Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
§ 3. Формулы для вычисления расстояний между основными геометрическими объектами в пространстве 1. Расстояние между двумя различными точками. Пусть в декартовой системе координат ; ; ; O i j k заданы две точки 1 1 1 1 , , M x y z и 2 2 2 2 , , M x y z . Расстояние между точками 1 и есть длина вектора 1 2 : M M 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 M M M M x x y y z z (3.1) 2. Расстояние от точки до плоскости. Найдем расстояние от точки 0 0 0 0 , , M x y z до плоскости : Ax By 0, Cz заданных в декартовой системе координат (рис. 3.7). Рис. 3.7 S N n 0 0 0 0 , , M x y z K § 3. Вычисление расстояний между геометрическими объектами в пространстве Точка , , 0 k k k k k k k k k K x y z Ax By Cz D D Ax By Cz (3.2) Учитывая, что ; ; n A B C — нормальный вектор плоскости, 0 0 0 0 ; ; , k k k KM x x y y z z а также соотношение (3.2), находим 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 2 , n k k k KM n M M орт пр K M n A x x B y y C z z A B C Ax By Cz D A B C Итак, расстояние от точки до плоскости находится по формуле 0 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D M A B C (3.3) 3. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Рис. 3.8 Пусть прямая задана начальной точкой 1 1 1 1 , , M x y z и направляющим вектором 1 2 3 , , , p p p p а точка 0 0 0 0 , , M x y z (рис. 3.8). h p K 2 M h 3 M 1 M 0 M Глава III. Плоскость и прямая в пространстве На векторах 1 2 p M M и 1 0 M M строим параллелограмм 0 1 2 3 M M M M Высота 0 M K h этого параллелограмма и есть расстояние от точки 0 M до прямой : 1 0 0 0 2 2 2 1 2 пар M p S M M K p p p p (3.4) 4. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Относительно декартовой системы координат ; ; ; O i j k прямую зададим начальной точкой 1 1 1 1 , , M x y z и направляющим вектором 1 2 3 , , , p p p p а прямую 2 — начальной точкой 2 2 2 2 , , M x y z и вектором Пусть прямые 1 и 2 — скрещивающиеся прямые 1 На векторах 1 2 , M M p и q строим параллелепипед (прямые 1 2 лежат в параллельных плоскостях) (рис. 3.9). Рис. 3.9 Расстояние между 1 2 есть расстояние между параллельными плоскостями (ив которых они лежат, те. равно высоте параллелепипеда (рис. 3.9): 2 2 M q 2 N N 1 M p 1 § 3. Вычисление расстояний между геометрическими объектами в пространстве 1 2 1 2 1 2 , , , пар осн M M p p V h S p p (3.5) Пример 7. В декартовой системе координат дана плоскость : 2 5 3 0. x y z Найти расстояние от начала координат до плоскости . ○ Начало координат O имеет координаты (0, 0, 0). По формуле (3.3) получим 2 0 0 5 0 3 3 3 10 , 10 4 1 5 10 O Пример 8. Найти расстояние от точки 0 2; 0; 1 M до прямой 1 2 3 : 2 2 1 x y z ○ Подставляя координаты точки 0 M в канонические уравнения прямой, убеждаемся, что точка 0 M (рис. 3.10). Рис. 3.10 Расстояние h от точки 0 M до прямой находим по формуле (3.4). Найдем координаты вектора 1 0 , M M где 1 1; 2; 3 : M 1 0 0 1 0 1 0 1 , , 1; 2; 2 . M M x x y y z z 0 M 1 M h 3 M p 2 M Глава III. Плоскость и прямая в пространстве Далее последовательно вычисляем a) Координаты векторного произведения 1 0 , : M M p 1 0 1 0 1; 2; 2 2 2 1 2 1 2 , ; ; 2; 3; 2 . 