сессия. мат тарих сессия. Xixхх . даы математиканы жаа баыттары
 Скачать 149.26 Kb.
|
|
Дифференциалдық және интегралдық есептеулерді ашқан ғалымдар: Ньютон, Лейбниц. 17 ғасырдың аяғына таман И. Ньютон мен Г. Лейбниц еңбектерінде дәл мағынасындағы дифференциалдық және интегралдық есептеулердің негізі қаланды. Олар алғаш рет жаңа есептеудің негізгі амалдары дифференциалдау мен интегралдауды жалпы түрде қарастырып, олардың өзара байланысын тағайындады ( Ньютон- Лейбниц формуласы). Алайда Ньютон мен Лейбниц бұл мәселеге қатысы әр түрлі көзқараста болды. Ньютон үшін бастапқы ұғымдар- механикалық есептерден келген « флюента» (айнымалы шама) және оның « флюксиясы» (айнымалы шаманың өзгеру жылдамдығы). Флюксияларды және флюенталар бойынша флюнсиялар арасындағы қатыстарды ( дифференциалдау және дифференциалдық теңдеулер құру) табуды көздеген тура есепке Ньютон флюнсиялар арасындағы қатыстар бойынша флюенталарды табу жайлы кері еспті, былайша айтқанда дифференциалдық теңдеулерді интегралдаудың жалпы есебін қарсы қойды. Лейбниц болса әсіресе шекті шамалар алгебрасынан шексіз аз шамалар алгебрасына көшуге көп көңіл болды, ол интегралды ең әуелі саны шексіз көп шексіз аз шамалардың қосындысы ретінде, ал дифференциалдық есептеулердің негізгі ұғымын айнымалы шамалардың шексіз өсімшесі түрінде қарастырды. Бұл саладағы идеяларды Я. Бернулли, И. Бернулли, француз математигі Г. Лопиталь т.б. одан әрі дамытты. Аналитикалық геометриядан басқа алгебра мен анализге тығыз байланысты дифференциалдық геометрия да дамыды. 17 ғасырда проективтік геометрияның да негізгі ұғымдары қалыптаса бастады. Бұл ғасырдағы математиканың басқа жетістіктерінің қатарына сандар теориясы жөніндегі Б. Паскаль мен П. Ферма зерттеулерін, комбинаториканың негізгі ұғымдарының жасалуын, ықтималдықтар теориясы жайлы алғашқы жұмыстарды атауға болады. Ежелгі Қытайдың 0,4,9 сандарын жазып көрсетіңіз. Ежелгі Қытайдың 3,6,10 сандарын жазып көрсетіңіз . Ежелгі Мысыр тәсілімен 12 х14 көбейту керек. Ежелгі Мысыр тәсілімен 12 х18 көбейту керек. Ежелгі Мысыр тәсілімен 14 х18 көбейту керек. Ежелгі Мысыр тәсілімен 20 х14 көбейту керек. Ежелгі Мысыр тәсілімен 252 :6 бөлу керек Ежелгі Мысыр тәсілімен 205 :5 бөлу керек Ежелгі Үнді сандарын қолданып 12, 15 сандарын жазу керек. Ежелгі Үнді сандарын қолданып 18, 13 сандарын жазу керек. Ежелгі Үнді сандарын қолданып 38, 15 сандарын жазу керек. Ежелгі Мысыр тәсілімен 14 х22 көбейту керек. Ертедегі Мысыр математикасы туралы. Ежелгі Мысыр әлемдегі ең байырғы мәдениет ошақтарының бірі. Ніл өзенінің екі жағалауына орналасқан бұл ел б.з.б. 3200-ші жж біртұтас мемлекет болып бірікті. Ніл өзені әр жылда тасып, жағалаудағы егістік жерлерді шайып кетіп отырған, тасу мезгілі аяқталған соң тұрғындардың жерін қайта өлшеп бөлу керек болады, ұзақ жылғы жер өлшеу тәжірибесінің арқасында геометрия ғылымы пайда болған (геометрия – грекше сөз, гео — жер, метро — өлшеу деген мағына береді). Көне Мысырдың Ахмосе немесе Райнд папирусы Б.з.