Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград

• Название: Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 3.17 Mb.
• Имя файла: Попов Анал. Геом.pdf
• Тип: Лекции; #755703
• страница: 7 из 19

§
5. Угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости Рассмотрим на плоскости две пересекающиеся прямые 0 2
1

 Пусть
1 1
l
||
p

,
2 2
l
||
p

,
)
p
,
p
(



2 1


,
)
l,
l
(



2 1
(рис. 2.12). КМ. Угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости Рис. 2.12 Под углом
 между прямыми l
1
, l
2
берется меньший по величине угол среди двух пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. При возможных расположениях направляющих векторов
1 1
l
||
p

и
2 2
l
||
p

имеются лишь две связи между углами
 и  (
2 0




):
.
|
p
|
|
p
|
|
p
p
|
cos
|
cos
|
cos
cos
)
cos(
cos
,
cos
cos
,
2 1
2 1








































(5.1) Пример 8. Найти угол между двумя прямыми
0
3
3y
и
0
7
y
2x
:
l
2



.
Найдем направляющие векторы прямых
1 1
2 3
l
||
)
;
(
p


и
2 2
2 Теперь найдем угол между прямыми
)
l,
l
(



2 1
:
65 1
65 1
5 13 1
1 4
9 4
4 3
arccos
|
|
cos













 О
1
1
p



l
1
1
p

2
p

l
2

Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости
§
6. Эллипс
2.11. Пусть на плоскости зафиксированы две точки F
1
и F
2
, где
c
|
F
F
|
2 2
1

. Множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до точек F
1
и F
2
есть величина постоянная равная а, где
c
a
c
a


 2 2
,
(6.1) называется эллипсом
Точки F
1
и F
2
называются фокусами эллипса, а расстояние между ними с — фокальным расстоянием. Если М — точка данного эллипса
, то отрезки Ми F
2
М
называются фокальными радиусами точки М. Их длины также называются фокальными радиусами точки М.
Найдем уравнение эллипса
 в прямоугольной системе координат
{
j
i
O


}, где О — середина отрезка F
1
F
2
, а
2
OF
i


(рис. 2.13). Рис. 2.13 Выбранная таким образом система координат называется канонической, относительно которой F
1
(-c;0), F
2
(c;0),
M(x,y). Фокальные радиусы произвольной точки M(x,y)
 равны
2 2
1
y
)
c
x
(
M
F



,
2 2
2
y
)
c
x
(
M
F



(6.2)
y
x
i

F
2
(c;0)
M(x,y)
j

O
F
1
(-c;0)

§ 6. Эллипс По определению эллипса
a
M
F
M
F
2 2
1


, поэтому
a
y
)
c
x
(
y
)
c
x
(
2 2
2 2
2






(6.3) Запишем уравнение (6.3) в виде
2 2
2 и, возводя его в квадрат и приводя подобные члены, получим
xc
a
y
)
c
x
(
a




2 2
2
. Снова возводя в квадрат, после несложных преобразований находим
1 2
2 2
2


b
y
a
x
,
(6.4) где
2 2
2
c
a
b


(6.5) Итак, доказано, что координаты любой точки M(x,y)
 удовлетворяют уравнению (6.4). Докажем обратное утверждение каждая точка
M
, координаты которой удовлетворяют уравнению (6.4), принадлежит эллипсу
, те 2
1


. Подставив в формулы (6.2) значение из уравнения (6.4) и учитывая равенство (6.5), получим
|
x
a
c
a
|
x
a
c
a
M

F
|,
x
a
c
a
|
x
a
c
a
M

F







 








 

2 2
2 Из уравнения (6.4) следует, что
a
|
x
|
 , итак как
1 0


a
c
, то
0

 x
a
c
a
,
0

 x
a
c
a
, поэтому окончательно имеем
x
a
c
a
M

F
;
x
a
c
a
M

F




2 1
(6.6) Следовательно,
a
M

F
M

F
2 2
1


, те.


M

 Итак, уравнение (6.4) является уравнением эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс — алгебраическая линия второго порядка.

Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости
2. Геометрические свойства эллипса.
а). Если


)
y
,
x
(
M

, то х,у удовлетворяют уравнению (6.4), поэтому
b
y
b
;
x
a
b
y
,
a
x









0 2
2 2
2
(*), те. все точки эллипса принадлежат прямоугольнику (*), ограниченному прямыми
b
y
,
a
x




b). В уравнение (6.4) переменные х,у входят в четной степени, поэтому Это значит, что эллипс — фигура симметричная относительно осей координат Ох,Оу, таки относительно начала координат Ос. Впервой четверти
)
y
;
x
(
0 0


из уравнения (6.4) находим
2 2
1
a
x
b
y


(6.7) Построив эту линию (6.7) впервой четверти и, симметрично отражая ее в осях координат, получим эллипс (рис. 2.14). Рис. 2.14 Точки А
1
(-а;0), А
2
(а;0), В, В) называются вершинами эллипса. Отрезки А
1
А
2
, В
1
В
2
называются соответственно большой и малой осями эллипса. Очевидно, ОА
1
= ОА
2
= а, ОВ
1
= ОВ
2
= b. Эти числа аи (также как и отрезки ОА
1
, ОВ
1
) называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. В частности, если a = b, то из (6.4) получим
2 2
2
a
y
x


, те. окружность частный случай эллипса (с = 0).





D
1
F
1
F
2
M
N
A
1
A
2
B
1
(0;b)
B
2
(0;-b) r
1
r
2
a
-a
b
c



a
x


a
x
0

§ 6. Эллипс
2.12. Число
1



a
c
называется эксцентриситетом эллипса.
Фокальные радиусы точки М можно в силу (6.6) записать в виде
;
x
a
M
F
r




1 1
x
a
M
F
r




2 2
(6.8)
2.13. Прямые



a
x
и


a
x
называются директрисами эллипса. Теорема 2.2
(Директориальное свойство эллипса. Отношение расстояния от точки М эллипса до фокуса к расстоянию этой точки М до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная эксцентриситету
 (эллипса.
Рассмотрим, например, правую директрису
)
a
x
(
d


2
и правый фокус F
2
(c;0) эллипса (рис. 2.14). Надо доказать, что


MN
MF
2
(6.8) Так как
)
y
;
a
(
N
d
N



2
. Найдем
(
)
a
x
a
a
a
x
MN
x
x











 Значит, в силу формулы (6.7)














x
a
x
a
MN
MF
2

§
7. Гипербола
2.14. Пусть на плоскости зафиксированы две точки F
1
и F
2
, причем F
1
F
2
= 2C. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых доданных точек F
1
и F
2
есть величина постоянная, равная а, где
c
a
c
a





0 2
2 0
(7.1)

Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости Если М — точка данной гиперболы
, то отрезки Ми М называются фокальными радиусами точки М. Их длины также называются фокальными радиусами точки М. Найдем уравнение гиперболы
 в декартовой системе координат
{
j
,
i
,
O


}, где О — середина отрезка F
1
F
2
, а
2
OF
i


. Выбранная таким образом система координат называется канонической (рис. 2.15). Рис. 2.15 Фокусы F
1
и F
2
гиперболы имеют координаты F
1
(c;0), F
2
(-c;0), поэтому фокальные радиусы F
1
M
= r
1
и F
2
M
= r
2
точки M(x,y) вычисляются по формулам
2 2
1 1
y
)
c
x
(
M
F
r




,
2 2
2 2
1
y
)
c
x
(
M
F
r




(7.2) По определению гиперболы
a
|
M
F
M
F
|
2 2
1


, поэтому
a
y
)
c
x
(
y
)
c
x
(
2 2
2 Запишем это уравнение в виде
a
y
)
c
x
(
y
)
c
x
(
2 2
2 Возводя его в квадрат и приводя подобные члены, получаем
2 2
2
a
xc
y
)
c
x
(
a





(7.3) х
y
N
M(x,y)
0
B
1
(0,b)
B
2
(0,-b)
A
1
A
2
F
1
(-c,0)
F
2
(c,0)





x = – a
x = a х
k
r
1
r
2
a

§ 7. Гипербола Снова возводя в квадрат уравнение (7.3), после элементарных преобразований находим
1 2
2 2
2


b
y
a
x
,
(7.4) где
2 2
2
a
c
b


(7.5) Итак, доказано, что координаты любой точки гиперболы
 удовлетворяют уравнению (7.4). Докажем обратное утверждение каждая точка M

, координаты которой удовлетворяют уравнению (7.4), принадлежит гиперболе
, те.
a
M

F
M

F
2 2
1


. Подставив в формулы) значение y из уравнения (7.4) и учитывая равенство (7.5), получим, Из уравнения (7.4) следует, что
a
|
x
|
 итак как эксцентриситет
1



a
c
, то если
,
a
x
a
x
a
c
M

F
r
если
,
a
x
a
x
a
c
M

F
r
,
a
x
a
x
a
c
M

F
r






































0 0
2 2
1 1
1 1
2 2
(7.6) Следовательно,
a
M

F
M

F
2 2
1


, те.


