точкой Мху) и нормальным вектором Пример 3 . Найти уравнение прямой по начальной точке ) ; ( M 1 2 0 и ее нормальному вектору ) ; ( n 5 3 . По формуле (3.6) находим 0 11 5 3 0 1 5 2 3 y x ) y ( ) x ( 4. Параметрические уравнения прямой Пусть прямая l задана начальной точкой Мху) и направляющим вектором ) p , p ( p 2 1 относительно произвольной (аффинной) системы координат { 2 1 e e O }. . y tp y , x tp x tp y y tp x x p t M M p || M M l ) y , x ( M 0 2 0 1 2 0 1 0 0 0 (3.7) Уравнения (3.7) называются параметрическими уравнениями прямой, а t — ее параметром. Смысл этого задания (3.7) заключается в том, что точку (х,у) на прямой мы задаем одним числом — ее параметром. Выясняется геометрический смысл понятия начальная точка М при t = 0 из (3.7) следует, что ) y , x ( M ) y , x ( M 0 0 0 , те. М — начало отсчета на прямой (t = 0). Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости Пример 4. Найти параметрические уравнения прямой, если задана двумя точками ) ; ( M 3 2 1 , ) ; ( M 5 4 2 . Найдем направляющий вектор p прямой ) ; ( M M p 2 6 2 Если в качестве начальной точки взять М, то параметрические уравнения прямой имеют вид . t y , t x 3 2 2 6 5. Уравнение прямой в отрезках Пусть прямая l не проходит через начало О) прямоугольной декартовой системы координат и отсекает на осях координат отрезки ОА на оси Охи ОВ (на оси Оу) (рис. 2.8). Рис. 2.8 Пусть | a | | OA | , | b | | OB | , тогда ) , a ( A 0 , ) b , ( B 0 . Примем точку Аза начальную точку прямой l, а вектор за направляющий вектор прямой l. Тогда по формуле (или (3.4) находим уравнение прямой l: 1 0 0 0 b y a x ay ab bx b a y a x (3.8) О В А y x b a l § 3. Различные способы задания прямой на плоскости Уравнение (3.8) называется уравнением прямой в отрезках. Пример 5. Написать уравнение прямой l, заданной графически рис. 2.9). Рис. 2.9 Зададим уравнение прямой l в отрезках 0 6 2 3 1 3 2 y x y x 6. Задание прямой по ее начальной точке и угловому коэффициенту. Пусть вектор ) a , a ( a 2 1 задан в аффинной системе координат { 2 1 e e O }. 2.9. Угловым коэффициентом вектора a называется число 2 Если 0 1 a , то k и 2 e || a (параллелен оси Оу). Лемма 1 . Векторы ) a , a ( a 2 1 и ) b , b ( b 2 1 коллинеарны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 0 k k b b a a b a b a b || a x y l 3 -2 Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости Угловой коэффициент k вектора ) a , a ( a 2 1 имеет простой геометрический смысл, если вектор a задан относительно декартовой системы координат (рис. 2.10). Рис. 2.10 tg a a k 1 2 , где Согласно лемме 1 вводим определение. 2.10. Угловым коэффициентом прямой называется угловой коэффициент любого ее направляющего вектора. Теперь ясно, что по начальной точке ) y , x ( M 0 0 0 и угловому коэффициенту прямая l, заданная относительно декартовой (аффинной) системы координат, определяется однозначно. Действительно, в этом случае прямая определяется начальной точкой ) y , x ( M 0 0 0 и направляющим вектором ) k ; p 1 : 0 1 0 или 0 0 0 0 y ) x x ( k y y y ) x x ( k (3.9) Пример 6 . Написать уравнение прямой, зная ее угловой коэффициент 2 k и начальную точку 0 M (5;8). Так как 2 k , то направляющий вектор прямой имеет вид ) ; ( p 2 1 . Уравнение прямой запишем так 0 18 2 0 8 10 2 0 2 1 8 5 y x y x y x у О ах а § 3. Различные способы задания прямой на плоскости 7. Общее уравнение прямой. В предыдущих пунктах мы показали, что уравнение любой прямой в аффинной (декартовой) системе координат является уравнением первой степени, те. может быть записано в виде 0 C By Ax , (3.10) где числа Аи В одновременно неравны нулю. Таким образом, прямая является алгебраической линией первого порядка. Докажем обратное утверждение. Теорема 2.1. Линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени 0 C By Ax , (3.10) есть прямая. Вектор ( В;А) является направляющим вектором этой прямой Пусть — линия, заданная уравнением (3.10), а ) y , x ( M 0 0 0 некоторая ее точка, те. точка, координаты которой удовлетворяют уравнению) Такая точка всегда существует, так как Аи В одновременно неравны нулю. Определив из равенства (3.11) Си подставив его в уравнение, получим уравнение линии в виде 0 0 0 0 0 0 ) y y )( B ( ) x x ( A By Ax By Ax . (3.12) Уравнение (3.12) имеет в точности вид (3.2) и, следовательно, определяет прямую, проходящую через точку ) y , x ( M 0 0 0 с направляющим вектором ) A ; B ( p § 4. Расстояние от точки до прямой на плоскости Пусть в декартовой системе координат задана точка ) y , x ( M 0 0 0 и прямая l: 0 C By Ax (рис. 2.11). Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости Рис. 2.11 Найдем расстояние N M d 0 от точки М до прямой l. Возьмем произвольную точку ( ; ) 0 k k k k k k K x y l Ax By C Ax By C (4.1) 2 2 0 0 0 0 B A | ) y y ( B ) x x ( A | | n | | n KM | | KM . пр . орт | d k k n . (4.2) С учетом соотношения (4.1) из формулы (4.2) окончательно получаем) Пример 7. Найти расстояние от начала координат до прямой 0 13 3 2 y x По формуле (4.3) находим 13 13 13 9 4 13 0 3 0 2 | | d |