б. 2900-шы жж кейін патшаларының мазары ретінде көне мысырлықтар көптеген алып пирамидаларды тұрғыза бастаған. Пирамидалардың құрылысына қарай отырып, сол кездегі көне мысырлықтардың геометрия мен астрономияны аз білмегенін аңғаруға болады. Мысалға, пирамида табаны мен бүйір бет ауданы арасындағы қатынас пен табанындағы бұрыштарды атауға болады. Қазіргі кездегі Көне Мысыр математикасы туралы зерттеулер негізінен, сол кездегі монахтар жазуы және руни жазуымен жазып қалдырған екі кітапқа сүйенеді: бірі Лондонда (1858 жылы ағылшын жинаушысы Райнд тауып, өз меншігіне алған, сондықтан көбінесе Райнд папирусы деп аталады, ол папирус б.з.б. 1700 жылға жатады, бұл Мәскеу папирусына қарағанда үлкенірек). Енді бірі Москвада сақтаулы. «Мәскеу папирусы» деп аталады. Ежелгі мысырлықтардың математикалық білім дәрежесін айқындауға мүмкіндік берерліктей екі папирус сақталған. Олардың бірнешесі – Гинус папирусы- Лондонда Вритан музейінде, ал екіншісі- Москва папирусы Мрсквада А.С. Пушкин атындағы музейде сақталулы Біріншісінің ұзындығы 5,5 м ені 32см, мұнда 85 есеп бар, ал екіншісінің ұзындығы сондай бірақ енсіз8см онда бас аяғы 25 есеп келтірілген Бұл папирустардың жазылу негізі біздің заманымыздан 200 жылдай бұрын деп шамалауға болады. Папирустарда келтірілген есептер қысқа, догматикалық түрде берілген, яғни есептің шарты мен талабы беріледі де шешу жолы көрсетіледі. Ешқандай дәлелдеу, тексеру жоқ, айрыфқша симвошка жоқ, барлық иорлогиф арқылы өрнектелген сөздермен сөйлемдерден тұрады. Жоғарыдағы айтылғандай папирустарды мұқият зеріттеу тек өткен ғасырдан басталған . Бұл тұрғында матиматика тарихын зеріттеушілер елеулі жұмыстар тындырады Осының арқасында Мысыр матиматикасының негізгі ерекшеліктері мен сипатын деңгей-дәрежесін бағалауға мүмкіндік туып отыр. Мысырлықтар төрт амалды бүтін сандарға бірдей қолдана білген. Олардың қосу , азайтуы қазіргі біздің қосу азайтуымызға өте ұқсас келеді. Ал көбейтуі мен бөлінуде үлкен айырмашылық бар. Олардың көбейтуі екі сатыдан тұрады екі еселеу және қосу. Мәселен 15-ке 13-ті көбейтуді мынандай кестемен келтірген. / 1 15 / 2 30 /14 60 /18 120 ----------------------- Барлығы 195 Бұл кестеде әр бір келесі жолдағы сандар алдынғы жолдағы сандарды екі еселеуден шығады. Сол бағанадағы қосындысы 13 болатын сандар іріктеліп алынып, оң бағанадағы осы сандарға сай келетін 15-тің еселіктері өзара қосылып сонда 195 шығады. Бөлу амалы да осы схема бойынша орындалады. Айта кететін бір нәрсе екі еселеумен екіге бөлінеді XVIII ғасырға дейін көп матиматиктер айрықша арифметикалық амалдар ретінде қарастырып келеді, қазір олар көбейту және бөлу амалдарының дербес жағдайлары болып саналады. Мысырлықтар кейбір арифметикалық есептерді шешу жолын қарастыра келіп , Математика тарихшылар бір белгісіз бар теңдеулерді шеше берген деген қортындыға келіп отыр . Мысырлықтар белгісізді “Үймек” – “Аха” деп аталған. Мысырлықтар үшбұрыштың , тік төрт бұрыштың және трапетцяның аудандарын дұрыс формулалар арқылы табады, Мәселен, үшбұрыштың ауданын табу үшін паральел қабырғаларының қосындысының жартысын екіге бөліп, биіктігіне көбейтеді, олар кез-келген төртбұрыштың ауданын табу үшін