Фатыхов М.А. Лекции по механикe. Министерство образования и науки
 Скачать 3.22 Mb.
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| |
| Рис.9.2. Линии тока проводятся так, чтобы вектор скорости в каждой точке пространства был направлен по касательной к соответствующей линии |
| | Рис.9.3 |
Так как жидкость несжимаема, то за одно и то же время через эти сечения пройдут равные объемы жидкости, а следовательно, и одинаковые массы жидкости:, где – перемещения сечений , или , т.е. .
Так как это равенство справедливо для любой пары произвольно взятых сечений, имеем
(9.4)
Следовательно, для несжимаемой жидкости при стационарном течении произведение площади поперечной трубки на скорость течения жидкости в любом сечении трубки тока есть величина постоянная.
Соотношение (9.4) называется уравнением неразрывности струи. Оно справедливо и к реальным жидкостям, и даже к газам в том случае, когда их сжимаемостью можно пренебречь. Это уравнение показывает, что:
– в меньших сечениях, где скорость больше, и линии тока будут гуще;
– при изменяющемся сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением.
Формула (9.4) справедлива и для всякой реальной трубы, для русла реки и т.п. Например, скорость течения на узких участках речного русла больше, чем на широких и глубоких; скорость воды в струе, вырывающейся из брандспойта, больше, чем в шланге и т.п.
5. Уравнение Бернулли
Рассмотрим наклонную трубку переменного сечения (или реальную трубу), по которой движется идеальная несжимаемая жидкость в направлении справа налево. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями, и в которых скорости течения равны соответственно и (рис. 9.5). Пусть и – давления, оказываемые на сечения жидкостью вне элемента, и – отмеряемые от некоторого горизонтального уровня высоты, на которых находятся сечения, – плотность жидкости.
| |
Рис. 9.4
Определим изменение полной энергии, происходящее в выделенной области за малый промежуток времени .
Полная энергия выделенного элемента трубки складывается из кинетической энергии и из потенциальной энергии, обусловленной силами тяжести. При течении жидкости эта энергия изменяется. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии рассматриваемого элемента должно быть равно работе внешних сил, действующих на этот элемент.
За малый промежуток времени рассматриваемый элемент жидкости 1-2 переместится по трубке. Его границы займут положения 1ґ и 2ґ. Сечение 1 переместится на расстояние , сечение 2 – на расстояние . Так как поток стационарный, то энергия части элемента между сечениями 1ґ и 2ґ остается неизменной. Объем жидкости, прошедший за время через сечение 1, равен Масса этой части жидкости . Аналогично, часть жидкости, находящаяся между сечениями 2 и 2ґ, имеет объем и массу . Согласно уравнению неразрывности и, в случае несжимаемой жидкости, .
Потенциальная энергия частиц жидкости, находящаяся между сечениями 1 и 1ґ, равна .
Кинетическая энергия этих частиц .
Аналогично, потенциальная и кинетическая энергии частиц жидкости, находящиеся между сечениями 2 и 2ґ, равны и .
Тогда изменение полной энергии всего рассматриваемого элемента жидкости будет
(9.5)
Силы давления на стенки трубки тока перпендикулярны в каждой точке направлению перемещения жидкости, вследствие чего работы не совершают.
В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина энергии должна равняться работе внешних сил (давления) по перемещению массы :
(9.6)
Определим эту работу. Внешняя сила давления совершает работу по перемещению втекающей массы на пути , в то же время вытекающая масса совершает работу против внешней силы давления на пути . Поэтому искомая работа .
Так как , имеем
(9.7)
Приравнивая выражения (9.5) и (9.7), сокращая на и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим
(9.8)
Так как сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, то для любого сечения данной трубки тока должно быть
(9.9)
Это уравнение называется уравнением Бернулли (выведено в 1738 г.) для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости.
Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости, второе – удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести, третье – удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления. Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной) и формулируется так:
при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной величиной на любом поперечном сечении потока.
Как видно из уравнения (9.9), все члены его левой части можно рассматривать как величины давления. Величину называют статическим давлением, величину – динамическим давлением, величину – гидравлическим давлением. Следовательно, уравнению Бернулли можно дать ещё такую формулировку:
в установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление, слагающееся из динамического, гидравлического и статического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.
Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкостей и газов, имеющим большое прикладное значение. Приведем несколько примеров.