2 1 2 1 2 2 2; 2;1 M M M M p p b) Длину вектора 1 0 ; M M p и длину вектора : p 2 2 2 1 0 ; 2 3 2 пар M p 2 2 2 2 2 1 3. p c) Наконец, по формуле (3.4) находим 0 17 , 3 нар S M p Пример 9. Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми 1 2 : 3 2 , 7 2 , 1 3 ; : 5 4 , 8, 2 6 . x t y t z t x t y z t ○ Прямая 1 имеет направляющий вектор 1 2; 2; 3 p и начальную точку 1 3; 7;1 , M а прямая 2 — направляющий вектор 2 4; 0; и начальную точку 2 5; 8; 2 Найдем координаты вектора 1 2 2;1;1 . M M Расстояние между прямыми 1 и 2 находим по формуле. Для чего последовательно вычисляем a) Смешанное произведение векторов 1 2 1 2 , , : M M p p 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 , , 2 2 3 6 0 5 56. 4 0 6 4 0 6 M M p p (3.6) Условие (3.6) означает, что прямые 1 2 и пар построенного на векторах 1 2 1 2 , , , M M p p равен 1 2 1 2 , , 56 пар V М М p p § 3. Вычисление расстояний между геометрическими объектами в пространстве b) 1 1 2 2 ) 2; 2; 3 2 3 2 3 2 2 , ; ; 12; 24; 8 . 0 6 4 6 4 0 4; 0; 6 b p p p p c) 2 2 2 1 2 , 12 24 8 28. def пар осн S S p p d) По формуле (3.5) находим 56 2. 28 пар осн V h S § 4. Формулы для вычисления углов между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями 1. Угол между прямыми в пространстве. a) Если прямые 1 и 2 пересекаются, то они лежат водной плоскости. Поэтому угол 1 2 , вычисляется по формуле (III. 5.1): 1 2 1 2 cos , p p p p (4.1) где 1 1 2 2 || , || Вывод формулы (4.1) такой же, как в § 5 (глава III). b) Если прямые 1 и 2 скрещивающиеся 1 2 , то угол между ними определяется как угол между пересекающимися прямимы * 1 и * 2 , где, * * 1 1 2 2 || , || , те. определяется по формуле (4.1). 2. Угол между прямой и плоскостью. 5.3. Углом между прямой d и плоскостью называется угол между прямой d и ее проекцией 1 d на плоскость рис. 3.11) Пусть 1 || , , , , , p d n d d n p . В силу определения угол между прямой и плоскостью меняется на отрезке 0 2 При возможных расположениях векторов p и n имеются только две связи между величинами и : Глава III. Плоскость и прямая в пространстве cos cos sin , , 2 2 sin cos . cos cos sin 2 2 Рис. 3.11 Итак, sin cos cos , n p n p n p (4.2) В частности, если прямая , d то || , n p а если || , d то 0 sin 0 0. n p n p 3. Угол между плоскостями. 5.4. Углом между пересекающимися плоскостями и называется меньшей из двух пар вертикальных двугранных углов, образованных этими плоскостями. n p A d B 1 d 0 n p A d B 1 d 0 § 4. Вычисление углов между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями Величина двугранного угла — есть величина любого его линейного угла. Пусть || d — прямая, по которой пересекаются плоскости и Через точку O d проведем плоскость d Пусть 1 , 2 Согласно определению угол 1 2 , есть угол между данными плоскостями (рис. 3.12). Рис. 3.12 Обозначим через n — нормальный вектор плоскости , те. ; n через n — нормальный вектор плоскости , те. . n Отсюда следует, что 1 2 , n n (рис. 3.13). Рис. 3.13 1 n 2 n d 0 1 2 n n Глава III. Плоскость и прямая в пространстве Обозначим через 1 2 , , , , n n тогда при любом выборе направлений векторов , n n имеются лишь две связи между углами и : cos cos , , cos cos . cos cos 4 cos Итак, cos cos cos , n n n n n n (4.3) Пример 10. В декартовой системе координат даны прямые 1 1 : 2 1 1 x y z и 2 0, : 0. x y z x z Вычислить угол между ними. ○ Предварительно вычислим координаты направляющих векторов этих прямых 1 1 2 2 2; 1; 1 || , 1; 2;1 || . p p Пусть — величина угла между прямыми. По формуле (4.1) находим 0 2 2 1 3 1 cos 60 . 