Прокимнов Н. Литература по теме Тема Информационная система как сложная система Вопрос Основные понятия теории систем
 Скачать 1.19 Mb.
|
|
Тема 4. Количественные методы системного анализа в теории информационных процессов и систем Цели изучения темы: познакомиться с основными подходами, возникающими на начальных этапах жизненного цикла информационных систем, и существующими подходами к их решению. Задачи изучения темы: изучить подходы к формальному описанию качества систем; познакомиться с критериями количественного оценивания систем; понять сущность методов количественного оценивания. Успешно изучив тему, Вы: Получите представление о: классификации условий функционирования систем; методах, применяемых для количественного оценивания альтернатив; как выбрать метод оценивания в зависимости от условий; как применяются методы оценивания. Будете знать: что такое частные и обобщенный показатели качества системы; что такое нормирование показателей; как уменьшить сложность задачи выбора; как осуществить свертку частных показателей. Вопросы темы: 1. Количественное оценивание систем. 2. Оценивание в условиях определенности. 3. Оценивание в условиях риска. 4. Оценивание в условиях неопределенности. Вопрос 1. Количественное оценивание систем. Как уже обсуждалось ранее, для описания свойств системы вводится понятия показателя. Ряд этих показателей используется как показатели качествасистемы. Однако оценивание информационной системы как системы сложной не может ограничиваться рассмотрением одного единственного показателя. В частности, принятие решения относительно возможных схем организации потока работ должно учитывать целую совокупность технологических (число и сложность этапов, время выполнения и пр.) и экономических характеристик (трудовые и финансовые затраты), с которыми сопряжена реализация каждой из анализируемых схем. Поэтому дополнительно к частным показателям качества некоторой системы j вводится понятие обобщенного показателя качества, под которым понимают вектор  . Компонентами этого вектора являются частные показатели качества системы, каждый из которых может принимать значения из множества допустимых значений. Размерность обобщенного вектора показателя качества определяется числом существенных свойств системы (для информационной системы в число этих свойств могут входить функциональные, надежностные, временные и др.). Следует отметить, что обобщенным показателем качества является именно вектор, а не простое множество частных показателей, поскольку между отдельными свойствами могут существовать связи, которые в рамках теории множеств описать весьма сложно.Частные показатели имеют различную физическую природу и в соответствии с этим различную размерность. Поэтому при переходе к обобщенному показателю качества следует оперировать не с самими показателями, а с их нормированными значениями, обеспечивающими приведение показателей к одному масштабу, что необходимо для их сопоставления. Задача нормировки решается, как правило, введением относительных безразмерных показателей, представляющих собой отношение измеренного частного показателя к некоторой нормирующей величине, измеряемой в тех же единицах, что и сам показатель:  ,где - некоторое «идеальное» значение i-го показателя. Выбор этого значения в значительной мере носит субъективный характер и должен обосновываться в каждом конкретном случае. Укажем несколько возможных подходов к выбору нормирующего делителя. 1) задается ЛПР (т.е., значение следует воспринимать как образцовое); 2)  ;3)  .Требуемое качество системы задается правилами (условиями), которым должны удовлетворять показатели существенных свойств, а проверка их выполнения называется оцениванием качества системы. Таким образом, критерий качества есть показатель существенных свойств системы и правило его оценивания. Все критерии в общем случае могут принадлежать одному из трех классов. Согласно критерию пригодности j-ая система считается пригодной, если значения всех частных показателей этой системы принадлежат области допустимых значений частных показателей. Согласно критерию оптимальности j-ая система считается оптимальной по i-му показателю качества, если все значения частных показателей качества принадлежат допустимой области и существует хотя бы один частный показатель качества , по которому достигается оптимум. Согласно критерию превосходства j-ая система считается превосходной, если все значения частных показателей качества принадлежат допустимой области и система оптимальна по всем показателям. Пример применения критериев иллюстрируется Рис. 1, где по свойствам у1и у2сравниваются характеристики пяти систем S1, S2, S3, S4, S5, имеющих допустимые области значений у1 и у2, для которых оптимальные значения определены как  и  соответственно. Рис. 1. Примеры применения критериев качества Из рисунка видно, что системы S1, S2, S3, S4 пригодны по показателям у1 и