Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 1. Различные способы задания плоскости в пространстве Глава ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Различные способы задания плоскости в пространстве 3.1. Два неколлинеарных вектора // p параллельных плоскости называются направляющими векторами плоскости . 1. Уравнение плоскости, заданной начальной точкой 0 M и направляющими векторами. Пусть в аффинной системе координат 1 2 3 Oe e e задана точка 0 0 0 0 , , M x y z и два неколлинеарных вектора 1 2 3 , , p p p p и 1 2 3 , , q q q Проведем через точку 0 M две прямые || p p и || . q q Плоскость , проходящая через эти прямые, определяется единственным образом. Задача написать уравнение этой плоскости (рис. 3.1). Рис. 3.1 Точка , , M x y z пространства принадлежит тогда и только тогда, когда векторы 0 , , M M p q компланарны 0 0 0 0 1 2 3 1 2 3 , , 0 0. x x y y z z M M p q p p p q q q (1.1) p q 0 M p q M Глава III. Плоскость и прямая в пространстве Уравнение (1.1) — уравнение плоскости , проходящей через точку и имеющей направляющие векторы p и q 2. Уравнение плоскости, заданной тремя точками. Как известно, через три точки 0 1 2 , , , M M M не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Задача найти уравнение этой плоскости, если точки заданы своими координатами 0 0 0 0 , , , M x y z 1 1 1 1 , , , M x y z 2 2 2 2 , , M x y z относительно аффинной системы координат. Так как векторы 0 1 0 2 def def M M p M M q неколлинеарны (рис. 3.2), то они являются направляющими векторами исходной плоскости . Таким образом, задание свелось к пункту 1: Рис. 3.2 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 0 2 0 2 0 , , 0 0. x x y y z z M M M p q x x y y z z x x y y z z (1.2) Пример 1. Написать уравнение плоскости потрем точкам 0 1 2 1; 1; 2 , 2; 3; 1 , 0; 5; 2 . M M M ○ Найдем направляющие векторы плоскости 0 1 0 2 1; 4; 3 , 1; 6; 4 . p M M q M M 0 M p q M 2 M 1 M § 1. Различные способы задания плоскости в пространстве Уравнение плоскости можно найти, используя формулу (1.1) или (1.2). Имеем 1 1 2 : 1 4 3 0 2 1 7 1 10 2 0 1 6 4 2 7 10 15 0. x y z x y z x y z 3. Уравнение плоскости, заданной начальной точкой 0 M и нормальным вектором. 3.2. Вектор def AB n называется нормальным вектором плоскости , если AB или если AB параллелен какой-либо прямой (рис. 3.3). Рис. 3.3 Начальной точкой 0 0 0 0 , , M x y z и нормальным вектором , , n A B C , заданными в некоторой декартовой системе координат, плоскость определяется единственным образом. Найдем уравнение этой плоскости) 0 M B n M A Глава III. Плоскость и прямая в пространстве Уравнение (1.3) — есть уравнение плоскости, заданной начальной точкой 0 0 0 0 , , M x y z и нормальным вектором , , n A B Пример 2. Написать уравнение плоскости и по ее начальной точке 0 1; 2; 3 M и нормальному вектору 3; 5; 1 . n ○ Воспользуемся формулой (1.3): : 3 1 5 2 1 3 0 3 5 10 0. x y z x y z 4. Параметрические уравнения плоскости. Пусть в аффинной системе координат плоскость задана начальной точкой и направляющими векторами 1 2 3 , , p p p p и 1 2 3 , , q q q см. п. 1). Точка , , M x y z принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы 0 , , M M p q компланарны 0 , M M up q (1.4) или 0 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3 3 3 0 , , , x x up q x up q x y y up q y up q y z z up q z up q z (1.5) Уравнения (1.5) называются параметрическими уравнениями плоскости , аи параметрами 5. Общее уравнение плоскости. 