қарама-қарсы қабырғалар қосындысының жартысын басқа екі қабырғасы қосындысының жартысынан көбейтеді. Алайда бұл формула тек төрт бұрыштар болғандығы да дұрыс. Мысырлықтар дөңгелектің ауданын жуық түрде диометірінің тоғыздан сегізінің квадратына тең деп алады , олай болса шеңбер ұзындығының оның диометіріне қатынасын көрсететін П саны үшін мынандай жуық мән табылады. П =4( 8) ----- = 3,1605 (9) Бұл сөз уақытымен салыстырғанда үлкен жетістік еді. Мысырлықтар қабырғалары 3,4,5. өлшем болып келген үшбұрыштың тік бұрышты екенін білген (Пифорор теоремасы) Олар үшбұрыш арқылы жер бетінде тік бұрыш салатын болған. Бұл үшбұрыш қазір “Мысыр үшбұрышы” деп аталып жүр. Мысырлықтар куптың , паралелпипеттің және дөңгелек цилиндірдің көлемін таба білген. Ежелгі Мысыр математикасының аса көрнекті табысы дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың көлемін дәл табатын ережені (формуланы) ашуы болды: V= h ( a+ ab +b ) мұнда h пирамида биіктігі , а және в төменгі және жоғарғы табандарының қабырғалары, олар бұл формуланы дедуктивтік әдіспен немесе ең ықтимал тәжрибелер жасап, эмприкалық жолмен қатып шығарулары мүмкін, Бұл жөнінде тарихшылар белгілі бір тоқтамға әлі келе қойған жоқ. Ежелгі Үнді математикасы. Үнді математикасы осы ғылымның дамуына үлкен ықпал етті. Үнді математиктері өздерінің еңбектерін санскрит тілінде жазды. 5-6 ғасырларда үнді математикасы дами бастады. Ғылымда айтарлықтай жеңіс болды. « Сидханты» атты ұлкен астрономиялық- математикалық еңбектер жарық көрді. Үнді математикасынын дамуы астрономиямен байланысты. Үнді математиктерінің шығармаларында математика қазіргідегідей арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия салаларына бөлінбей аралас бөлімдер негізінен нақты есептерді шешугек байланысты баяндалады. Бұл тұрғыда ол ежелгі Мысыр, Вавилон, Қытай математикасына көп ұқсайды. Бірақ олардың математикалық қорытулары мен пайымдауларында дәлелдеу дұрыстығына көз жеткізу әрекеттері кездеседі. Бұдан гректерден ауысқан теориялық математика дәстүрлерінің нышанын аңғарамыз.Үнді математикасының негізі арифметикада жатыр. Біздің орта мектепте оқып үйренетіән геометриямыздың негізі ежелгі грек математикасынан, Евклидтің “Бастамаларынан” басталса, арифметикамыздың түп төркіні Үнді математиктерінің еңбектерінде жатыр.Үнділердің осы ондық позициялық санау жүйексіне негізделген арифметикасын орта ғасырда араб математиктері қабылдайды. Олардың еңбектері арқылы Үнді санау жүйесі Таяу және орта Шығыс елдеріне, кейіннен Европаға тарайды. Кейде үнді цифрларын “араб цифрлары” деп жаңсақ атайды, шындығына келсек түп-төркіні – Үндістан. Үнді математиктері қосу, азайту, көбейту, бөлу, дәрежелеу және түбір табу амалдарын қарастырады. Амалдарды орындау тәртібі, ережесі қазіргіден біраз ғана өзгешелеу. Олар жай және күрделі үштік ережені, процентті есептеуді, пропорционалдық әдістерін білген. Қазір теңдеу құру арқылы шешілетін көп есептерді арифметикалық жолмен шешу тәсілдерін ұсынады. Үнді математиктері, мәселен, “жалған жору” деп аталатын әдісті пайдаланып, бірсіпыра арифметикалық есептерді оп-оңай шығара білген. Ондай есептер көбінесе өлең түрінде беретін болған.