теориия игр. Лекции по теории игр вводный уровень
 Скачать 1.71 Mb.
|
|
Упражнение. В описанной в предыдущем примере ситуации с воробьями, пред- положите, что есть еще один тип воробьев, его доля в популяции β, он называется “буржуазным”, поскольку уважает собственность. Подразумевается, что если такой воробей нашел корм первым, то считает его своим и дерется с любым претендентом, получая выигрыш (-1), как и претендент. Если же он подходит к корму вторым, то с мирным напарником кормится вместе (выигрыши (1,1)), а агрессивному уступает (выигрыши (0,2)). Считая вероятность быть первым 1/2 и усреднив, получим, что выигрыши равны u β (β, α, µ) = −1α + 1µ + 1β... Найдите эволюционное равновесие (β, α, µ) (только ли “буржуазные” типы поведения останутся, единственно ли EvE?). Пример 4.0.26 (“Обезьяны: альтруисты и эгоисты”) Пусть, на равнине, рав- номерно покрытой джунглями рассеяна популяция обезьян. Обязьяна может быть типа альтруиста, вычесывая блох у соседей, либо типа эгоиста, подставляя спину другим, но сама не вычесывая. Предположим, что у каждой обезъяны 8 соседей (как у клетки на шахматной доске), и полезность ее возрастает пропорционально числу альтруистов среди них, но убывает по размеру собственных усилий. Покажите, что при подобной целевой функции окажется, что в этом лесу единственное эволюци- онное равновесие – полный эгоизм. Напротив, при некоторых параметрах подобной целевой функции и возможности парных мутаций нет эволюционных равновесий: возникающая в эгоистичном лесу пара альтруистов растет, как пятно, в ней возника- ет пятно эгоистов, и т.д. Подобная ситуация возможна и при единичных мутациях: не из всякого начального положения устанавливается равновесие. В другом вариан- те игры: когда альтруизм гаснет, если не взаимен – возможно равновесие с полным альтруизмом (точнее, дружелюбием), мутации эгоистов подавляются эволюцией. Эти соображения о возможности предсказания эволюционных равновесий без ра- циональности хорошо переносятся с популяций животных и на “популяции” типов по- ведения людей. Дело в том, что в истории многие сообщества чаще всего не были спо- собны свободно “конструировать” типы поведения, даже если они признавались по- лезными (вопреки Ж.-Ж.Руссо). Традиционализм перевешивал изменчивость. Нор- мы возникали, скорее, эволюционно. Другая причина применимости эволюционной концепции та, что даже в бизнесе, тот или иной тип маркетингового поведения зача- стую слишком трудно просчитать и оптимизировать. Практически, популяция тор- говцев просто “пробует” (мутации) множество разных типов поведения, и некоторые из них выживают в равновесии, а неуспешные торговцы “обезъянничают” у успеш- ных или выходят из игры (в обоих случаях их прошлый “тип поведения” погибает). Тем самым, ограниченная рациональность торговцев не препятствует описанию си- туации игроподобной моделью с максимизацией прибыли. 4.0.30 Содержательное сопоставление различных концепций решений игр В заключение обзора (заведомо неполного) различных концепций решений игр по- пробуем сопоставить их между собой; в какой мере некоторые концепции могут счи- таться частным случаем других или, наоборот, отражать принципиально разные си- туации? 86Глава 4. Усложнения: манипуляции с информацией, повторения игры, иррациональность Прежде всего, сопоставляя некооперативные (NE, MaxMin) и кооперативные кон- цепции решений (например, ядро, Парето-границу), можно заметить, что вторые, в отличие от первых, служат скорее критериями оптимальности для определенных си- туаций, чем способами предсказать исход. Действительно, указывая ядро как неко- торое множество “интересных” исходов в ситуации, где возможны переговоры, сле- довало бы указать еще процедуру, которой будут вестись переговоры, построить по ней соответствующую некооперативную игру (кто что может предложить, кто отка- заться, и т.