M

. Итак, уравнение (7.4) является уравнением гиперболы
. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.

2. Геометрические свойства гиперболы. а. Если


)
y
,
x
(
M
, то (х,у) удовлетворяют уравнению (7.4), поэтому. Следовательно, либо
a
x
 , либо
a
x


. Значит, внутри полосы, образуемой прямыми
a
x
 и
a
x


, нет точек гиперболы
.

Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости
b). Так как переменные x,y входят в уравнение (4.7) в четной степени, то гипербола — фигура, симметричная относительно осей координат и начала О координат. Точка О называется центром гиперболы, ось симметрии, проходящая через фокусы, — первой или фокальной осью симметрии, а перпендикулярная к ней ось, проходящая через центр, — второй или мнимой осью симметрии. Фокальная ось симметрии пересекает гиперболу в двух точках
)
;
a
(
A
0 1
,
)
;
a
(
A
0 2

, которые называются вершинами гиперболы, а отрезок А
1
А
2
— действительной осью. Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. с. Прямые
x
a
b
y

и
x
a
b
y


называются асимтотами гиперболы. Выясним, как расположены ветви гиперболы относительно ее асимптот. Пусть
)
y
,
x
(
M
— произвольная точка гиперболы
 (рис. 2.15), лежащая впервой четверти,
)
y
,
x
(
N
ac
— точка асимптоты Найдем длину отрезка MN:
2 2
2 2
2 2
(
)
0.
kp
ac
b
b
b
MN
y
y
x
x
a
x
x
a
a
a
a
ab
x
x
a













0 2
2








a
x
x
ab
lim
MN
lim
x
x
, те. точка М неограниченно приближается к асимптоте. Построив гиперболу впервой четверти, те. линию
2 2
a
x
a
b
y


a
x
 , а затем, симметрично отражая эту линию относительно осей координат, получим гиперболу (рис. d). Теорема 2.3. (Директориальное свойство эллипса.
1. Отношение расстояния от точки М гиперболы до фокуса к расстоянию этой точки М до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету

гиперболы. Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.

§ 8. Парабола
§
8. Парабола
2.15. Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние каждой из которых доданной точки F равно расстоянию доданной прямой d, не проходящей через точку F. Точка F называется фокусом параболы, а прямая d — директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через р. Очевидно,
FD
p

, где D — проекция точки F напрямую (рис. 2.16). Рис. 2.16
Найдем уравнение параболы
 в декартовой системе координат
{
j
i
O


,
,
}, где О — середина отрезка DM, а
OF
i


. Выбранная таким образом система координат называется канонической. В этой системе координат фокус F имеет координаты






0
;
2
p
, а директриса d — уравнение. Пусть
)
,
( y
x
M
— произвольная точка плоскости. Вычислим и расстояние
)
,
(
d
M

:





d
y
M
D
O
F
x

j

i


Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости
2 2
2
y
p
x
MF






 

,
2
)
,
(
p
x
d
M



(8.1) Если


M
, то
)
,
(
d
M
MF


, поэтому
px
y
p
x
y
p
x
2 2
2 2
2 2










 
(8.2) Итак, доказано, что координаты любой точки параболы
 удовлетворяют уравнению (8.2). Докажем обратное утверждение каждая точка М, координаты которой удовлетворяют уравнению (8.2), принадлежит параболе
, те. Подставляя в первую из формул (8.1) значение
2
y из (8.2), получим
2 2
2 2
2 2
p
x
p
x
px
p
x
MF







 







 Следовательно, )
,
(
d
M
FM


, те.


M
 Уравнение (8.2) называется каноническим уравнением параболы.
2. Используем каноническое уравнение (8.2) параболы
 для изучения ее геометрических свойств. Из уравнения (8.2) следует, что все точки параболы
 принадлежат полуплоскости
0

x
. Если


)
,
( y
x
M
, то


 )
,
(
y
x
M
, те. прямая OF является осью симметрии параболы. Точка О пересечения этой оси с параболой называется вершиной параболы. Оси выбранной системы координат имеют только одну общую точку с параболой — ее вершину. Докажем, что любая другая прямая l, проходящая через точку О, пересекает параболу в двух точках. Действительно, зададим прямую l уравнением
kx
y

. Подставив значение у в уравнение (8.2) получаем
0
)
2
(
2 2
2 При прямая l имеет две общие точки с параболой О) и






k
p
k
p
M
2
;
2 2
. Следовательно, парабола не имеет асимптот.