Программа и контрольные задания по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика для студентовзаочников

• Название: Программа и контрольные задания по дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика для студентовзаочников
• Дата: 15.03.2023
• Размер: 400.14 Kb.
• Имя файла: TVi_MS_2020_g.docx
• Тип: Программа; #990304
• страница: 3 из 24

4.5. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника?

4.6. На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а = 6см, случайно падает монета радиуса r = 2см. Какова вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата?

4.7. На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤ 3у ≤ 3х?

4.8. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0, 1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

4.9. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает двух. Какова вероятность того, что произведение х у будет не больше 1, а частное у/х не больше двух?

4.10. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает единицы. Какова вероятность того, что сумма х + у будет не превышает 1, а произведение х · у не меньше 0,09?

4.11. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 и 5 см. Какова вероятность того, что точка брошенная наудачу в больший круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?

4.12. На перекрестке установлен светофор, в котором в течение 25 секунд горит зеленый свет, 19 секунд горит красный свет, а в промежутках между ними в течение 3 секунд – желтый свет. Какова вероятность того, что автомобиль, случайно подъехавший к перекрестку, проедет его без остановки?

4.13. Внутри эллипса расположен круг

x² + y² = 9. Какова вероятность того, что точка попадет в кольцо, образованное эллипсом и кругом?

4.14. В квадрат с вершинами в точках О(0, 0), К(0, 1),

L(1, 1), М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству ?

4.15. В эллипс вписан эллипс . Какова вероятность того, что точка, брошенная в больший эллипс попадет внутрь малого эллипса?

4.16. На отрезке [0, 2] наудачу выбраны два числа х и у. Какова вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам х² ≤ 4у ≤ 4х?

4.17. Круг разделен на 6 равных секторов, через один окрашенный в черный цвет. Какова вероятность того, что точка брошенная в круг попадет в белый сектор?

4.18. Взяты наугад два положительных числа, каждое из которых не больше единицы. Какова вероятность того, что их сумма не превзойдет единицы, а произведение будет не больше 2/9?

4.19. В прямоугольник с вершинами К(-1, 0), L(-1, 5),

М(2, 5), N(2, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам

х² +1 ≤ у ≤ х + 3?

4.20. В квадрат с вершинами О(0, 0), К(0, 1), L(1, 1),

М(1, 0) наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству

у > 2x?

4.21. На плоскости область G ограничена эллипсом , а область q – этим эллипсом и эллипсом . В область G брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в область q?

4.22. В прямоугольник с вершинами К(-2, 0), L(-2, 5),

М(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам

х² +1 ≤ у ≤ х - 3?

4.23. В прямоугольник с вершинами R(-2, 0), L(-2, 5),

M(1, 5), N(1, 0) брошена точка. Какова вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ у ≤ 2х – х² + 8?

4.24. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника?

4.25. Внутрь равностороннего треугольника со стороной а брошена точка. Какова вероятность того, что точка попадет в круг, вписанный в треугольник?

4.26. Наугад взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Какова вероятность того, что их произведение не меньше 2, а сумма не больше 3?

4.27. Внутрь круга радиусом R наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется в области между кругом и вписанным в него квадратом?

4.28. В квадрат вписан круг. Какова вероятность того, что точка, брошенная в квадрат, попадет внутрь вписанного в него круга?

4.29. На отрезке АВ длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка М(х). Какова вероятность того, что отрезки АМ и МВ имеют длину, большую L/4?

4.30. На отрезке L длины 20 см помещен меньший отрезок l длины 10 см. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на наименьший отрезок?

5.1. В урне имеется 10 красных, 15 синих, 5 белых шаров. Из урны наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что этот шар – красный или белый?

5.2. Охотник выстрелил три раза по цели. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Какова вероятность того, что охотник: а) промахнется все три раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет два раза?

5.3. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0,8, 0,4 и 0, 7. Какова вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей?

5.4. Студент изучает математику, химию и биологию. Он оценивает вероятности получить пятерку по этим курсам как 1/4, 1/3 и 1/2 соответственно. Какова вероятность того, что студент получит: а) только одну пятёрку; б) хотя бы одну пятёрку; в) пятёрку только по химии?

5.5. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, делая по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Какова вероятность того, что один из них получит приз?

5.6. Какова вероятность того, что при одновременном случайном извлечении двух карт из колоды в 52 карты обе окажутся бубновой масти?

5.7. Измерительный прибор может проработать безотказно 800 часов с вероятностью 0,7, а 1200 часов с вероятностью 0,5. Прибор проработал 800 часов. Какова вероятность того, что он проработает еще 400 часов?

5.8. Вероятность попасть в самолет при одном выстреле равна 0,4, а вероятность сбить его равна 0,1. Какова вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит?

5.9. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0,2. Какова вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь 41-го размера?