д.) и тогда уже пытаться предсказать исход. Причем, исход при некото- рых механизмах (дележ Шепли) может быть и не в ядре. Однако, польза простой концепции ядра как именно предсказательной концепции в том, что многие сложные реальные процедуры приводят к ядру, и мы можем иногда предсказывать множество потенциальных исходов не зная конкретной процедуры, а лишь ее принадлежность этому классу. Далее, обсуждая некооперативные концепции, из предыдущего должно быть ясно, что статическая игра – это частный случай динамической, а именно, это однопери- одная игра с одновременными скрытыми ходами партнеров. В таком разрезе, прямо по определению, решение Нэша есть SPNE этой игры (не имеющей дополнительных подыгр). Но тонкость в том, что это же решение Нэша может быть применимо и к повторяемой игре с такой же структурой возможных ходов и выигрышей, в том чис- ле - к игре бесконечной. Тогда его нужно рассматривать как одно из совершенных в подыграх равновесий (SPE) этой повторяемой игры, такое, где ходы неизменны от раунда к раунду (см. ситуации с Folk Theorem). Именно в этом смысле его называ- ют “равновесием”, хотя строгое обоснование того, что это действительно равновесие должно проводиться именно через соответствующую развернутую форму динамиче- ской игры. Итак, NE – это простая концепция, иногда применимая к весьма сложной ситуации, которую мы пытаемся прогнозировать не зная конкретной динамики. Напротив, решение Штакельберга, возникшее первоначально для “статических” игр, на самом деле выражает совершенно определенную динамику: на первом эта- пе ходит лидер, затем одновременно (по Нэшу) – его последователи. Итак, StE есть SPNE в подходящим образом сформулированной двухпериодной игре. Небольшое отличие возникает только в “оптимистической” и “пессимистической” вариациях по- нятия StE. 4.1. Приложение. Основные определения и сокращения 87 Аналогично, понятие итерационно-слабо-недоминируемого множества IWND, при- водящее к сложному равновесию SoE, можно рассматривать как осуществляемое на определенном дереве игры, задающем последовательность отметания (слабо) доми- нируемых альтернатив. В классическом варианте определения SoE последователь- ность предполагается такой: все игроки одновременно отбросили стратегии в первом раунде, увидели результаты, отбросили во втором, и т.д. Но в определенных случаях (например, при неповторимости выигрышей) и все другие варианты последователь- ности ходов приводят к тому же результату (см. Мулен, 1985,). Ценность концепций такого типа в попытке предсказывать исход по целям партнеров не зная конкретной динамики расчетов, что всегда осуществимо для ISND. 4.1 Приложение. Основные определения и сокраще- ния Максимин (ММ) - исход игры (профиль стратегий) при осторожном поведении всех, то есть при максимизации гарантированных выигрышей, не учитывая целей и текущих решений партнеров. Равновесие в (слабо-) доминирующих стратегиях (WDE) или слабо- до- минирующее равновесие – профиль (слабо-) доминирующих стратегий, существую- щий в случае наличия у каждого “абсолютно-оптимальной” стратегии, то есть стра- тегии, (слабо) доминирующей над всеми другими его стратегиями при любых хо- дах партнеров (что не зависит от их целей). Аналогично: Равновесие в сильно- доминирующих стратегиях (SDE) – профиль сильно-доминирующих (сильно- абсолютно-оптимальых) стратегий. Решение в итерационно- (слабо-)недоминируемых стратегиях (IND W ) - исход игры (профиль стратегий) в случае одновременного итерационного отбрасы- вания (слабо-) доминируемых стратегий каждым игроком и соответствующего ре- дуцирования игры, т.е., исключения из рассмотрения отброшенных стратегий всеми игроками. Требует знания или целей партнеров или факта отбрасывания стратегий. Аналогично: Решение в итерационно- сильно-недоминируемых стратегиях (IND S ) - исход игры (профиль стратегий) в случае одновременного итерационного отбрасывания сильно-доминируемых стратегий каждым игроком и соответствующе- го редуцирования.] Равновесие Нэша (NE) - исход игры (профиль стратегий), при котором ни од- ному игроку нет выгоды отступить от своей текущей стратегии, при знании текущих стратегий партнеров и гипотезе, что партнеры не отступят. [Эквивалентно: Равнове- сие Нэша - исход, когда все сходили одновременно, имея лишь некоторые ожидания о запланированном ходе партнеров, а когда ходы состоялись, то все ожидания оправ- дались.] Совершенное в Подыграх Равновесие (Нэша) (SPE ≡ SPNE) – это рав- новесие Нэша в развернутой форме игры, являющееся также равновесием Нэша во всех ее подыграх. (Внимание: оно может не являться NE этой же игры в нормальной форме.) 88Глава 4. Усложнения: манипуляции с информацией, повторения игры, иррациональность Слабый оптимум Парето (W P) - возможный исход, который нельзя улучшить для всех игроков сразу, даже согласовав их ходы. (Сильный) Оптимум Парето (P) - исход, который нельзя улучшить для кого-то, не ухудшив для других. Элемент (слабого) Ядра игры (C) - возможный исход, который не блокирует- ся ни одной коалицией в переговорах. Коалиция блокирует в переговорах (отвергает) вариант, если имеет другой, строго более желательный для всех своих членов, среди СВОИХ возможностей (среди вариантов, достижимых независимо от действий вне- коалиционных игроков). Т.е., Ядро - множество вариантов, вне которого соглашений быть не может. Сокращения: MM – MaxiMin, DE – Dominant Equilibrium, SDE – Strong Dom- inant Equilibrium, IND W – Iterative (Weakly) Non-Dominant Equilibrium, SoE – So- phisticated Equilibrium, NE - Nash Equilibrium, NE m – Nash Equilibrium in Mixed stratagies, SP (N)E – Subgame Perfect (Nash) Equilibrium, StE – Stackelberg Equilib- rium, P - Pareto, C – Core. 4.1. Приложение. Основные определения и сокращения 89 ПОСОБИЯ по курсу: 1) С.Г.Коковин "Лекции по теории игр (вводный уровень)” http://econom.nsu.ru/Systema_Econom/Kokovin 2) С.Г.Коковин "Практические занятия по теории игр” http://econom.nsu.ru/Systema_Econom/Kokovin 3) А.А.Цыплаков "Введение в теорию игр: ч.1 - Элементы теории некооператив- ных игр, ч.2 - Элементы теории кооперативных игр” http://econom.nsu.ru/Systema_Econom/Tsyplakov, http://www.nsu.ru/ef/tsy/other/GamesTextbook_2009- 12-13.pdf ОПОРНЫЕ КНИГИ, по разделам курса: – К разделу "Некооперативные игры 1. Martin J. Osborne “An Introduction to Game Theory” New York, Oxford Univ. Press, 2002. 2. Ж.Тироль. Теория отраслевых рынков.- М.Экономика, 1999. - (Глава 11: Теория игр). 3. В.Бусыгин, Е.Желободько, А.Цыплаков. (2005) “Микроэкономика (продвину- тый уровень)".- Новосибирск, Изд. НГУ (Глава 16: Элементы теории некооператив- ных игр). – К разделу "Целевые функции и предпочтения, кооперативные игры 4. К.Алипрантис, Д.Браун, О.Бёркиншо. (1995) "Существование и оптимальность конкурентного равновесия".- пер. с англ. Москва, Мир. 5. В.Данилов (2002) Лекции по теории игр.- Москва, New Economic School. 6. Э.Мулен (1991) Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели.- пер. с англ. Москва, Мир. Дополнительная литература для анализа отдельных тем и задач: 7. Mas-Collel, A., M. Winston and J.Green (1995) Microeconomic Theory.- Oxford, Oxford University Press (Part 2: Game Theory). 8. Fernando Vega-Redondo (2003) Economics and the Theory of Games, Camridge, New-York, Camridge U.P. 8. R.B.Myerson. 1991. Game Theory (Analysis of Conflict).- Harvard U.P., Camridge, London. 9. Fudenberg, D. and J. Tirole. 1991. Game Theory.- MIT Press, New-York, London. Источники задач и упражнений, используемые в курсе: Книги: J.Tirole 1988, D.M. Kreps 1990, Э.Мулен. 1985, 1991, P.C.Ordeshook 1992. Подборки задач университетов (из Интернета и личных контактов): Harward, Central Euro-pean University (Budapest), New Economic School (Moscow). 90Глава 4. Усложнения: манипуляции с информацией, повторения игры, иррациональность Литература [1] Алипрантис, Браун, Бёркиншо: "Существование и оптимальность конкурентно- го равновесия". [2] Martin J. Osborne “An Introduction to Game Theory” New York, Oxford Univ. Press, 2002. [3] А.Цыплаков "Введение в теорию игр” http://www.nsu.ru/ef/tsy/other/GamesTextbook_2009-12-13.pdf [4] David M. Kreps. 1990. A Course in Microeconomic Theory.- Princeton University Press, Princeton. [5] R.B.Myerson. 1991. Game Theory (Analysis of Conflict).- Harvard U.P., Camridge, London. [6] Fudenberg, Drew & Jean Tirole. 1991. Game Theory.- MIT Press. [7] Eric Rasmusen. 1989. Games and Information (An Introduction to Game Theory).- Blackwell. Cambridge MA, Oxford UK. [8] Jean Tirole. 1988. The Theory of Industrial Organization.- MIT Press. Cambridge, Massachusets. [9] Э.Мулен. 1985. Теория игр (с примерами из математической экономики).- М., Мир. [10] Э.Мулен. 1995??. Кооперативное принятие решений: аксиомы и проблемы.- М., Мир. [11] H.Varian “Microec.Analysis” [12] В.Бусыгин, С.Коковин, Е.Желободько, А.Цыплаков. 1999. “Микроэкономиче- ский анализ несовершенных рынков”.- TEMPUS (TACIS), NSU, Новосибирск. [13] В.Бусыгин, С.Коковин, А.Цыплаков. 1996. “Методы микроэкономического ана- лиза: фиаско рынка”.- TEMPUS (TACIS), NSU, Новосибирск. 91 |