1. Пусть скорости частиц жидкости в сечениях 1 и 2 трубки тока равны между собой. Тогда из уравнений (9.9) следует, что для этих сечений , т.е. разность давлений как и в покоящейся жидкости определяется разностью высот.
2. Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли принимает вид: .
Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а давление понижается.
Поток воздуха проходит по трубке с переменным сечением. У открытого широкого конца трубки давление выходящего воздуха становится равным атмосферному. В более узких сечениях давление меньше атмосферного. Поэтому жидкость из сосуда движется по вертикальной трубке. Это явление используется в водо- и пароструйных насосах, пульверизаторах, опрыскивателях сельскохозяйственных растений, ингаляторе и других распылителях жидкости и устройствах.
3. Гидротурбина работает за счет большого давления жидкости (но имеющего малую скорость), падающего по суживающемуся трубопроводу через сопло на лопатки рабочего колеса. При этом потенциальная энергия давления воды переходит в узком трубопроводе и сопле в кинетическую энергию, за счет которой рабочее колесо приводится во вращение.
Аналогичным образом работает и газотурбина.
4. Гидротаран. Вода движется от плотины по наклонному трубопроводу. В конце трубопровода имеется подвижная заслонка, которая может периодически быстро перекрывать трубопровод.
При каждом перекрытии потока динамическое давление в нем внезапно падает до нуля, а статическое давление резко возрастает, перегоняя часть воды по вертикальной трубе в водонапорный бак. Это устройство используется для орошения земель, водоснабжения животноводческих ферм и т.д.
5. За счет разности давлений над и под крылом, создается подъемная сила самолета. При этом вокруг движущегося крыла возникает циркуляция воздуха, направленная по часовой стрелке. Над крылом скорости циркуляции и встречного воздушного потока складываются, под крылом – вычитаются. Поэтому относительная скорость движения воздуха над крылом превышает относительную скорость под крылом.
6. Аэрация почвы. Представим себе вспаханное поле, где валы чередуются с бороздами. Пусть ветер дует перпендикулярно к направлению борозд. Ясно, что наличие неровностей скажется на характере воздушного потока: вблизи земли линии тока будут искривлены и выровняются лишь на некоторой высоте над землей. Поэтому приземный слой воздуха является своеобразной трубкой тока переменного сечения, ограниченная снизу поверхностью земли, а сверху – ближайшей горизонтальной поверхностью, образованной невозмущенными линиями тока. Тогда в соответствии с уравнениями неразрывности и Бернулли давление воздуха над бороздами будет больше, чем над валами. Поэтому в поверхностном слое почвы возникает движение почвенного воздуха, направленное от оснований борозд к вершинам валов, что обеспечивает газообмен между почвой и атмосферой. Это явление и называется аэрацией почвы. Аэрация обогащает почвенный воздух кислородом, а приземный воздух – углекислотой, тем самым создавая благоприятные условия для развития растений.
6. Вязкость
Идеальная жидкость, т.е. жидкость без внутреннего трения – абстракция. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как её перестают размешивать ложечкой.
Для выяснения закономерностей, которым обладают силы внутреннего трения, рассмотрим следующий опыт. В жидкость погружены две параллельные друг другу пластины (рис. 9.5), линейные размеры которых значительно превышают расстояние между ними. Нижняя пластина удерживается на месте, верхняя приводится в движение с некоторой скоростью . Опыт показывает, что для перемещения верхней пластины с этой скоростью необходимо действовать на неё с некоторой определенной постоянной по модулю силой . Так как пластина не получает ускорения, то действие этой силы должно уравновешиваться равной ей по модулю противоположно направленной силой, которая и есть сила внутреннего трения, действующая на пластину при её движении в жидкости. Обозначим эту силу через .
| | Рис. 9.5. |
Опыт показывает, что
, (9.10)
где – площадь пластин, – расстояние между ними, – скорость пластины, а – коэффициент пропорциональности, зависящий от природы и состояния (например, от температуры) жидкости и называемый коэффициентом внутреннего трения или просто вязкостью жидкости (газа).
Нижняя пластина при движении верхней также подвергается действию силы , равной по модулю . Для того чтобы нижняя пластина оставалась неподвижной, силу необходимо уравновесить с помощью силы .
