Практикум по дисциплине цифровая обработка сигналов лабораторная работа 2 моделирование детерминированных и

• Название: Практикум по дисциплине цифровая обработка сигналов лабораторная работа 2 моделирование детерминированных и
• Дата: 23.10.2019
• Размер: 464.61 Kb.
• Имя файла: edufiles_91197.docx
• Тип: Практикум; #91461
• страница: 2 из 2

Приложение 1.

Дискретные сигналы

В теории ЦОС принято разделять операции дискретизации по времени и квантования по уровню. Полагая операцию квантования отсутствующей, изучают дискретные сигналы и линейные дискретные системы (ДЦС), а затем, отдельно, – эффекты нелинейной операции квантования.

Дискретным называют сигнал, дискретный по времени и непрерывный по состоянию (уровню), который описывается последовательностью чисел бесконечной разности или , называемой коротко последовательностью. Значения ,=0,1,..., называют дискретным временем, где Т– период дискретизации, а п–дискретным нормированным временем.

В теории ЦОС термины "дискретный сигнал" и "последовательность" употребляют в тождественном смысле.

Цифровым называют сигнал, дискретный по времени и квантованный по состоянию (уровню), который описывается последовательностью чисел конечной разрядности–квантованной последовательностью или

При компьютерном моделировании под дискретным сигналом условно понимают последовательность чисел максимально возможной разрядности, а под цифровым– последовательность чисел заданной разрядности.

ВMATLAB числа с максимальной разрядностью относятся к типу double¹, который выбирается по умолчанию (см. табл. 1).

1. Детерминированные дискретные сигналы

Детерминированным дискретным сигналом называют сигнал, значения которого в любой момент времени (или ) заранее известны или могут быть определены точно по заданной математической модели.

Детерминированный дискретный сигнал описывается последовательностью или , при этом термин "детерминированный" принято опускать.

Для детерминированного дискретного сигнала (последовательности) представляют интерес такие его характеристики, как среднее значение, энергия, средняя мощность, автокорреляционная и автоковариационная функции.

Средним значением последовательности называют сумму ее значений, отнесенную к длине.

Энергией последовательности называют сумму квадратов ее значений, а средней мощностью – энергию, отнесенную к длине последовательности.

В MATLABсреднее значением вычисляется с помощью функции:

М = mean (х),

где х – вектор отсчетов последовательности.

Энергия е и средняя мощность рвычисляются согласно их определению:

Е = sum(x.^2)

Р = sum(x.^2)/length(х)

где length(х) – длина последовательности.

Автокорреляционная функция (АКФ²) последовательности длины позволяет оценить зависимость между ее отсчетами при различных сдвигах по времени :

_{,. 1515\* MERGEFORMAT ()}

Автоковариационная функция позволяет оценить зависимость между отклонениями отсчетов последовательности от среднего значения при различных сдвигах по времени :

_{,. 1616\* MERGEFORMAT ()}

Согласно определению, 15 и 16являются четными функциями длины, центрированными относительно:

При этом в точке имеем:

<sub>1717\* MERGEFORMAT ()

, 1818\* MERGEFORMAT ()</sub>

где и – средняя мощность и дисперсия последовательности . Очевидно, что при получаем равенства:

;

.

В MATLAB АКФ и автоковариационная функция рассчитываются с помощью функций (без учета множителя):

R = xcorr(x)

r = xcov(x)

где х –вектор отсчетов исходной последовательности длины; и –векторы длины значений АКФ и автоковариационной функции, соответственно, центрированных относительно:

, ; 5

, . 1919\* MERGEFORMAT ()

При этом в точке имеем:

; 2020\* MERGEFORMAT ()

_{2121\* MERGEFORMAT ()}

Для вывода графика АКФ. центрированного относительно, следует выбрать интервал.

2. Случайные дискретные сигналы

Случайным (стохастическим) дискретным сигналом называют сигнал, значения которого в дискретные моменты времени (или ) заранее неизвестны и могут быть определены лишь с некоторой вероятностью.

Случайный дискретный сигнал описывается совокупностью случайных последовательностей, , , и закономерностями, характеризующими свойства совокупности.

Описание случайного дискретного сигнала удобно представить в виде матрицы X:

.

Ансамблем реализаций называют совокупность случайных последовательностей(строки матрицы X), а реализацией– одну из последовательностей.

Любая реализация случайного сигнала представляет собой детерминированный сигнал.

В большинстве случаев в качестве закономерностей, характеризующих свойства дискретного случайного сигнала X, ограничиваются одномерной и двумерной плотностями вероятности.

Одномерная плотность вероятности случайного дискретного сигнала, где– значения случайного сигнала X в моменты времени , позволяет посредством статистического усреднения³при достаточно большом (теоретически) определить следующие статистические характеристики случайного дискретного сигнала:

• 
  математическое ожидание – средние значения элементов столбца в моменты времени , ;
  
• 
  дисперсию– средние значения квадратов разностей между элементами столбца и его средним значением моменты времени, .
  

Двумерная плотность вероятности случайного дискретного сигнала , где, – значения сигнала X в моменты времени и позволяет посредством статистического усреднения определить дополнительные статистические характеристики случайного дискретного сигнала:

• 
  АКФ– АКФ 15, где последовательностисоответствует усредненная по ансамблю последовательность , ;
  
• 
  автоковариационную функцию– автоковариационная функция 16, где значению ц_л. соответствует среднее значение ц_х(и) –константа.
  

Случайный дискретный сигнал X называют стационарным в широком смысле (стационарным по Хинчину), если его одномерная плотность вероятности не зависит от времени , а двумерная – зависит только от сдвига по времени . Случайныйдискретный сигнал X называют стационарным в узком смысле (строго стационарным), если сказанное справедливо для его любой -мерной плотности вероятности.

Таким образом, сигнал, стационарный в узком смысле, всегда стационарен в широком смысле, но не наоборот.

По умолчанию под стационарностью случайного дискретного сигнала будем подразумевать его стационарность в широком смысле.

Следствием стационарности случайного дискретного сигнала будет независимость от времени его статистических характеристик: математического ожидания и дисперсии . При этом АКФ и автоковариационная функция будут зависеть только от сдвига по времени.

Иными словами, статистические характеристики стационарного случайного дискретного сигнала обладают свойством инвариантности⁴во времени.

Соответственно, статистические характеристики нестационарного случайного дискретного сигнала будут зависеть от времени п (не обладают свойством инвариантности во времени).

В теории ЦОС понятие ансамбля реализаций широко используется как удобная ма­тематическая концепция при выводе многих соотношений. Однако на практике при обработке сигналов, как правило, доступна для наблюдения лишь одна реализация случайного дискретного сигнала.

Стационарный случайный дискретный сигнал называется эргодическим, если при определении его статистических характеристик усреднение по ансамблю реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации, теоретически бесконечной длины.

Эргодический случайный дискретный сигнал–случайная последовательность х(п)– описывается математическим ожиданием (средним значением) , дисперсией, АКФ и автоковариационной функцией . С их определением при можно познакомиться в [2–3].

При конечной длине N последовательности говорят о вычислении их оценок:

;

.

Оценки АКФ и автоковариационной функции получают соответственно по формулам 15 и 16.

Очевидно, что статистические характеристики эргодического случайного дискретного сигнала, по определению стационарного, обладают свойством инвариантности во времени.

При обработке случайного сигнала в реальном времени его статистическая модель может быть заранее не определена. В этом случае принято говорить о текущихоценках статистических характеристик, , , на интервале.

Далее по умолчанию будем подразумевать эргодические случайные дискретные сигналы.

В MATLAB для вычисления оценок математического ожидания М и дисперсии D используются функции:

М = mean (х)

D = var(x)

где х – вектор отсчетов исходной последовательности длины N .

При моделировании методов и алгоритмов ЦОС часто используют случайные последовательности в виде белого шума. Две его широко применяемые разновидности генерируются в MATLAB (см. табл. 2.1):

• 
  равномерный белый шум – последовательность случайных чисел из диапазона [0; 1], распределенных по равномерному закону (математическое ожидание – 0,5 и дисперсия – 1/12) – с помощью функции:
  

х = rand(l,N),

где х – вектор-строка отсчетов случайной последовательности длины N.

Автоковариационная функция данного равномерного белого шума приимеет вид цифрового единичного импульса.

• 
  нормальный белый шум – последовательность случайных чисел, распределенных по нормальному закону (математическое ожидание – 0 и дисперсия – 1) – с помощью функции:
  

х = randn(l,N)

АКФ данного нормального белого шума при имеет вид цифрового единичного импульса.

Для моделирования нормального белого шума с заданными математическим ожиданием (средним значением) и дисперсией воспользуемся свойствами дисперсий и математического ожиданияслучайной величины:

;

;

;

,

где , – константы.

Таким образом, на основе случайной величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией можно получить случайную величину:

2222\* MERGEFORMAT ()

с математическим ожиданием и дисперсией.

1^ С плавающей точкой двойной точности (double-precisionfloatingpoint)

2^ В англоязычной литературе – аббревиатура ACF (AutocorrelationFunction).

3^ Под статистическим усреднением понимают усреднение по ансамблю реализаций в фиксированный момент времени п.

4^Неизменности