Математика тарихшылары алгебралық білімдердің дамуында Үнді математиктерінің үлкен үлесі болғанын атап көрсетеді. Үнділіктер тек бүтін, бөлшек сандар ғана емес, теріс және иррационал сандарға да амалдар қоодана білген. Бұл математика тарихындағы үлкен жетістік болды, өйткені гректер теріс, иррационал сандарды сандар санатына қоспаған.Үнді математиктері иррационалдықтарды емін-еркін қолдана білген. Оларға, мәселен, Үнді математиктері иррационалдықтарды емін-еркін қолдана білген. Оларға, мәселен, формулалары белгілі болған. Үнді математиктері иррационалдықтарды емін-еркін қолдана білген. Оларға, мәселен, формулалары белгілі болған.Үндістан астрономиясы мен астрономиясын дәуір биігіне көтерген ғалымдар: «Ариабхатия» атты астрономиялық шығарманы авторы Ариабхатия (476-550) оның тригонометрияға қосқан үлесі төтенше зор.Брахмагупта (598-?), ол отыз жасында «Арифметикадан лекциялар» және «Анықталмаған теңдеулерден лекциялар» қатарлы арнаулы тарауларды өзі ішіне алған, «Брахма-сыбхута-ситханда» (брахманың түзетілген жүйесі) атты әйгілі шығарма жазған. Ең алғаш теріс сандарға төрт амалды қолданған міне осы Брахма гупта. Махавира (850-жылдар) «Есептеу жауһары» атты шығарнма жазған, кейбір тарихи деректерден қарағанда Қытайдың математикаылық кітаптаырынан пайдаланғандығы мәлім. Үндіс математика тарихындағы ең биік тұлға Быхаскара Акария (1114-1185) Быхаскара астрономия, арифметика, өлшеу алгебраға қатысты көптееген шығармалардың авторы, солардың ішінді қызының атын қойған арифметика мен есептеуге жататын әйгілі шығармаысы «Лайлауати» (көрікті). Алгебралық шығармасы «Вижаганита» (түбірлерді есептеу) де теріс сандарды біршама кеңірек қарнастырған. Гректеер өлшемдес емес кесінділерді ең бұрын тапсадағы бірақ оның бір сан емес екенін мойындамады. Быхаскара басқа барлық Үндістан математиктерінен асқан кереметтігі иротционал сандарды сан деп қарап, иротционал сандар мен ратционал сандар арасындағы қатаң шекараны бұзып тастағандығы. Сандардың ондық системасын Үндиялықтар алтыншы VІ ғасыырда игерді. ІХ ғасырға келгенде математик Махавира нөлді бір сан деп қарайды. Содан бастап ондық система одан ары кемелдене түседі. Қазіргі күнде бүкіл дүние жүзі қолданатын арғы түп төркіні Индыстан екендігі математика тарихынан азда болса хабары бар адамға белгілі болса керек. 773 жылы Үндыстаннан Бағдатқа көрнекті бір астроном келеді. Ол арабтарға одан 150 жыл бұрын жазылған Брахмабуттаның «Брахма-сутта-сиддыханта» атты кітабының санскирт тіліндегі нұсқасын береді. Бұл кіпты Мұхаммет Ибын Ибраһим әл-Фараби араб тіліне аударады. Араб астрономиясы міне осы кезден басталады. Хорезмидің редекциясымен ол екі рет шыққан. «Сиддыхантха» Хорезми көлемді теориялық кіріспе жазған. Хорезми өзінің «Китап әл-джам уат тафрих би хисап әл-үнді» атты кітабын үнеділердің үлгісімен жазады. Онда санау тіртібі, сандардың он сифыры арқылы жазылуы, аталуы, төрт амал, түбір шығару, жәй бөлшектерді есептеу айтылған. Бұл кітап 1150-жылы латын тіліне аударылған. Еуропалықтар Үнді сифырларын араб тіліндегі кітаптардың аудармаларынан көргендіктен араб цифры деп атағаны мәлім. Ежелгі грек ғалымы Евклид Евклид (көне грекше: Εὐκλείδης,Б.д.д. 325 – 265ж) ежелгі дәуірдегі грек математикгі. Ол математикадан жазылған теориялық алғашқы трактаттың авторы, Александрия қарамағындағы мектептің тұңғыш математигі. Оның өмірі жайлы деректер жоқтың қасы. Евклидтің басты еңбегі – «Негіздер». Онда планиметрияның, стреометрияның кейбір мәселелері талданған. Сөйтіп, ол өзінен бқрынғы грек математикасының одан әрі дамуының ірге тасын қалаған. Евклидтің «Негіздерден» басқа «Фигураны бөлу туралы», «Канустың қималары» деп аталатын еңбектері бар. Ол астраномиядан, музыкадан, т.б. салалардан да еңбектер жазған. Евклидтің бізге жеткен шығармалары мына басылымда жинақталған: «Eudidis Opera Menge». Онда грекше түр нұсқасы, латыннан аудармасы және кейінгі авторлардың түсініктемелері берілген. Евклид «Негіздерінің» математиканы дамытуда әсері орасан зор болады. Бұл еңбектен тәлім алмаған ірім-ұсақты математик жоқ деуге болады. «Негіздер» орыс тілінде тұңғыш рет 1739 жылы аударылып басталып шықты, ал ең кейінгі жаңартылған аудармасы 1948-1950 жылдары жарық көрді. Математиканы сүйетін әрбір талапкердің ғылымының классикалық бұл еңбегімен танысып аса пайдалы болар еді. "Евклид және оның «негіздері" Александриялық ұлы математикатердің алғашқы қарлығашы Евклид еді. Ол біздің заманымызға дейінгі ІІІ ғасырдың басында Александрияға шақыртылып, онда математикадан сабақ берді. Евклидтің өмірі жайлы мағлұматтар жоқтың қасы. Ол туралы тек екі аңыз сақталған, оның біріншісі, Птоломей патшаның геометрияны бейнетсіз оп-оңай білдіретіндей жол бар ма? деген сұрағына Евклид «геометрияда патшалар үшін айрықша жол жоқ» деп жауап қайтарыпты. Екінші аңыз бойынша бір шәкірт Евклидтен геометрияны оқу не пайда береді деп сұраған көрінеді. Сонда Евклид қызметшіні шақырып алып: «Оқудан пайда тапқысы келіп тұр екен, мына балаға үш теңге беріңдерші», - депті. Евклид математика, физика, астрономия, музыка ғылымдары бойынша бірнеше еңбектер жазған оқымысты. Олардың ішінде атақты «Негіздерден» басқа «Берілгендер», «Оптика», «Катоптрика» (айналар теориясы), «Сектио канонис» (музыка теориясы), «Феномондар» (теориялық астрономия) т.б. бар. Алайда ғылым тарихында Евклид ең әуелі «Негіздер» (Начала) деп аталатын математикалық еңбектің авторы ретінде бағаланды. . Ертедегі Вавилон математикасы ерекшелігі Вавилон математикасы жөнiндегi негiзгi деректердi бiз олардан мирас болып қалған сына жазуларды талдау арқылы бiлемiз. Өткен ғасырда ежелгi ассирия патшасы Ашшурбаниполдың кiтапханасынан табылды. Бұл кiтапхана вавилондықтардың мәдени өмiрiнiң түйiндi буыны болғандығын көрсетедi. Мұнда бiздiң заманымыздан бұрын 2000-3000 жылдар шамасында күйдiрiлген қыш табақшаларындағы жұмбақ белгiлер, яғни бүкiл жазудың шығуына негiз болған жиырма мың сына жазуы қалған. Олардың бiр сыпырасы математикаға арналған. Ертедегi Мысыр елiндегi сияқты Вавилон мемлекетiнде де “жазғыштар” немесе “көшiрмешiлер” дайындайтын оқу орындары көптеп ашылған. Вавилонда “Кесте үйi” деп аталатын осындай мектептерде оқу, жау, есептеу өнерлерiн үйретуге үлкен мән берiлген. Мұнда сабақ әтудiң негiзгi әдiсi – жаттау әдiсi болған. Бiзге жеткен сына жазулардағы математика сол кездегi оқушыларға арналса керек. Математика тарихшылары ғылым, әсiресе, математика тарихы үшiн осы бiр аса маңызды бұл құжаттарды аударып, жарыққа шығарды. Вавилондықтар санаудың алпыстық жүйесiн қолданған. Бұл жүйе бойынша барлық оң бүтiн және бөлшек сандар сына тәрiздес екi таңбаның жәрдемiмен өрнектелетiн боған, бiр үшiн ▲, ал он үшiн ◄ таңбасы қолданған. Вавилондықтардың таңбалау жүйесiнiң ерекшелiгi – ол бiр таңба арқылы көптеген сандарды өрнектеуге мүмкiндiк бередi. Сан алпысқа дейiн негізгі ондық принцип жазылады да, алпыстан бастап күрт өзгеретін болван. Атап айтқанда 60, 602, ..., 60n үшін қайтадан бірдің таңбасы алынады. Вавилондықтардың позициялық санау жүйесін жасауы жалпы мәдениет тарихы үшін баға жетпес зор еңбек болды. Осыдан бастап, әрбір сан үшін арнайы таңбалау қажет болмай, кез-келген санды белгілі бір таңдап алынған таңбалардың орнын ауыстыру арқылы өрнектеуге мүмкіндік туди. Бұл мысырлықтардың сандарды иероглиф таңбалау тәсілінен әлдеқайда да тиімді болды. Сондықтан да Вавилон математиктері алгебралық-арифметикалық есептеулер жөнінде өздерініңғ мысырлық әріптестерінен көш ілгері. Ертедегі Қытай математикасы ерекшелігі. Қытай математикасының алғы шарттары болып, ежелгі мәдениеттің түрлі классификациялық жүйелері табылады. Олар: инь және янь күштері, әлем айналымының бес фазасы, сегіз тригамма және тағы басқалар жайлы ұғымдар. Математиканың дамуы оның мемлекеттік басқару жүйесінің қажеттіліктеріне тікелей байланысты болды. Математика Қытайда басқа ғылымдар сияқты қызметкерлердің қажеттіліктерін қанағаттандырған болатын. Математиканың негізгі ұғымдары «Тоғыз тарауда суреттелген математика» деген еңбекте қарастырылды. Оның авторы – біздің заманымыздан бұрынғы 2 ғасырда өмір сүрген Чжан Цан. Еңбек бірнеше рет толықтырылды. 1 мыңжылдықтың ортасында қорытындыланып, тоғыз трактаттан құрылған математикалық канон болып шықты. Ежелгі қытай оқулықтарында адамдар есептеуді жіптерді түйіншектеу арқылы жүргізді делінеді. Кейін даналар түйіншектерді ағашқа салынатын белгімен алмастырған. Бірақ, иньдік жазбалардың өзінде-ақ ондық жүйенің барлық сандары кездеседі. Иньдіктер тек ондықтарды пайдаланған. Ең үлкен сан 10000(вань) болған. Оны «толық сан» деп айтқан. «Он мың жыл өмір сүріңіз» (вань суй) деген тілек осыдан шыққан. «Күресуші Патшалықтар» дәуірінен бастап (б.з.б. 5-3ғ.) қытайлар санауға арналған таяқшаларды пайдаланды. Шаршы пішіндісін оң сандарға, үшбұрыш пішіндісін теріс сандарға. Немесе қызыл түстілерді оң сандарға, ал қара түстілерді теріс сандарға пайдаланды. Кейін 12 торкөзге бөлінген тақтайлар пайда болды. Оның бетіне таяқшалар қойылып, есептеулер жүргізілді. Таяшалармен есептегенде бестік жүйе қолданылды: 1-ден 5-ке дейін сандар қарапайым таяқшалардың қосындысын құрады. Ал 6 мен 9 аралығындағы сандарда бірінші бес таяқшалардың орнына бір ғана таяқша қолданылды. Көпорынды