у2, система S5 не является пригодной, системы S3, S4 оптимальны по показателю у2, система S3 является превосходной. Принято различать три вида условий, в которых может производиться оценивание сложных систем и принятие решения, а именно: условия определенности; условия риска; условия неопределенности. Вопрос 2. Оценивание в условиях определенности. Под условиями определенности понимают такие условия, когда поведение системы (и, в частности, значения каждого ее показателя качества) полностью предсказуемы. Оценка сложных систем в условиях определенности на основе методов векторной оптимизации проводится в три этапа. На первом этапе с использованием системного анализа определяются частные показатели и критерии эффективности. На втором этапе находится множество Парето и формулируется задача многокритериальной оптимизации. На третьем этапе задача решается путем скаляризации критериев с устранением многокритериальности. Множество Парето определяется как подмножество А* множества альтернатив А. Множество А* (переговорное множество, множество компромиссов) включает альтернативы, которые всегда более предпочтительны по сравнению с любой альтернативой из множества А\А*. При этом любые две альтернативы из множества Парето по предпочтению несравнимы. Альтернативы и называются несравнимыми, если альтернатива превосходит альтернативу по одним критериям, а альтернатива превосходит альтернативу по другим. Выражение К(а*) > К(а) означает, что  .и хотя бы одно из этих неравенств является строгим. Понятие множества Парето можно пояснить на примере. Пусть имеем задачу оптимизации по двум критериям  ,  где и - показатели свойств системы (параметры), значения которых можно выбирать. Целью является выбор оптимальных (в данном случае минимальных) значений параметров. Если изобразить множество критериев в виде многоугольника (Рис. 2):  Рис. 2. Множество Парето и рассмотреть пару точек и как показано на рисунке, то легко заметить, что для этих точек справедливо:  , .т.е., точка является более предпочтительной по отношению к точке . Поэтому оставлять для рассмотрения точку не имеет смысла. Продолжая рассмотрение других точек области многоугольника, придем к тому, что для выбора остаются только точки стороны AE. Для каждой пары этих точек предпочтение по одному показателю сопровождается ухудшением по другому. Таким образом, нахождение множества Парето может значительно уменьшить затраты на решение задачи выбора за счет сокращения числа подлежащих рассмотрению вариантов. Методы, основанные на свертке векторного критерия в скалярный, предполагают переход к решению задачи  ,где - скалярный критерий, представляющий собой некоторую функцию от значений компонентов векторного критерия:  .Основной проблемой этого подхода является построение функции f, называемой сверткой. Свертка производится в несколько этапов. Обоснование допустимости свертки.Требует подтверждения, что рассматриваемые показатели эффективности являются однородными. Известно, что показатели эффективности разделяются на три группы: показатели результативности, ресурсоемкости и оперативности. В общем случае разрешается свертка показателей, входящих в обобщенный показатель для каждой группы отдельно. Свертка показателей разных групп может привести к потере физического смысла такого критерия. Нормализация критериев. Проводится аналогично нормировке показателей. Учет приоритетов критериев. Осуществляется в большинстве методов свертывания путем задания вектора коэффициентов важности критериев :  ,где - коэффициент важности критерия , обычно совпадающий с коэффициентом значимости частного показателя качества. Определение коэффициентов важности критериев, как и в случае с показателями, сталкивается с серьезными трудностями и сводится либо к использованию формальных процедур, либо к применению экспертных оценок. В результате нормализации и учета приоритетов критериев вместо исходной векторной оценки К(а) альтернативы а образуется новая векторная оценка  ,где - нормированный критерий, он находится аналогично нормированному показателю. Именно эта полученная векторная оценка подлежит преобразованию с использованием функции свертки. Свертка показателей. Способ свертки зависит от характера показателей и целей оценивания систем. Известны несколько видов свертки. Наиболее часто использую аддитивная и мультипликативная свертки компонентов векторного критерия. Аддитивная свертка компонентов векторного критериясостоит в представлении обобщенного скалярного критерия в виде суммы взвешенных нормированных частных критериев:  (1).Такие критерии образуют группу аддитивных критериев, их свертка основана на использовании принципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев. Сутью этого принципа является утверждение: справедливым следует считать такой компромисс, при котором суммарныйуровень абсолютного снижения значений одного или нескольких показателей не превышает суммарного уровня абсолютного увеличения значений других показателей. Главный недостаток аддитивных критериев состоит в том, что они не вытекают из объективной роли частных критериев в определении качества системы и поэтому выступают как формальный математический прием, придающий задаче удобный вид.