Таким образом, при движении двух погруженных в жидкость пластин относительно друг друга между ними возникает взаимодействие, характеризуемое силой (9.10). Воздействие пластин друг на друга осуществляется через жидкость, заключенную между пластинами, передаваясь от одного слоя жидкости к другому. Если исследовать скорость частиц жидкости в разных слоях, то оказывается, что она изменяется в направлении z , перпендикулярном к пластинам, и по линейному закону
(9.11)
Частицы жидкости, непосредственно соприкасающиеся с пластинами, как бы прилипают к ним и имеют такую же скорость, как и сами пластины. Согласно формуле (9.11)
(9.12)
Тогда модуль силы внутреннего трения определится по формуле
(9.13)
Величина показывает, как быстро изменяется скорость в направлении оси z и представляет собой модуль градиента скорости.
Единицей вязкости в СИ служит паскаль-секунда (Па·с). Это такая вязкость, при которой градиент скорости с модулем равным 1 м/с на 1 м приводит к возникновению силы внутреннего трения в 1 Н на 1 м2 поверхности касания слоев.
В СГС-системе единицей вязкости является пуаз (Пз), причем 1 Па·с = 10 Пз.
Коэффициент вязкости зависит от температуры. У жидкостей коэффициент вязкости уменьшается с повышением температуры. У газов, напротив, коэффициент вязкости с температурой растет.
7. Ламинарное и турбулентное течения
Наблюдаются два вида течения жидкости (или газа): ламинарное и турбулентное. Ламинарное течение – это течение, при котором жидкость как бы разделяется на слои, которые скользят относительно друг друга не перемешиваясь. Ламинарное течение стационарно.
При увеличении скорости или поперечных размеров потока характер течения существенным образом изменяется. Возникает энергичное перемешивание жидкости. Такое течение называется турбулентным. При этом течение нестационарно, так как скорость частиц изменяется беспорядочным образом. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места введения окрашенная жидкость равномерно распределяется по всему сечению потока.
Английский физик Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины
, (9.14)
где ρ – плотность жидкости (или газа), v – средняя скорость потока (по сечению трубы), η – коэффициент вязкости жидкости, l – характерный для поперечного сечения размер, например, сторона квадрата при квадратном сечении, радиус или диаметр при круглом сечении и т.д.
Величина (9.14) называется числом Рейнольдса. При малых значениях числа Рейнольдса наблюдается ламинарное течение. Начиная с некоторого определенного значения , называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Практически критическое число Рейнольдса равно примерно 1000.
В число Рейнольдса входят две величины, зависящие от свойств жидкости: плотность и коэффициент вязкости. Отношение называется кинематической вязкостью. В отличие от неё величина называется динамической вязкостью. Используя кинематическую вязкость, числу Рейнольдса можно придать следующий вид: .
Число Рейнольдса служит важным параметром моделирования процессов, в частности при обтекании тел.
8. Течение вязкой жидкости в круглой трубе. Формула Пуазейля
Пусть по горизонтальной трубе радиуса течет стационарный поток жидкости. Рассмотрим отрезок этой трубы длиной (рис. 9.6).
| | Рис. 9.6. |
Частицы жидкости движутся вдоль трубы с разной скоростью: у самой стенки они прилипают к ней и имеют скорость равной нулю. По мере удаления от стенок скорость увеличивается и достигает максимального значения на оси трубы. Таким образом, величина скорости частиц жидкости является функцией расстояния от оси трубы.
Для доказательства этого утверждения выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса . Жидкость, находящаяся внутри цилиндра, подвергается действию сил со стороны окружающей жидкости. Обозначим через – давление жидкости у основания 1, – давление жидкости у основания 2, – площадь оснований. Так как движение частиц жидкости происходит вдоль трубы, рассмотрим силы, действующие лишь в этом направлении. На основание цилиндра действуют силы давления, величины которых и .
На боковую поверхность действует сила внутреннего трения . Так как скорость жидкости внутри цилиндра больше, чем вне его, то сила направлена в сторону, противоположную движению жидкости. Величина этой силы определяется по формуле .
Здесь знак минус поставлен потому, что скорость убывает с расстоянием от оси трубы, следовательно, отрицательна и
При стационарном течении в трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, должна быть равна нулю сумма проекций на направление оси трубы всех сил, действующих на цилиндр, т.е. .