5.10. Среди 60 лампочек 3 - нестандартные. Какова вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся нестандартными?

5.11. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, остальные – красные. Какова вероятность того, что вынутые наудачу две нити окажутся: а) одного цвета; б) разных цветов?

5.12. В связке имеется пять различных ключей, из которых только одним можно открыть дверь. Наудачу выбирается ключ и делается попытка открыть им дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим, больше не используется. Какова вероятность того, что: а) дверь будет открыта первым ключом; б) для открывания двери будет использованы не более двух ключей?

5.13. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Какова вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста?

5.14. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/7. Какова вероятность того, что обладатель пяти билетов выиграет: а) по всем пяти; б) ни по одному; в) хотя бы по одному билету?

5.15. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго – 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?

5.16. Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?

5.17. В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что все три шара голубые?

5.18. Найти вероятность совместного появления цифры при одновременном подбрасывании двух монет.

5.19. В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Какова вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар, при втором – красный, при третьем – белый?

5.20. В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей. В первом ящике – 27, во втором 28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Какова вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными?

5.21. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего равна 0,6. Какова вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) все четыре станка; б) ни один станок; в) по крайней мере один станок?

5.22. Какова вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно?

5.23. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Из ящика последовательно вынимают 2 шара, первый шар в ящик не возвращают. Какова вероятность того, что первый вынутый шар окажется голубым, а второй – красным?

5.24. Вероятность попадания в цель равна 0,3, а вероятность ее уничтожения равна 0,05. Какова вероятность того, что при попадании в цель она будет уничтожена?

5.25. Только один из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 5 ключей для открывания замка?

5.26. В ящике 9 белых, 6 черных и 5 зеленых шаров. Наудачу вынимается один шар. Какова вероятность того, что он окажется либо черным, либо зеленым?

5.27. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Какова вероятность того, что правильно ответят: а) оба студента; б) только первый студент; в) только один из них; г) хотя бы один из студентов?

5.28. В одной комнате находятся 4 девушки и 7 юношей, в другой 10 девушек и 5 юношей. Наудачу выбирают по одному человеку из каждой комнаты. Какова вероятность того, что оба они окажутся юношами, или оба девушками?

5.29. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаруживает пробела в знаниях студента. Какова вероятность того, что будут заданы: а) два вопроса; б) более двух вопросов?

5.30. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Какова вероятность того, что студент сдаст: а) два экзамена; б) не менее двух экзаменов; в) не более двух экзаменов?


6.1. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдут сбои в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3 : 2 : 5. Вероятности обнаружения сбоев в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Какова вероятность того, что: а) возникший в машине сбой будет обнаружен; б) сбой произошел в арифметическом устройстве?

6.2. На фабрике машина А производит 40% продукции, а машина В – 60%. В среднем 9 единиц из 1000 продукции машины А оказывается бракованными, а у машины В – 1 из 250. Некоторая единица продукции, выбранная из дневной продукции, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена на машине А?

6.3. На фабрике 30% производится машиной А, 25% продукции – машиной В, а остальная продукция машиной С. У машины А в брак идет 1% всей продукции, а у машины

В – 1,2% продукции, а у машины С – 2%. Какова вероятность того, что выбранная единица продукции окажется стандартной?

6.4. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны извлекли наудачу по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Какова вероятность того, что взят белый шар?

6.5. Имеются две урны: в первой 2 белых и 4 черных шара, во второй 3 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются, затем из второй урны в первую перекладывается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

6.6. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4; для второго – 0,6; для третьего – 0,8. Какова вероятность того, что в мишени будет две пробоины?

6.7. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и весу шары. В двух ящиках – по 6 голубых и 4 красных шара. В двух других ящиках – по 8 голубых и 2 красных шара. В одном ящике – 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

6.8. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны 0,01; 0,005; 0,006. Какова вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной?

6.9. В группе 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Какова вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценки?

6.10. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,1% брака, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 3000 деталей.

6.11. На распределительной базе находятся электрические лампочки, приготовленные на двух заводах. Среди них 60% изготовлено первым заводом и 40% - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 95 удовлетворяют стандарту, а из 100 лампочек, изготовленных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 85. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампочка будет удовлетворять стандарту?

6.12. На предприятии изготавливаются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема производства, на второй – 25%, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%. Какова вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным?

6.13. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй – 4 голубых и 4 красных шара, в третьей – 8 голубых. Наугад выбирается одна из урн, из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?

6.14. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 1 : 2 : 3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%, 2%, 1%. Прибор, приобретенный институтом, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор произведен первым заводом?

6.15. В пирамиде 5 винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки?

6.16. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины – 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Какова вероятность того, что это грузовая машина?

6.17. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на первом заводе, 15% - на втором, остальные на третьем заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96; 0,84; 0,9 соответственно. Какова вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы?