Теория надежности. Учебное пособие для студентов
 Скачать 3.48 Mb.
|
7.2.Доверительные вероятности, доверительные интервалы и методы исключения грубых ошибок измерения при определении статистических характеристик надёжности7.2.1 Общие сведения о доверительной вероятности, доверительных интервалах и методах исключения грубых ошибок измеренияОценки, полученные по формулам (7.3), (7.5), (7.6) и (7.7), называются точечными. Для характеристики точности и надёжности оценки хстат пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями. Пусть для параметра х получена из n опытов несмещенная оценка хстат. Оценим вероятность, при которой допущенная при этом ошибка не превзойдет некоторой величины ε. Обозначим эту вероятность, называемую доверительной вероятностью, Ρ(ε): Ρ(ε) = Ρ(|хстат - х | < ε). (7.8) Доверительная вероятность - это есть вероятность того, что истинное значение х будет заключаться в пределах от хстат – ε до хстат +ε. Границы хстат – и хстат + ε называют доверительными границами, а интервал Iε = хстат ± ε - доверительным интервалом. Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность - его надёжность [4]. Если при испытаниях m значений измеряемой случайной величины х попадут в интервал (х1, х2), то при большом числе опытов отношение m к общему числу опытов N, называемое частостью, будет стремиться к постоянному числу. Для различных интервалов эти числа, естественно, будут различны. Рассматривая случайные ошибки как случайные величины, можно утверждать, что вероятность P[х (х1, х2)] попадания случайной величины х в интервал (х1, х2), равна P[х (х1, х2)] ≈ m / N. (7.9) Правило, позволяющее находить P[х (х1, х2)] для любых интервалов (х1, х2), и есть закон распределения вероятностей случайной величины х. Если закон распределения является нормальным, то вероятность попадания случайной ошибки х в симметричный интервал (- х1, х2) при (х1 > 0) оценивают выражением [1] P[х (-х1, х2)] = P[|х| < х1] = 2Ф(х / σ) = 2Φ(t) = РД(t), (7.10) где Ф(t) интеграл вероятности:  и Ф(-t) = - Ф(t); (7.11)2Ф(х / σ) = 2Φ(t) = РД(t) (при t = х / σ) - интегральная функция Лапласа. Её значения для различных t протабулированы и приведены в таблице 7.6; Ф(х / σ) = Φ(t) - интеграл вероятностей или функция Лапласа; σ - среднеквадратическая ошибка. Вероятность того, что случайная ошибка х не выйдет за границы ± tσ, (t > 0), равна Ρ[|х| > tσ] = 1 - 2Φ(t). (7.12) При х 3σ (т.е. при t 3) вероятность Ρ[|х| > tσ] становится настолько малой (Ρ[|х| > 3σ] =1 - 2Ф(3) = 0,0027), что выход случайной ошибки за трехсигмовый интервал считают практически невозможным. Это правило получило название правила трёх сигм. Оно находит широкое практическое применение для исключения грубых ошибок измерения (промахов), для которых |х| > 3σ, из статистического ряда. Если среднеквадратическая ошибка σ заранее неизвестна, то с помощью формулы (7.5) вычисляют статистическую оценку среднеквадратичного отклонения σстат, а затем исключают грубые ошибки измерения для которых |х| > 3 σстат. (7.13) Таблица 7.16 - Интегральная функция Лапласа РД(t) = 2Φ(t) [1, 4, 30] и Ф(-t) = - Ф(t)
Согласно таблицы 7.6, если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ[|х|> tσ] меньше 5% (РД(t) = 2Ф(t) = 0,95), то убирают значения х > 1,96 σстат (t > 1,96). Если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ[|х|> tσ] меньше 1% (РД(t) = 2Ф(t) = 0,99), то убирают значения х > 2,576 σстат (t > 2,576). Если мы хотим исключить ошибки измерения величины х, вероятность появления которых Ρ[|х|> tσ] меньше 0,1% (РД(t) = 2Ф(t) = 0,999), то убирают значения х > 3,291 σстат (t > 3,291). Здесь сотые и тысячные доли величины t уточнены по более подробным таблицам из [1]. При вычислении σстат с помощью формулы (7.5) следует не включать в вычисления подозрительное значение х, которое проверяется на предмет его возможного исключения из статистического