Здесь за положительное направление принято направление движения жидкости. Подставив сюда выражения для , найдем
Разделив переменные, получим уравнение
Интегрирование дает
Постоянную интегрирования С можно найти из условия, что на стенке трубы, т.е. при скорость частиц должна обращаться в нуль. Это дает
Окончательно имеем
Отсюда видно, что при ламинарном течении скорость в зависимости от r меняется по параболическому закону и достигает максимума на оси трубы при (как это и предполагалось ранее) (рис. 9.7).
| | Рис.9.7. Профиль скоростей при ламинарном течении жидкости в круглой трубе |
При турбулентном течении остается постоянной средняя скорость в каждой точке сечения трубы (рис.9.8). Вблизи стенок трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении, а в остальной части сечения скорость изменяется меньше.
| | Рис.9.8. Профиль скоростей при турбулентном течении жидкости в круглой трубе |
Полагая течение ламинарным, вычислим поток жидкости Q , т.е. количество жидкости m, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени t:
Разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 9.9 ).
| | Рис.9.9. |
Через кольцо радиуса r пройдет за секунду объем жидкости, равный произведению плотности жидкости на площадь кольца и на скорость течения в точках, находящихся на расстоянии r от оси трубы.
Полный расход Qчерез все поперечное сечение трубы определяется суммой расходов через все кольцевые площадки, на которые может быть разбито поперечное сечение. Он равен интегралу от dQ в пределах от r=0 до r=R:
Эта формула называется формулой Пуазейля.
Из этой формулы следует, что поток жидкости сильно зависит от радиуса трубы. Кроме того, Q пропорционален отношению , т.е. перепаду давления на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости .
Формула Пуазейля используется для экспериментального определения вязкости жидкостей и газов. Для этого жидкость или газ пропускают через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q . Затем на основании известных данных вычисляют .
9. Движение тел в жидкостях и газах. Закон Стокса
При движении тела в жидкости или газе на него действуют две силы: сила , направленная в сторону, противоположную движению тела, а вторая , перпендикулярная к этому направлению. Составляющие и называются соответственно лобовым сопротивлением и подъемной силой.
Ясно, что идеальная жидкость не оказывает движению тела никакого сопротивления.
Можно показать, что в несжимаемой идеальной жидкости равномерное движение тела произвольной формы должно было бы происходить без лобового сопротивления. Этот результат называется парадоксом Даламбера.
Учет вязкости жидкости существенно меняет картину взаимодействия тела с потоком. В этом случае очень тонкий слой жидкости прилипает к поверхности тела и движется с ним как одно целое, увлекая за собой из-за трения последующие слои. По мере удаления от поверхности тела скорость слоев становится все меньше и, наконец, на некотором расстоянии от поверхности оказывается практически не возмущенной движением тела. Таким образом, тело оказывается окруженным слоем жидкости, в котором имеется градиент скорости. Этот слой называется пограничным. В нем действуют силы трения, которые и приводят к возникновению лобового сопротивления.
Наличие пограничного слоя существенно меняет характер обтекания тела жидкостью. Полное обтекание тела становится невозможным. Действие сил трения в поверхностном слое приводит к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри. Вихри уносятся потоком и постепенно затухают вследствие трения. При этом энергия вихрей расходуется на нагревание жидкости. Давление в образующейся за телом вихревой области оказывается пониженным. Поэтому результирующая сил давления будет отлична от нуля. Это давление в свою очередь обуславливает лобовое сопротивление.
Таким образом, лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления.
При малых числах Рейнольдса сопротивление среды обусловлено практически только силами трения. Стокс установил, что сила сопротивления в этом случае пропорциональна коэффициенту динамической вязкости , скорости движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела : . Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Чаще всего его определяют экспериментальным путем. Вычисления Стокса показали, что для шара коэффициент пропорциональности оказывается равным . Тогда сила лобового сопротивления для шара радиуса при <<1 выражается формулой .
Эта формула известна под названием закона Стокса. Она может быть использована для нахождения вязкости.
При больших числах Рейнольдса влияние вязкости существенно лишь в тонком пограничном слое жидкости, прилегающем к поверхности тела. Как уже было отмечено, это влияние приводит к образованию вихрей сзади тела. Перед телом частицы жидкости в набегающем потоке практически останавливаются, движутся они только за телом. Поэтому, согласно уравнению Бернулли, создается разность давлений, действующих на переднюю и заднюю р поверхности тела. Она равна .