6 2 4 1 1 1 4 1 Пример 11. Найти угол между прямой : 8 , 2 , x t y t 1 2 z t и плоскостью : 2 1 0. x y z ○ Вектор 2; 1; 1 n — нормальный вектор плоскости , 1;1; 2 p — направляющий вектор прямой . Пусть — величина угла между прямой и плоскостью , тогда по формуле (4.2) получим Пример 12. Найти угол между плоскостями : 2 3 1 0 x y z и : 2 2 5 0 x y z . § 4. Вычисление углов между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями ○ Вектор 1 2; 1; и 2 2;1; 2 n — нормальные векторы соответственно плоскостей и . По формуле (4.3) вычисляем 1 2 1 2 4 1 6 9 3 3 14 cos 14 4 1 9 4 1 4 14 3 14 3 14 arccos 14 n n n n § 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве 1. Взаимное расположение двух прямых. Пусть в пространстве заданы прямые 1 d — начальной точкой 1 M и направляющим вектором 1 p и прямая 2 d — начальной точкой 2 M и направляющим вектором 2 p (рис. 3.14). Рис. 3.14 Оказывается, что по векторам 1 2 1 2 , , M M p p можно определить взаимное расположение данных прямых. Возможны четыре случая 1) прямые скрещиваются, 2) прямые пересекаются, 3) прямые параллельны) прямые совпадают. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности. Заметим, что прямые 1 d и 2 d лежат водной плоскости рис. 3.14) тогда только тогда, когда векторы 1 2 1 2 , , M M p p компланарны и, значит, имеет место равенство. 2 d 2 M 2 p 1 p 1 M 1 d M Глава III. Плоскость и прямая в пространстве 1 2 1 2 , , 0. M M p p (5.1) 1. Как известно, две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат водной плоскости (те. не существует плоскости, содержащей каждую из этих прямых. Следовательно, для того чтобы данные прямые 1 d и 2 d были скрещивающимися, необходимо и достаточно, чтобы для них выполнялись неравенство 1 2 1 2 , , 0. M M p p (5.2) 2. Пусть прямые 1 d и 2 d лежат водной плоскости, и, следовательно для них выполняется условие (5.1). Эти прямые пересекаются тогда и только тогда, когда их направляющие векторы неколлинеарны. Итак, прямые 1 d и 2 d пересекаются тогда и только тогда, когда 1 2 1 2 1 , , 0, || M M p p p 2 p (5.3) 3. Прямые 1 d и 2 d , лежащие водной плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек. Это будет только в том случае, когда векторы 1 p и 2 p коллинеарны, а 1 2 1 , M M p неколлинеарны. Итак, прямые 1 d и 2 d параллельны тогда и только тогда, когда векторы 1 p и 2 p коллинеарны, но векторы 1 p и 1 2 M M неколлинеарны (или 1 2 || M M 2 p ). (5.4) 4. Ясно, что прямые 1 d и 2 d совпадают тогда и только тогда, когда векторы 1 p , 2 p и 1 2 M M попарно коллинеарны 1 2 1 2 || || p p M M (5.5) Пример 13. Выяснить взаимное расположение двух прямых, заданных в аффинной системе координат каноническими уравнениями 1 2 2 1 1 5 2 8 : , : 1 2 3 2 1 4 x y z x y z d d (5.6) ○ Находим по уравнениям (5.6) точки прямых 1 d и 2 d и их направляющие векторы |