В каком виде искать частное решение
линейного неоднородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами
)
(x
f
qy
y
p
y
?
После долгих раздумий я принял решение создать отдельную справочную таблицу для подбора частного решения неоднородного ДУ. В методический материал сведены практически все типовые ситуации, которые могут встретиться на практике, кроме того, приведены случаи подбора частного решения для уравнений повышенной сложности.
Как всегда объяснения ведутся на конкретных примерах с минимумом формул и параметров. Обязательно прочитайте выводы на последней странице!!!
I. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня,
отличных от нуля.
Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение
)
(
2
x
f
y
y
y
Для соответствующего однородного уравнения
0 2
y
y
y
составим характеристическое уравнение
0 2
2
и найдём его корни:
1
,
2 2
1
Итак, получены различные действительные корни, среди которых нет нуля.
Правая часть
)
(x
f
В каком виде нужно искать частное решение
y
неоднородного уравнения?
1.
4
)
(
x
f
(или другая ненулевая константа)
A
y
2.
1 3
)
(
x
x
f
B
Ax
y
3.
x
x
x
f
2
)
(
C
Bx
Ax
y
2
4.
1 3
4
)
(
2 3
x
x
x
f
D
Cx
Bx
Ax
y
2 3
Примечание:
обратите внимание, что когда в правой части
)
(x
f
находится неполный многочлен, то частное решение подбирается без пропусков степеней, пример:
x
x
f
5
)
(
Это многочлен первой степени, и в нём отсутствует константа. Однако при подборе частного решения константу пропускать нельзя, то есть частное решение необходимо искать в виде
B
Ax
y
5.
x
e
x
f
3 2
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения
2 1
или
1 2
Подбор выполняем очевидным образом:
x
Ae
y
3
6.
x
e
x
x
f
)
3 2
(
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения
2 1
или
1 2
Подбор выполняем очевидным образом:
x
e
B
Ax
y
)
(
7.
x
e
x
x
f
2 2
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с корнем характеристического уравнения
2 1
. В подобной ситуации
«штатный» подбор
x
e
B
Ax
y
2
)
(
нужно домножить на «икс»:
x
e
B
Ax
x
y
2
)
(
, то есть, искать частное решение в виде:
x
e
Bx
Ax
y
2 2
)
(
Материал к уроку http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
© http://mathprofi.ru
, Емелин А. Высшая математика – просто и доступно!
8.
x
e
x
f
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с корнем характеристического уравнения
1 2
. Аналогично: «штатный» подбор
x
Ae
y
домножаем на «икс»:
x
Ae
x
y
, то есть ищем частное решение в виде:
x
Axe
y
Примечание:
обратите внимание, что опять же в случае неполных многочленов степени не теряются, например, если
x
e
x
x
f
5 2
7
)
(
(в многочлене отсутствует «икс» в первой степени и константа), то частное решение следует искать в виде
x
e
C
Bx
Ax
y
5 2
)
(
Если
x
e
x
x
f
2 2
)
1
(
)
(
(в многочлене отсутствует «икс» в первой степени), то частное решение ищем в виде
x
x
e
Cx
Bx
Ax
e
C
Bx
Ax
x
y
2 2
3 2
2
)
(
)
(
9.
x
x
f
sin
)
(
x
B
x
A
y
sin cos
10.
x
x
f
2
cos
3
)
(
x
B
x
A
y
2
sin
2
cos
11.
x
x
x
f
3
sin
4 3
cos
2
)
(
x
B
x
A
y
3
sin
3
cos
Примечание:
в подборе частного решения всегда должен присутствовать и синус и косинус
(даже если в правую часть
)
(x
f
входит только синус или только косинус).
Редко, но встречаются следующие похожие случаи:
12.
x
x
x
f
5
sin
)
(
x
D
Cx
x
B
Ax
y
5
sin
)
(
5
cos
)
(
13.
2
cos
)
1
(
)
(
x
x
x
f
2
sin
)
(
2
cos
)
(
x
D
Cx
x
B
Ax
y
14.
x
x
x
x
f
sin
2
cos
)
(
x
D
Cx
x
B
Ax
y
sin
)
(
cos
)
(
И заключительные примеры, здесь тоже всё прозрачно:
15.
x
e
x
f
x
2
sin
2
)
(
)
2
sin
2
cos
(
x
В
x
A
e
y
x
16.
x
e
x
f
x
sin
3 1
)
(
3
)
sin cos
(
3
x
В
x
A
e
y
x
17.
)
3
cos
3
sin
5
(
)
(
2
x
x
e
x
f
x
)
3
sin
3
cos
(
2
x
В
x
A
e
y
x
Примечание:
в примерах 15-17 хоть и есть экспонента, но корни характеристического уравнения
1
,
2 2
1
нас уже совершенно не волнуют – подбор частного решения идёт штатным образом без всяких домножений на «икс».