Таким образом, сила лобового сопротивления определяется силой сопротивления давления: .
Для тел произвольной формы сила лобового сопротивления представляет вид , где – наибольшая площадь поперечного сечения тела, С – коэффициент лобового сопротивления.
Величина С зависит от формы тела и числа Рейнольдса. Величина С уменьшается, если уменьшить площадь поперечного сечения тела в том месте, где происходит отрыв потока. Обтекаемые тела испытывают значительно меньшее сопротивление, чем тела с тупой задней частью, так как у первых отрыв потока происходит в задней узкой части тела.
10. Истечение жидкости из отверстия
Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде (рис. 9.10).
Рис. 9.10.
В жидкости мысленно выделим трубку тока, сечениями которой являются открытая поверхность жидкости и сечение струи при выходе из отверстия (если не принять специальных мер, то сечение струи будет меньше отверстия). Для всех точек каждого из этих сечений скорость жидкости и высоту hнад некоторым исходным уровнем можно считать одинаковыми. Поэтому к данным сечениям можно применить теорему Бернулли. Давления и в обоих сечениях одинаковы и равны атмосферному. Скоростью перемещения открытой поверхности жидкости ввиду ее малости можно пренебречь. Обозначим через v–скорость жидкости в сечении(скорость истечения из отверстия). Поэтому уравнение Бернулли в данном случае упрощается следующим образом: .
Сократив на плотность жидкости , можно написать, что
(9.15)
где – высота открытой поверхности над отверстием.
Формула (9.15) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличатся от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.
Контрольные вопросы
Что такое давление в жидкости? Давление – величина векторная или скалярная? Какова единица измерения давления в СИ?
Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда?
Что называют линией тока? трубкой тока?
Что характерно для установившегося течения жидкости?
Каков физический смысл и как вывести уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости?
Какой закон выражает уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости? Выведите это уравнение.
Что такое градиент скорости?
Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?
Какое течение называют ламинарным? Турбулентным? Что характеризует число Рейнольдса?
Поясните практическое применение методов Стокса и Пуазейля?
Каковы причины возникновения лобового сопротивления тела, движущегося в жидкости? Может ли оно быть равным нулю?
Как объяснить возникновение подъемной силы?
Найти выражение потенциальной энергии тела, погруженного в жидкость.
Найти зависимость выталкивающей силы Архимеда от глубины погружения.
Сосуд с жидкостью падает с ускорением . Как меняется давление с изменением глубины?
Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?
Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?
Лекция №10. Движение в неинерциальных системах отсчета
1. Неинерциальные системы отсчета
Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона несправедливы. Эту несправедливость можно обнаружить на примере тела, покоящегося в некоторой инерциальной системе. В этом случае тело не испытывает действия сил . Однако в неинерциальной системе, движущейся по отношению к инерциальным системам с ускорением, тело будет иметь ускорение а, отличное от нуля. Поскольку , равенство не соблюдается.
Рассмотрим две системы отсчета (рис.10.1), из которых система К является инерциальной, а система К' движется относительно К с некоторым ускорением и, следовательно, неинерциальна.
| | Рис.10.1. |
Движение частицы относительно системы К характеризуется радиус-вектором , а относительно системы К' – радиус-вектором , а вектор определяет положение начала координат системы К' относительно системы К.
Эти радиус-векторы связаны соотношением
Дифференцировав это соотношение дважды по времени, получим равенство
(10.1)
Первая производная в (10.1) дает ускорение частицы а в системе К, вторая – ускорение начала О' системы К' относительно системы К.
С производной дело обстоит сложнее: если система К' в дополнение к поступательному движению еще и вращается с угловой скоростью , то эта производная, кроме ускорения а' частицы в системе К', содержит слагаемые, в которые входят множителями либо , либо . Это обусловлено тем, что в (10.1) представляет собой производную, вычисленную наблюдателем, находящимся в системе К. А а' есть вторая производная , вычисленная наблюдателем, который вращается вместе с системой К'. Вектор ведет себя в обеих системах по-разному.
В случае, когда система К' движется относительно К поступательно (т.е. ), = а' и соотношение (10.1) можно представить в виде
(10.2)
2. Силы инерции
-121
Умножим равенство (10.2) на массу частицы m: .