1. Любую плоскость в пространстве можно задать начальной точкой 0 0 M M и направляющими векторами , p q , те. задать плоскость уравнением (1.1). Разложив определитель (1.1) по элементам первой строки, получим уравнение плоскости в виде 0. Ax By Cz D (1.6) Так как векторы || p , q тов уравнении (1.6) коэффициенты , , A B C неравны одновременно нулю. Значит, уравнение (1.6) — уравнение первой степени. Другими словами любая плоскость есть поверхность первого порядка. Верно и обратное утверждение любая поверхность первого порядка (1.6) есть плоскость. § 1. Различные способы задания плоскости в пространстве Лемма 2. (Лемма о параллельности вектора и плоскости. Пусть в афиинной системе координат задана плоскость уравнением (1.6) и вектор 1 2 3 , , k k k k . Для того чтобы вектор k был параллелен плоскости , необходимо и достаточно, чтобы 1 2 3 0. Ak Bk Ck (1.7) ○ От некоторой точки 1 1 1 1 , , M x y z плоскости отложим вектор 1 2 M M K и обозначим через 2 2 2 , , x y z координаты точки 2 M рис. 3.4). Рис. 3.4 Тогда 1 2 1 2 2 1 3 2 1 , , k x x k y y k z z (1.8) Так как 1 , M то 1 1 1 0. Ax By Cz D (1.9) Пусть вектор || . k Тогда точка 2 , M поэтому 2 2 2 0. Ax By Cz D (1.10) Из равенств (1.9) и (1.10) следует, что 2 1 2 1 2 1 0. A x x B y y C z z (1.11) С учетом соотношений (1.8), получим (1.7). Итак, если || , k то равенство (1.7) выполняется. Обратно, пусть выполняется равенство (1.7). 1 M k 2 M Глава III. Плоскость и прямая в пространстве Подставив в (1.7) значения 1 2 3 , , k k k из равенства (1.8), получаем равенство (1.11). Сложив равенства (1.9) и (1.11), приходим к равенству. Таким образом, 2 , M те. вектор || . k 6. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость || , k не проходит через начало (точку О) декартовой системы координат и пересекает координатные оси соответственно в точках ; ; , ; ; , ; ; , A a o o B o b o C o o c где , ; OA a OB b . OC c Уравнение плоскости находим по формуле (1.2): 0 0 0 0 0 1. 0 x a y z x y z a b x a bc acy abz a b c a c (1.12) Уравнение (1.12) называется уравнением плоскости в отрезках. Пример 13. Написать уравнение плоскости, если плоскость пересекает оси координат в точкаха , , A B C соответственно (см. рис. 3.5). Рис. 3.5 z x C y B 0 2 –4 β 3 А § 1. Различные способы задания плоскости в пространстве ○ Уравнение плоскости запишем по формуле (1.12): 1 6 3 4 12 0. 2 4 3 x y z x y z § 2. Различные способы задания прямой в пространстве 1. Канонические уравнения прямой. Положение прямой d в пространстве определяется однозначно, если даны направляющий вектор прямой d и некоторая ее точка. Пусть в аффинной системе координат 2 3 , , , O e e e задана точка 0 0 0 0 , , M x y z d и вектор 1 2 3 , , || p p p p d (рис. 3.6). Рис. 3.6 Очевидно, точка , , M x y z лежит на прямой d тогда и только тогда, когда векторы 0 M M и p коллинеарны 0 0 0 0 1 2 3 || x x y y z z M M M p p p p (2.1) Если одна из координат вектора p равна нулю, например, 3 0, p 1 2 0, 0, p p то условие коллинеарности векторов (2.1) примет вид 0 0 0 1 2 , 0. x x y y z z p p (2.2) p 0 M M d Глава III. Плоскость и прямая в пространстве Аналогично, если равны нулю две координаты вектора p , например то из (2.2) получаем 0 0 0, 0. y y z z (2.3) В этом случае прямая d параллельная оси Ox или совпадает с осью Ox если 0 0 0 y z ). Уравнения (2.1), (2.2), (2.3) называются каноническими уравнениями прямой. Пример 4. Написать канонические уравнения прямой, заданной двумя точками 0 3; 2; 0 M и 1 1; 1; 5 . M ○ Найдем направляющий вектор p прямой 0 1 4; 3; 5 . p M M Канонические уравнения прямой запишем по формуле (2.1): 3 2 4 3 5 x y z 2. Уравнения прямой, заданной двумя точками. Найдем уравнения прямой d , которая проходит через две точки 1 1 1 1 2 2 2 2 , , , , , , M x y z M x y z заданные в системе координат 1 2 3 , O e e e В этом случае вектор 1 2 1 2 1 2 1 2 , , p M M x x y y z z — направляющий вектор прямой d , так как 1 2 || . M M d Выберем точку 1 M за начальную точку прямой d . Таким образом, задание 2 прямой свелось к заданию (см. пили) или 2 1 1 1 2 1 0 0, 0, 0 y y y y z z z z (2.6) § 2. Различные способы задания прямой в пространстве 3. Уравнения прямой, заданной двумя плоскостями. Прямую d зададим, как линию пересечения двух плоскостей, те. системой двух линейных уравнений 1 1 1 1 2 2 2 2 0, : 0, A x B y C z D d A x B y C z D (2.7) где ранг матрицы 1 1 1 2 2 2 A B C A B C равен двум. Для того чтобы найти канонические уравнения прямой d (2.7), надо знать координаты какой—нибудь точки 0 M этой прямой и некоторого направляющего вектора || . p d Точку 0 0 0 0 , , M x y z выбираем так, чтобы ее координаты удовлетворяли системе (2.7). Для нахождения координат направляющего вектора воспользуемся леммой 3. Лемма 3. Если в аффинной системе координат прямая задана уравнениями (2.7), то вектор 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 , , B C C A A B p B C C A A B (2.8) является направляющим вектором этой прямой. ○ Пусть d По лемме 2 (о параллельности вектора и плоскости) вектор || p и || p (непосредственной подстановкой координат вектора , p по формуле (1.7) убеждаемся в этом) и, следовательно Вектор 0, p так как в системе (2.7) коэффициенты при , , x y z непропорциональны. Таким образом, вектор p — направляющий вектор прямой d . ● Пример 5. Написать канонические уравнения прямой, которая в аффинной системе координат задана системой уравнений 3 12 0, : 3 2 5 0. x y z d x y z (2.9) являются направляющим вектором этой прямой. Глава III. Плоскость и прямая в пространстве ○ Сначала выберем какую-нибудь точку на прямой d . В данном случае коэффициенты, например, при x и y непропорциональны, поэтому, полагая 0 3, z найдем из (2.9), что 0 0 1; 2. x y Итак, 0 1; 2; 3 M — начальная точка на прямой d . Координаты направляющего вектора p прямой d найдем по формуле (2.8) (лемма 3): 1 3 3 1 1 1 ; ; 1;11; 4 . 1 2 2 3 3 1 p Замечание. По формуле (1.7) легко проверить что || p и || p , те. || . p Таким образом, канонические уравнения прямой d , заданной системой, имеют вид 1 2 3 1 11 4 x y z 4. Параметрические уравнения прямой. Выберем какую-нибудь аффинную систему координат и зададим прямую d направляющим вектором 1 2 3 , , p p p p и точкой 0 0 0 0 , , M x y Точка , , M x y пространства лежит на прямой d тогда и только тогда, когда 0 1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 3 3 0 , , || , , x x tp x tp x M M p M M tp y y tp y tp y z z tp z tp z (2.10) Уравнения (2.10) называются параметрическими уравнениями прямой, а t — параметром прямой. Пример 6. Найти параметрические уравнения прямой, заданной двумя точками 0 1 1; 2; 3 1; 2; 6 . M M ○ Определим направляющий вектор p прямой 0 1 2; 0; 3 . p M M § 2. Различные способы задания прямой в пространстве Пусть 0 1; 2; 3 M — начальная точка прямой. Тогда параметрические уравнения искомой прямой запишем по формуле (2.10): 2 1, 2, 3 3. x t y z t 5. Задание прямой проектирующими плоскостями. Лемма 4. Ненулевые векторы 1 2 3 , , a a a a и 1 2 3 , , b b b b коллинеарные тогда и только тогда, когда 2 3 1 3 1 2 1 2 2 3 1 3 0, 0, 0. a a a a a a b b b b b b (2.11) ○ 1 1 2 2 3 3 || , , a b b ta b ta b ta b ta Отсюда и следует (2.11). ● Зададим прямую d начальной точкой 0 0 0 0 , , M x y z и направляющим вектором 1 2 3 , , p p p p , относительно декартовой системы координат) В силу леммы 4 условие (2.12) можно записать в виде 1 2 3 0, 0, 0 : p p p 0 0 0 0 2 3 1 2 0, (2.13 ), 0, y y z z x x y y a p p p p (2.13b) 0 0 1 3 0. x x z с) Дадим геометрическую интерпретацию уравнению (а. Уравнение (а) линейное, те. оно задает плоскость . Плоскость проходит через прямую d , т.к. координаты каждой точки прямой d удовлетворяют уравнению (а. В уравнении (а) отсутствуют переменная, те. эта плоскость ( ) параллельна оси OZ. Таким образом, плоскость (а) проектирует (ортогонально) прямую d на плоскость, параллельно прямой OZ. Глава III. Плоскость и прямая в пространстве Аналогично, получаем, что плоскость (2.13b) проектирует ортогонально прямую на плоскость YOZ, а плоскость (2.13c) — проектирует прямую d ортогонально на плоскость XOZ. Плоскости (ас) называются проектирующими плоскостями. Прямая можно задать любыми двумя из них, третье уравнение будет следствием первых двух. Задание прямой уравнениями (2.13) называется заданием прямой d проектирующими плоскостями. |