ряда. Для исключения грубых ошибок измерения существует также критерий Ирвина, о котором не указывается, что он применим при определенном распределении. Метод или критерий Ирвина основан на оценке разности двух наибольших или наименьших членов выборки. Определяется величина λ, равная [10] λ = (х2 - х1) / σстат (7.14 а) или λ = (хn - хn-1) / σстат, (7.14б) в зависимости от того, с какой стороны выборки расположен резко выделяющийся член выборки. По приведенной таблице 7.7 в зависимости от объема выборки n при уровне значимости α = 0,95 находят критическое значение λ = 0,95. Если рассчитанная λ ≤ λ( = 0,95), то оцениваемый результат является случайным и не подлежит исключению из выборки. Если λ > λ( = 0,95), то следует исключить из выборки оцениваемое резко выделяющееся наименьшее или наибольшее значение случайной величины (или оба вместе), так как оно представляет собой грубую ошибку. После исключения ошибки необходимо снова вычислить значенияxстат и σстат. В [10] описаны и некоторые другие методы исключения грубых ошибок измерения. Таблица 7.17 - Значения критерия Ирвина λ( = 0,95) для уровня значимости α = 0,95 в зависимости от объёма выборки n [10]
7.2.2 Определение доверительного интервала и минимального числа измерений при нормальном распределении времени безотказной работыКак уже упоминалось в разделе 3, распределение времени безотказной работы до появления постепенного (износового) отказа (на третьем участке рисунка 3.2) в большинстве практических ситуаций близко к нормальному, то есть хорошо описывается законом Гаусса (рисунок 3.4, б). Найдём доверительные границы для математического ожидания Мх величины х, распределённой по нормальному закону. Вначале требуется найти доверительную вероятность Ρ(ε) = Ρ(|Мхстат - Мх| < ε). (7.15а) Известно, что величина х распределена по нормальному закону, но ввиду того, что параметры Мх и σх этого закона неизвестны, воспользоваться этим законом распределения невозможно. Чтобы обойти это затруднение, ввёдем вместо случайной величины Мх другую случайную величину Тm: Тm = (Мхстат - Мх) / σm, (7.15б) где  (7.16)В математической статистике доказано, что случайная величина Тm подчиняется закону распределения Стьюдента, предложенному в 1908 году английским математиком В. С. Госсетом (псевдоним Стьюдент) [4, 30]:  (7.17)где Г(n/2) - гамма-функция. Распределение Стьюдента не зависит от параметров Мх и σх величины х, а зависит только от аргумента t и числа наблюдений n. Распределение Стьюдента позволяет найти доверительную вероятность (7.15 а). Зададимся произвольным положительным числом ta и найдем вероятность попадания величины Тm на участок (-ta, ta)  (7.18) Подставив в левую часть формулы (7.18) вместо Тm его значение из выражения (7.15 б), получим  (7.19) где ε = ta σm, ta - квантиль распределения Стьюдента для выбранной вероятности Р(ε) и числа степеней свободы r = n - 1. С помощью табулированной в таблице 7.8 функции ta можно решать практические задачи по точности оценки величины математического ожидания. Доверительный интервал находится следующим образом [4]: 1. Задаемся доверительной вероятностью Р(ε). Обычно величину Р(ε) выбирают из значений: Р(ε) = 0,8; 0,9; 0,95; 0,99. 2. Находим величину σm с помощью формул (7.7) для D[хстат] и (7.16). 3. Определяем число степеней свободы r = n –1. 4. По известным значениям r и Р(ε) находим по таблице 7.8 величину ta. 5. Умножая ta на σm, находим ε = ta σm - половину длины доверительного интервала. 6. Доверительный интервал будет Iε = Мх стат ± ε. Пример 7.1. При испытании десяти устройств, отказы которых распределены по нормальному закону, получены следующие значения времени безотказной работы в часах:
Определить статистическую оценку средней наработки до отказа Т1стат, σстат и найти доверительный интервал Iε для Т1стат с доверительной вероятностью Р(ε) = 0,9. Решение. 1. Находим по формуле (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т1стат  ч. (3.22)2. Находим величину σстат и σm с помощью формул (7.7) для D[хстат] и (7.16) для σm:   ч; ч.3. Находим:
