Решение. Сложив два уравнения системы, получаем 2 18 18 x , откуда 1 x или 1 x . При 1 x
 Скачать 186.74 Kb.
|
|
Математика. 9 класс. Вариант МА90201 1 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Решите систему уравнений 2 2 6 14, 12 4. x y x y + = − = Решение. Сложив два уравнения системы, получаем 2 18 18 x = , откуда 1 x = − или 1 x = . При 1 x = − получаем 8 y = При 1 x = получаем 8 y = Решения системы уравнений: ( ) 1; 8 − и ( ) 1; 8 Ответ: (1; 8) ; ( 1; 8) − Баллы Содержание критерия 2 Обоснованно получен верный ответ 1 Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Решение. Плот проплыл 30 км, значит, он плыл 6 часов, из которых лодка находилась в пути 5 часов. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна v км/ч, тогда 60 60 5 5 5 v v + = + − ; 2 60 300 60 300 5 125 v v v − + + = − ; 2 24 25 0 v v − − = , откуда 25 v = Ответ: 25 км/ч. 21 22 Математика. 9 класс. Вариант МА90201 2 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Баллы Содержание критерия 2 Ход решения задачи верный, получен верный ответ 1 Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл Постройте график функции 2 2 4 при 1, 9 при 1. x x x y x x − + ≥ − = − < − Определите, при каких значениях m прямая y m = имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение. Построим график функции 9 y x = − при 1 x < − и график функции 2 2 4 y x x = − + при 1 x ≥ − Прямая y m = имеет с графиком ровно одну общую точку при 0 3 m < < и при 9 m ≥ . Ответ: 0 3 m < < ; 9 m ≥ . y x 0 – 1 1 Баллы Содержание критерия 2 График построен верно, верно найдены искомые значения параметра 1 График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл 23 Математика. 9 класс. Вариант МА90201 3 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Точка H является основанием высоты BH , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC . Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK , если 15 BH = Решение. P A B C K H Угол PBK опирается на дугу PK и равен 90°, а значит, PK — диаметр, откуда получаем, что 15 PK BH = = Ответ: 15. Баллы Содержание критерия 2 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ 1 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты 1 AA и 1 BB . Докажите, что углы 1 1 AA B и 1 ABB равны. Доказательство. Диагонали четырёхугольника 1 1 AB A B пересекаются, значит, он является выпуклым. Поскольку 1 1 90 AB B AA B ∠ = ∠ = ° , около четырёхугольника 1 1 AB A B можно описать окружность. Следовательно, углы 1 1 AA B и 1 ABB равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу 1 AB B A A C 1 B 1 24 25 Математика. 9 класс. Вариант МА90201 4 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Баллы Содержание критерия 2 Доказательство верное, все шаги обоснованы 1 Доказательство в целом верное, но содержит неточности 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл Четырёхугольник ABCD со сторонами 43 AB = и 4 CD = вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём 60 AKB ∠ = ° . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Решение. C M D A B K Через точку B проведём хорду BM , параллельную диагонали AC (см. рисунок). Тогда 43 CM AB = = , 60 DBM AKB ∠ = ∠ = ° . Поскольку четырёхугольник BMCD вписанный, получаем 180 180 60 120 DCM DBM ∠ = ° − ∠ = ° − ° = °. По теореме косинусов 2 2 2 cos 2037 DM CM CD CM CD DCM = + − ⋅ ∠ = По теореме синусов радиус окружности равен 2037 679 2sin 3 DM DBM = = ∠ Ответ: 679 Баллы Содержание критерия 2 Ход решения задачи верный, получен верный ответ 1 Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл 26 Математика. 9 класс. Вариант МА90202 1 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом Решите систему уравнений 2 2 4 9, 8 3. x y x y + = − = Решение. Сложив два уравнения системы, получаем 2 12 12 x = , откуда 1 x = − или 1 x = . При 1 x = − получаем 5 y = При 1 x = получаем 5 y = Решения системы уравнений: ( ) 1; 5 − и ( ) 1; 5 Ответ: (1; 5) ; ( 1; 5) − Баллы Содержание критерия 2 Обоснованно получен верный ответ 1 Решение доведено до конца, но допущена ошибка вычислительного характера, с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 50 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Решение. Плот проплыл 50 км, значит, он плыл 10 часов, из которых лодка находилась в пути 9 часов. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна v км/ч, тогда 108 108 9 5 5 v v + = + − ; 2 108 540 108 540 9 225 v v v − + + = − ; 2 24 25 0 v v − − = , откуда 25 v = Ответ: 25 км/ч. 21 22 Математика. 9 класс. Вариант МА90202 2 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Баллы Содержание критерия 2 Ход решения задачи верный, получен верный ответ 1 Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл Постройте график функции 2 2 2 при 1, 2 при 1. x x x y x x − + ≥ − = − < − Определите, при каких значениях m прямая y m = имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение. Построим график функции 2 y x = − при 1 x < − и график функции 2 2 2 y x x = − + при 1 x ≥ − Прямая y m = имеет с графиком ровно одну общую точку при 0 1 m < < и при 5 m > . Ответ: 0 1 m < < ; 5 m > . y x 0 – 1 1 Баллы Содержание критерия 2 График построен верно, верно найдены искомые значения параметра 1 График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл 23 Математика. 9 класс. Вариант МА90202 3 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Точка H является основанием высоты BH , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC . Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH , если 11 PK = . Решение. P A B C K H Угол PBK опирается на дугу PK и равен 90°, а значит, PK — диаметр, откуда получаем, что 11 BH PK = = Ответ: 11. Баллы Содержание критерия 2 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, получен верный ответ 1 Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны неполные объяснения 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты 1 BB и 1 CC . Докажите, что углы 1 1 CC B и 1 CBB равны. Доказательство. Диагонали четырёхугольника 1 1 CB C B пересекаются, значит, он является выпуклым. Поскольку 1 1 90 CB B CC B ∠ = ∠ = ° , около четырёхугольника 1 1 CB C B можно описать окружность. Следовательно, углы 1 1 CC B и 1 CBB равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу 1 CB B C A C 1 B 1 24 25 Математика. 9 класс. Вариант МА90202 4 © СтатГрад 2018−2019 уч. г. Публикация в интернете или печатных изданиях без письменного согласия СтатГрад запрещена Баллы Содержание критерия 2 Доказательство верное, все шаги обоснованы 1 Доказательство в целом верное, но содержит неточности 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл Четырёхугольник ABCD со сторонами 39 AB = и 12 CD = вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём 60 AKB ∠ = ° . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника. Решение. C M D A B K Через точку B проведём хорду BM , параллельную диагонали AC (см. рисунок). Тогда 39 CM AB = = , 60 DBM AKB ∠ = ∠ = ° . Поскольку четырёхугольник BMCD вписанный, получаем 180 180 60 120 DCM DBM ∠ = ° − ∠ = ° − ° = °. По теореме косинусов 2 2 2 cos 3 237 DM CM CD CM CD DCM = + − ⋅ ∠ = По теореме синусов радиус окружности равен 3 237 3 79 2sin 3 DM DBM = = ∠ Ответ: 3 79 Баллы Содержание критерия 2 Ход решения задачи верный, получен верный ответ 1 Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена ошибка вычислительного характера 0 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 2 Максимальный балл 26 |