Кроме того, низкие оценки по одним критериям могут компенсироваться высокими оценками по другим критериям. Это значит, что уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может возмещаться возрастанием другого. Мультипликативная сверткакритерия состоит в представлении обобщенного скалярного критерия в виде произведения:  (2).Мультипликативный критерий образуется путем перемножения частных критериев  возведенных в степени . Если все частные критерии имеют одинаковую важность, то =1. При разной важности критериев ≠1.В мультипликативных критериях компромисс достигается по отношению не к абсолютным, а к относительным изменениям частных критериев, а именно, суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев. Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировки частных критериев. К его недостаткам относится то, что он компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений частных критериев. Выбор между аддитивной и мультипликативной свертками частных критериев определяется степенью важности абсолютных или относительных изменений значений частных критериев соответственно. Вопрос 3. Оценивание в условиях риска. Условиями риска называют такие условия функционирования систем, когда результат выполняемых системой операций (действий, работ) характеризуется как вероятностный. Однозначность соответствия между системами и исходами в вероятностных операциях нарушается. Например, в силу ненадежности сетевого оборудования время передачи сообщений может меняться случайным образом по известному закону. Очевидно, оценивать системы, функционирующие в условиях риска, таким же образом, как в детерминированных системах, нельзя. Эффективность функционирования систем в условиях риска чаще всего находится через математическое ожидание функции полезности на множестве исходов отдельных операций. Поясним применение процедуры оценивания на следующем примере. Пусть необходимо оценить варианты оборудования локальной вычислительной сети с целью выбора наилучшего. Полезность оборудования определяется обеспечиваемая им интенсивность обмена сообщениями между пользователями, функция полезности строится экспертным путем (в зависимости от числа передаваемых в сети сообщений). Исходные данные для оценивания представлены в Таблица 1: Таблица 1. Исходные данные для оценивания
Здесь i - номер варианта сетевого оборудования,  - возможные варианты производительности (число передаваемых в течение некоторого времени сообщений),  - вероятность того, что в сети i будет передано сообщений,  - значение функции полезности передачи по сети сообщений.Расчет математического ожидания функции полезности для каждого варианта i сетевого оборудования производим согласно определению математического ожидания:  .Подставляя значения из таблицы, получаем:  , .Из полученных оценок заключаем, что предпочтение следует отдать варианту сетевого оборудования № 2. Кроме оптимизации в среднем в вероятностных операциях в теории принятия решений рассматриваются и используются и другие критерии оценки систем: максимум вероятности случайного события; максимум степени вероятностной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня; минимум среднего квадрата отклонения результата от требуемого; минимум дисперсии результата; максимум вероятностно-гарантированного результата; минимум среднего (байесовского) риска (минимум средних потерь). Вопрос 4. Оценивание в условиях неопределенности. Специфические черты информационных систем не позволяют при решении ряде задач свести их ни к детерминированным, ни к вероятностным и, следовательно, применить методы, применяемые в этих случаях. Описание условий неопределенности, удобное с точки зрения применения методов оценивания, можно представить в виде таблицы (Таблица 2): Таблица 2. Исходные данные для оценивания в условиях неопределенности
Здесь i – идентификатор системы (операции), - состояние внешней среды, - эффективность системы i для состояния внешней среды . Для оценивания альтернатив в теории принятия решения используются различные критерии. К числу наиболее часто используемых относятся критерии: среднего выигрыша; лапласа; осторожного наблюдателя (критерий Вальда); максимакса; пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица); минимального риска (критерий Сэвиджа). Критерии основаны на разных презумпциях, поэтому выбор того или иного во многом определяется субъективными предпочтениями аналитика или ЛПР. Поясним сказанное на примере применения двух из вышеназванных критериев. Пусть необходимо оценить пять программных продуктов для защиты от вирусных атак. Известны значения эффективности применения каждой программы по отражению каждого вида атак, общее число видов атак равно 4 (Таблица 3). Таблица 3. Данные для примера оценивания
Каждая i-ая строка таблицы содержит значения эффективности применения i-ой программы, i=1,..5, для всех видов вирусов, а каждый j-ый столбец - значения эффективности применения для борьбы с j-ым вирусом, j=1,…4, всех программ. Для определения наилучшего варианта (в данном случае, антивирусной программы) в первых пяти вышеперечисленных критериях используется правило, в соответствии с которым для этого наилучшего варианта должно выполняться:  ,где - значение обобщенного критерия эффективности применения i-ой программы. Вместе с тем, каждый из этих критериев использует свое правило для нахождения этого значения. В частности, согласно критерию Вальда значения критерия для каждого i-го варианта находятся как минимально возможные значения критерия для всех вариантов j-ой обстановки (что объясняет причину второго названия критерия – осторожного наблюдателя):  ,В нашем примере минимальная эффективность применения каждой из программ для всех вирусов будет соответственно:  ;  ; ;  ;  .Таким образом, по критерию Вальда следует считать наилучшей пятую программу как имеющую наибольшее значение критерия из всей совокупности. Смысл критерия Сэвиджа состоит в выборе варианта, минимизирующегопотериэффективности при наихудших условиях. Для оценки систем на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.  .В нашем примере для матрицы потерь имеем (значения максимумов по столбцам  равны соответственно 0,5; 0,4; 0,5; 0,3):
По матрице потерь определяются значения критерия как:  .Для нашего примера: ;  ;  ; ;  .Очевидно, что целесообразно выбирать тот вариант системы, который обеспечит минимум потерь, т.е., для которого:  .В нашем случае минимальные потери должны быть в случае выбора первой программы, для которой . Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, относится к числу осторожных критериев. Выводы: 1. Если для оценивания вариантов принимаемых решений используются показатели качества, значение которых можно выразить количественно, применяются специальные методы оценивания. Методы могут использовать как частные, так и обобщенные показатели качества оцениваемой системы. Обобщенные показатели качества получаются из частных на основе применения специальных правил и процедур. 2. Для решения задачи выбора наилучшего варианта решения из имеющегося множества показатели обычно нормализуются, что дает возможность их сопоставимости за счет устранения размерности и установления одинаковых областей изменения. 3. Выбору наилучшего решения из множества возможных обычно предшествует нахождение множества Парето, что позволяет значительно уменьшить трудоемкость процедуры. 4. Наиболее употребительным подходом к выбору наилучшего решения является подход на основе свертки частных показателей. Он позволяет применить один из математических методов оптимизации или формальных критериев оценивания. 5. Выбор критерия и метода количественного оценивания определяется условиями функционирования оцениваемой системы и наличием информации относительно окружающей среды и возможного поведения системы. Условия подразделяются на условия определенности, риска и неопределенности, для каждого вида условий разработаны свои методы решения задачи. Вопросы для самопроверки: 1. Что такое «показатель», какие типы показателей существуют? 2. Что называется частным показателем качества системы? 3. Что такое обобщенный показатель, как можно осуществить переход к обобщенному показателю? 4. Зачем требуется нормирование показателей, какие правила для этого могут применяться? 5. Какие существуют критерии оценивания качества системы? 6. Что собой представляет и зачем необходима свертка показателей?? 7. Из каких основных этапов состоит процедура свертки? 8. Как определяется аддитивный критерий свертки? 9. Как определяется мультипликативный критерий свертки? 10. В чем заключаются преимущества и недостатки аддитивного и мультипликативного критериев свертки? 11. Что такое множество Парето и как оно используется в оценивании альтернатив? 12. Какими условиями функционирования систем определяется выбор подхода к оцениванию? 13. Что может приниматься в качестве критерия выбора наилучшей альтернативы в условиях риска? 14. Какие существуют методы выбора наилучшей альтернативы в условиях неопределенности? 15. В чем состоит сущность критерия Вальда? 16. В чем состоит сущность критерия Сэвиджа? Литература по теме: Основная литература: 1. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: справочник/ ред. В. Н. Волкова и А. А. Емельянов. – М.: Финансы и статистика, 2009. - 848с Дополнительная литература: 1. Анфилатов В. С. Системный анализ в управлении: учебное пособие/ Анфилатов В. С., Емельянов В. С., Кукушкин А. А. – М.: Финансы и статистика, 2009. - 368с. |