Т1 стат Н = 130 – 27 = 103 ч; Т1 стат В = 130 + 27 = 157 ч;
Таблица 7.18 - Квантили распределения Стьюдента – ta - для выбранной вероятности Р(ε) и числа степеней свободы r = n – 1 [1, 4, 30]
В период износовых отказов величина разброса параметра х, определяющая параметрическую надёжность, связана с величиной разброса времени наступления износового отказа τ, определяющей динамическую точность. Эта связь наглядно показана на рисунке 3.4, а аналитическое выражение для этой связи имеет вид σх = с στ, (7.20) где с - коэффициент старения; σх - среднеквадратическая ошибка измерения величины контролируемого параметра х, по измерению которого определяют время τ наступления износового отказа; στ – среднеквадратическая ошибка измерения времени τ наступления износового отказа. Увеличение количества измерений n и увеличение точности этих измерений позволяет увеличить достоверность и точность доверительных оценок. Если необходимо произвести оценку хстат с точностью ε и надёжностью РД(t) = 2Ф(t), то при равноточных и независимых измерениях с известной точностью σх при нормальном распределении времени безотказной работы в период износовых отказов требуется число опытов n, определяемое неравенством [1] n ≥ {t[РД(t)] / εх}2 σх2. (7.21) В выражении (7.21) t = t[РД(t)] находится при условии РД(t) = 2Ф(t) и t = εх / σх) пο таблице 7.6, а εх - половина доверительного интервала разброса параметра х. Доверительный интервал средней наработки до отказа Iε = T1 стат ± ε = T1 стат ± εх / с. (7.22) Если σх неизвестна, то необходимое число измерений n можно определить, используя формулу (7.21) и таблицу 7.6, в зависимости от РД(t), εх и отношения t = εх / σх стат, где σх стат - эмпирический стандарт неизвестной ошибки, определяемый по формуле (7.7). При этом в формуле (7.21) следует заменить σх на σх стат. 7.2.3 Доверительные интервалы при экспоненциальном распределении и распределении ПуассонаСтатистические оценки для интенсивности отказов λстат, не зависящей при экспоненциальном распределении от времени, и средней наработки до отказа T1 стат вычисляют по формулам (3.15) и (3.22). Нижнюю λн и верхнюю λв границы интенсивности отказов находят по формулам [4]: λн = λстат / r1; (7.23) λв = λстат / r2, (7.24) где r1 = 2 n /2[Р(), 2 n], (7.25) r2 = 2 n /2[1 - Р(), 2 n]. (7.26) В формулах (7.25) и (7.26) 2 [2 n - квантили распределения2 Пирсона при числе степеней свободы r = 2 n (см. таблицу 7.11). Значения коэффициентов r1 и r2 табулированы для различных вероятностей Р() и значений числа отказов n и приведены в таблице 6.4. Учитывая, что при экспоненциальном распределении согласно формуле (3.18) Т1 = 1 / λ, получим Tн = T1 стат · r2, (7.27) Tв = T1 стат · r1. (7.28) Если в процессе испытаний в течение времени tи не получено ни одного отказа, верхнюю доверительную границу интенсивности отказов находят из выражения [4] λв = r0 / tи, (7.29) где значения коэффициента r0 можно опеделить по формуле r0 = 1 / 2 χ2 [Р(), 2] при r = 2 (7.30) или из таблицы 7.9. Таблица 7.19 - Значения коэффициента r0
Доверительные границы в случае распределения Пуассона вычисляются по формулам [4]: ан = n / r1; (7.31) ав = n / r2, (7.32) где а - параметр распределения Пуассона (математическое ожидание числа отказов); а = λ t; n - количество отказов, возникших в процессе испытаний. Доверительный интервал для интенсивности отказов находится следующим образом: 1. Задаемся доверительной вероятностью Р(). 2. По заданным n и Р() находим по таблице 6.4 коэффициенты r1, и r2. 3. Рассчитываем по формулам (7.31) и (7.32) значения ан и ав. По заданной наработке tи находим доверительные границы для λ: λн = ан / tи; (7.33) λв = ав / tи. (7.34) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||