сандар үшін таяқшаларды тік және көлденең орналастыру арқылы көрсетілді: бірліктер тақтада тігінен орналасты, ондықтар көлденеңінен орналасты, жүздіктер тігінен, мыңдықтар көлденеңінен тағы сол сияқты. Көбейту үшін таяшалардың тақтаға орналастырудың ерекше тәртібі қолданылды. Көбейтінді тақтаның жоғарғы жолына, көбейткіш оның астына жазылды. өзіндік көбейту кестесі де болған. Орта ғасырларда бестік жүйеге негізделген ерекше есептегіш шоттар да пайда болды. Шоттың негізгі рамасы тең емес екі бөлікке бөлінді. Бір рамада әрбіреуінде бес сүйектен орналасқан сымдар болды. Келесі бөлігінде әр сымда екі сүйек орналасты. Бір жағындағы бес сүйек екінші бөлігіндегі бір сүйекке тең. Ал сымдардың саны да бірдей емес, 11-ден 13-ке дейін болуы мүмкін. Соңғы кездерге дейін осындай есептегіш шот әр сауда нүктесінде кеңінен пайдаланылды. Қытайлар бөлшек сандармен қатар ондық бөлшек сандарды да пайдаланды. Бөлшектер метрлік жүйемен тығыз байланыста болды. Қытай өркениетінің негізін қалаушы Хуан-ди ұзындық өлшемдерін бамбук ағашынан жасалған сыбызғының ұзындығымен салыстырды. Эталон ретінде қытайлар қара тарының дәнін қолданды. Себебі оның ені тұрақты болды. Сыбызғының ең үлкен түтігіне жалпағынан 100 осындай дән сиды. Ал оларды ұзындығынан жатқызса 81 дән керек болады. Осыдан шығып, оларды «музыкалық аршын» (9*9) және жай аршын (10*10) деген ұзындық өлшем бірлігінің екі түрі болды. Көлемнің өлшем бірлігі де осы сыбызғының негізгі тоны болып табылатын түтігімен өлшенген. Осындай түтікке 1200 дән сиған. «Тоғыз тарауда суреттелген математика» кітабында әр тарау математикалық есептеулердің нақты түрлеріне арналған. Мысалы, «өрістерді есептеу» яғни, дәндердің көлемінің арақатынасы, «пропорциялық бөлу» яғни, квадрат және үш дәрежелі түбір санды табу, ортақ арифметикалық санын есептеу тағы сол сияқтылар. Трактаттың мәтіні бірінші, есептің шарты, шығару жолы, осыдан шығатын ортақ ереже сияқты құрылымнан тұрады. Кітаптағы мәліметтер бойынша, ежелгі қытайлықтар түзу сызықты фигуралардың ауданын табу жолын білген. Сонымен қоса оларға Пифагор теоремасымен таныс болған, шеңбердің және оның сегменттерін p=3 болғандағы ауданын есептей алған. 5 ғасырда Цзу Чунчжи р санын жетінші бөлшек санына дейін дәл есептеп шығарған. Канонда пропорция, геометриялық денелердің көлемі, теңдеулер шешу сияқты күрделі математикалық есептеулер бар. Бірқатар тарауларда алгебралық есептеулер де көрінеді, мысалы, алгоритмдер мен алгебралық өзгерістер. Алгебралық әдістер арифметикалық соның ішінде, Пифагор теоремасына қатысты есептеулер жүргізу кезінде қолданылған. Сонымен бірге математикалақ прогрессия, математикалық матрица, сызықтық жүйе, квадрат пен үш дәрежелі теңдеулер, қалдықпен бөлу сияқты есептеу жолдары да үйретіледі. Орта ғасырларда Қытай қоғамы мен шарушылығының жағдайы математика саласында жаңалықтардың ашылуына жағдай жасамады. Осы кезде шенеуніктер өздеріне қажетті мемлекетті басқаруға арналған қолданбалы есептеулердің барлығын біліп алған болатын. Негізінен математикалық есептеулердің дәстүрлі әдістері жетілдірілді. |