Здесь произведение есть сила , с которой действуют на частицу другие тела согласно второму закону Ньютона. В результате получим уравнение
(10.2)
Отсюда видно, что относительно системы К' частица ведет себя так, как если бы кроме «реальной» силы F на нее действовала дополнительная «фиктивная» сила . Эта сила называется силой инерции. Обозначим ее как. Фиктивность силы инерции надо понимать в том смысле, что не существует тел, воздействием которых была бы обусловлена эта сила. У нее нет «партнера», т.е. второй силы, предписываемой третьим законом Ньютона. Сила инерции обусловлена свойствами (неинерциальностью) той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления.
Напишем уравнение (10.2) следующим образом:
(10.3)
Это уравнение справедливо в неинерциальной системе отсчета. По форме оно аналогично уравнению второго закона Ньютона. Следовательно, введение сил инерции позволяет описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения. В этом заключается смысл введения сил инерции.
Каждый, кто пользуется городским транспортом, испытывал на себе действие сил инерции. Так, при резком торможении автобуса или трамвая пассажиры испытывают силу, толкающую их вперед; стоящие вблизи стекла, ограждающего кабину водителя, могут при этом под действием «фиктивной» силы инерции набить себе вполне реальную шишку.
Введение сил инерции не является совершенно необходимым. Любое движение можно рассмотреть по отношению к инерциальной (например, гелиоцентрической) системе отсчета. Однако на практике часто представляет интерес именно движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета (например, по отношению к Земле). Использование сил инерции позволяет решить соответствующую задачу непосредственно в такой системе отсчета, что часто бывает намного проще, чем решение в инерциальной системе.
Характерной особенностью сил инерции является их пропорциональность массе тела. В этом отношении силы инерции сходны с гравитационными силами. Представим себе, что мы находимся в закрытой кабине, а кабина движется вверх относительно инерциальных систем с постоянным ускорением в направлении. Тогда всякое тело внутри кабины будет вести себя так, как если бы на него действовала сила инерции . В частности, пружина, к концу которой подвешено тело массой m, растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции. Однако такие же явления наблюдались бы и в том случае, если бы кабина была неподвижной, а под ней находилась Земля. Не имея возможности «выглянуть» из кабины, никакими опытами, проводимыми внутри кабины, мы не могли бы определить, чем обусловлена сила – ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли. Основываясь на это утверждение, говорят об эквивалентности сил инерции и сил тяготения. Эта эквивалентность Эйнштейном была положена в основу общей теории относительности.
3. Силы инерции при ускоренном поступательном движении
системы отсчета
Пусть на потолке вагона на нити висит шарик массой m. Пока вагон покоится и движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение. При этом сила тяжести уравновешивается реакцией нити.
Если вагон поезда набирает скорость, то нить отклонится от вертикали назад (рис. 10.3).
| | Рис.10.3 |
Обозначим ускорение поезда . Относительно Земли (которую мы считаем инерциальной системой отсчета) шарик имеет такое же ускорение , как и вагон. Это ускорение сообщается шарику силой . Она равна сумме силы натяжения нити Т и силы тяжести , т.е. . Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущимся вагоном, шарик покоится. Отсутствие ускорения шарика относительно вагона можно объяснить тем, что сила уравновешивается силой инерции, равной (), так как на шарик никакие друге силы не действуют.
Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону, и пассажир отделяется от спинки сиденья. Силы инерции особенно заметны при внезапных торможениях поезда. Они проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.
123
4. Силы инерции при равномерном вращательном
движении системы отсчета. Центробежная сила инерции
Рассмотрим поведение тел в системе отсчета К', вращающейся относительно инерциальной системы К с постоянной угловой скоростью : в системе отчета К' поступательная составляющая движения отсутствует. Ясно, что она неинерциальна. Примером рассматриваемого движения может служить система, связанная с вращающимся диском электропроигрывателя.
Укрепим на диске радиально направленный стержень, на который наденем шарик, «привязанный» к оси диска пружиной (рис. 10.4).
| | Рис. 10.4. Шарик может перемещаться только вдоль радиуса диска, скользя без трения по тонкому стержню |
Пока диск не вращается, пружина не деформирована. При раскручивании диска шарик растягивает пружину до тех пор, пока упругая сила не станет равной произведению массы шарика на его ускорение. Обозначим через – радиус – вектор, проведенный к шарику от центра диска и перпендикулярно к оси вращения. Его модуль дает расстояние R шарика от оси вращения системы К'. Так как шарик движется от центра и вдоль радиуса окружности вместе с равномерно вращающимся диском, ускорение шарика равно по модулю центростремительному ускорению и направлено противоположно ему:
(10.4)
Таким образом, при вращении диска
(10.5)
Относительно системы отсчета К', связанной с диском, шарик покоится. Формально это можно объяснить тем, что в данной системе кроме силы на шарик действует сила инерции
, (10.6)
направленная вдоль радиуса от оси вращения диска.
Определяемая выражением (10.6) сила называется центробежной силой инерции. Она возникает во вращающихся системах отсчета и не зависит от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее со скоростью. Это следует из того, что скорость не входит в формулу (10.6).
Земля подобна гигантскому вращающемуся шару. Поэтому, рассматривая поведение тел в системе отсчета, связанного с Землей, при точных расчетах нужно учитывать центробежную силу инерции. Эта сила максимальна на экваторе. За сутки, т.е. за 86400 с, Земля поворачивается на угол 2 л. Следовательно, угловая скорость Земли = 2л : 86400 = 7,27 • 10-5рад/с.
Согласно формуле (10.6) модуль центробежной силы инерции, действующей на экваторе на тело массой 1 кг, равен Fцб = 1,00·(7,27·10-5)2·6,38·10б = 0,0337 Н, что составляет 1/291 часть силы тяжести mg, равной 9,81 Н. Отсюда следует, что при рассмотрении движения тел относительно Земли в ряде случаев центробежной силой инерции можно пренебречь.
Влияние центробежной силы наиболее существенно на вес тела. С целью изучения проявления данного эффекта рассмотрим тело массой m, находящееся вблизи поверхности Земли на широте (рис.10.5). Ускорение свободного падения g есть ускорение тела относительно Земли, т.е. ускорение во вращающейся системе отсчета. В этой системе кроме гравитационной силы Fg, с которой Земля притягивает тело, нужно учитывать и центробежную силу инерции.
| | Рис.10.5. |
Сила тяжести тg является результирующей сил Fg и , т.е. .
Как видно из рисунка, тело отстоит от оси вращения на расстоянии . Тогда величина центробежной силы равно .
Направление силы mg совпадает с направлением нити, натянутой грузом, которое называется направлением отвеса или вертикальным направлением. Из рис. 10.5 видно, что направление отвеса не совпадает с направлением к центру Земли, образуя с ним угол . Для определения этого угла воспользуемся теоремой синусов, согласно которой отношение сторон треугольника равно отношению синусов противолежащих этим сторонам углов. Углу противолежит сторона треугольника, длина которой численно равна , углу – сторона, длина которой численно равно тg. Следовательно, .
Отсюда следует, что . Подставляя известные значения = 2л : 86400 = 7,27 • 10-5рад/с, , получим (10.7)
Из (10.7) следует, что отклонение отвеса равно нулю на экваторе, где , и на полюсах, где =90°, а на широте= 45° равно 0,0018 рад или 6'. Разность Fg – mg равна нулю на полюсах и достигает максимума, равного 0,3% силы тg, на экваторе. Из-за сплюснутости Земли сила Ре сама по себе изменяется с широтой, будучи на полюсах на 0,2 % больше, чем на экваторе. В итоге ускорение свободного падения изменяется с широтой от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Значение g = 9,80665 м/с2 принято в качестве нормального (стандартного) значения.
5. Сила Кориолиса
Рассмотрим тела, неподвижные относительно вращающейся системы отсчета. При движении тела кроме центробежной возникает еще одна сила инерции, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой.
Возьмем горизонтально расположенный диск, вращающийся относительно инерциальной системы отсчета (которую мы для краткости будем называть неподвижной) с постоянной угловой скоростью (рис.10.6). Допустим, что по окружности радиуса R равномерно движется привязанная нитью к оси диска материальная точка (частица) со скоростью v' относительно диска.
| | |
| Рис.10.6. Справа от дисков показаны направления скоростей, под диском – направления сил: а – совпадают, б – противоположны. | |
Линейная скорость точек окружности равна . В случае, изображенном на рис. 10.6 а, скорость v частицы относительно неподвижной системы имеет модуль, равный '. Обозначим через – нормаль к скорости, направленной вдоль нити. Поэтому ускорение частицы в неподвижной системе равно
(10.8)
Здесь – ускорение частицы относительно диска, т.е. во вращающейся системе отсчета.
Умножим левую и правую части выражения (10.8) на массу частицы m. В силу предыдущего обозначения ускорения получим
(10.9)
Очевидно, первое выражение в (10.9) есть сила натяжения нити F. Отсюда
(10.10)
Из формулы (10.10) следует, что наблюдатель, «живущий» на диске, должен заключить, что кроме «реальной» силы F на частицу действуют две дополнительные силы, направленные от оси вращения. Первая из них – центробежная сила инерции. Сила, определяемая по последнему выражению (10.10), и есть сила Кориолиса Fk. С учетом направления сил и векторов физических величин, входящих в формулу этой силы, ее можно представить в виде
(10.11)
Мы получили формулу (10.11) для случая, когда скорость частицы направлена по касательной к окружности с центром на оси вращения системы К'. Можно показать, что эта формула определяет силу Кориолиса при любом направлении скорости v' по отношению к оси вращения. Из формулы следует, что в случае, когда частица движется в неинерциальной системе параллельно оси вращения (v' коллинеарна с ), сила Кориолиса не возникает.
Из формулы (10.11) вытекает, что:
1) сила Кориолиса перпендикулярна вектору , т.е. всегда лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения системы отсчета;
2) сила Кориолиса перпендикулярна скорости v' и, следовательно, работы над частицей не совершает. Эта сила может изменить только направление скорости v', но не ее модуль.
Сила Кориолиса действует на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета, например, относительно земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на земле явлений. В частности, на рис. 10.7 показано воздействие, которое оказывает сила Кориолиса на движение тел вблизи земной поверхности. При свободном падении сила Кориолиса отклоняет тела к востоку. Это отклонение пропорционально синусу широты местности и, следовательно, максимально на экваторе и равно нулю на полюсах. При падении на экваторе с высоты 30 м (примерно такова высота десятиэтажного дома) отклонение составляет 3,6 мм.
Силу Кориолиса необходимо учитывать при стрельбе на дальние расстояния и вводить соответствующую поправку. При выстреле из орудия, направленного на север, снаряд будет отклоняться к востоку в северном полушарии и к западу – в южном (рис. 10.7б). При выстреле вдоль меридиана на юг направления отклонения будут противоположными. При стрельбе вдоль экватора сила Кориолиса приподнимает снаряд кверху, если выстрел произведен в направлении на восток, и прижимает снаряд к Земле, если выстрел произведен в западном направлении (рис. 10.7а).
| Рис. 10.7. Влияние силы Кориолиса на движение тел вблизи земной поверхности |
На рис. 10.7б видно, что сила Кориолиса, действующая на тело, движущееся вдоль меридиана в любом направлении (на север или на юг), направлена по отношению к направлению движения вправо в северном полушарии и влево в южном полушарии. Это приводит к тому, что у рек подмывается всегда правый берег в северном полушарии и левый берег в южном полушарии. Действием силы Кориолиса объясняется также неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении – в северном полушарии сильнее изнашивается правый рельс, в южном полушарии – левый. Убедительным доказательством суточного вращения Земли является вызываемый действием силы Кориолиса поворот плоскости колебаний маятника. Соответствующий опыт был впервые осуществлен Фуко в 1851 г. в Париже с маятником длиной 67 м. Маятники, предназначенные для демонстрации вращения Земли, называются маятниками Фуко. Такой маятник длиной 98 м имеется в Ленинграде в Исаакиевском соборе.
На рис. 10.8 показан маятник, находящийся на Северном полюсе. Сила Кориолиса все время направлена вправо по ходу маятника (на южном полюсе она направлена влево). Плоскость качаний маятника поворачивается относительно Земли по часовой стрелке, совершая за сутки один оборот. Относительно гелиоцентрической системы отсчета плоскость качаний неподвижна, а Земля поворачивается против часовой стрелки, делая за сутки один оборот.
| | Рис.10.8. Качание маятника, находящегося на Северном полюсе: a – общий вид; б – траектория груза маятника (вид сверху). Стрелка показывает направление поворота плоскости качаний маятника относительно Земли; вектор – угловая скорость Земли, v' – скорость груза маятника относительно Земли |