Материал к уроку http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
© http://mathprofi.ru
, Емелин А. Высшая математика – просто и доступно!
II. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня,
один из которых равен нулю.
Такой диффур имеет вид
)
(x
f
y
p
y
Пример: Рассмотрим подопытное неоднородное уравнение
)
(
3
x
f
y
y
Для соответствующего однородного уравнения
0 3
y
y
составим характеристическое уравнение
0 3
2
и найдем его корни:
0
,
3 2
1
Получены различные действительные корни, один из которых равен нулю.
Правая часть
)
(x
f
В каком виде нужно искать частное решение
y
неоднородного уравнения?
Правило:
Если в правой части
)
(x
f
находится ненулевая константа или многочлен, и один из корней характеристического уравнения равен нулю, то «очевидный» подбор частного решения необходимо домножить на «икс»:
18.
10
)
(
x
f
A
x
y
, то есть частное решение ищем в виде
Ax
y
19.
x
x
f
2
)
(
)
(
B
Ax
x
y
, т.е. частное решение ищем в виде
Bx
Ax
y
2
20.
3
)
(
2
x
x
f
)
(
2
C
Bx
Ax
x
y
или
)
(
2 3
Cx
Bx
Ax
y
21.
3
)
(
x
x
f
)
(
2 3
D
Cx
Bx
Ax
x
y
или
)
(
2 3
4
Dx
Cx
Bx
Ax
y
Если в правую часть входит экспонента или экспонента, умноженная на многочлен, то подбор частного решения следует проводить по тем же принципам, по которым он проведён в примерах № 5-8.
На всякий случай еще пара примеров:
22.
x
e
x
x
x
f
3 2
)
2
(
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения
3 1
x
e
C
Bx
Ax
y
3 2
)
(
23.
x
e
x
x
f
3
)
1
(
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с корнем характеристического уравнения
3 1
. Поэтому «обычный» подбор
x
e
B
Ax
y
3
)
(
нужно домножить на «икс»:
x
e
B
Ax
x
y
3
)
(
, то есть, искать частное решение в виде:
x
e
Bx
Ax
y
3 2
)
(
Если правая часть
)
(x
f
имеет вид из примеров № 9-17, то подбор осуществляется точно так же, как уже разобрано – в штатном режиме см.
Раздел I
Дополнительный пример:
Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка:
)
(x
f
y
y
. Для соответствующего однородного уравнения
0
y
y
составим характеристическое уравнение
0 2
3
и найдем его корни:
1
,
0 3
2
,
1
Если получено два кратных нулевых корня и в правой части
)
(x
f
находится многочлен
(аналогично примерам № 18-21), то «штатный» подбор нужно домножать уже на
2
x
Например, если
x
x
f
3
)
(
, то частное решение следует искать в виде:
)
(
)
(
2 3
2
Bx
Ax
B
Ax
x
y
Материал к уроку http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
© http://mathprofi.ru
, Емелин А. Высшая математика – просто и доступно!
III. Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня
Если эти корни равны нулю
0 2
,
1
, то речь идёт об уравнении
)
(x
f
y
, которое проще решить двукратным интегрированием правой части: http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_dopuskajushie_ponizhenie_poryadka.html
Если же корни ненулевые, то выполняем подбор.
Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение
)
(
4 4
x
f
y
y
y
Для соответствующего однородного уравнения
0 4
4
y
y
y
составим характеристическое уравнение
0 4
4 2
и найдем его корни:
2 2
,
1
Получены кратные (совпавшие) действительные корни
Правая часть
)
(x
f
В каком виде нужно искать частное решение
y
неоднородного уравнения?
)
(x
f
– ненулевая константа или многочлен
Если
0 2
,
1
, то подбор частного решения следует осуществлять
«штатным» способом точно так же, как в примерах № 1-4; если
0 2
,
1
, то «очевидный» подбор следует домножить на
2
x
либо дважды проинтегрировать правую часть.
24.
x
e
x
f
5
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с кратным корнем характеристического уравнения
2 2
,
1
x
Ae
y
25.
x
e
x
f
2 2
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с кратным корнем характеристического уравнения
2 2
,
1
. Поэтому очевидный подбор
x
Ae
y
2
следует домножить на
2
x
:
x
Ae
x
y
2 2
и искать частное решение в виде:
x
e
Ax
y
2 2
26.
x
e
x
x
f
2
)
1 5
(
)
(
Коэффициент в показателе экспоненты:
совпал с кратным корнем характеристического уравнения
2 2
,
1
. Поэтому
«штатный» подбор
x
e
B
Ax
y
2
)
(
следует домножить на
2
x
:
x
e
B
Ax
x
y
2 2
)
(
, то есть искать частное решение в виде:
x
e
Bx
Ax
y
2 2
3
)
(
Если правая часть
)
(x
f
имеет вид из примеров № 9-17, то подбор осуществляется обычным образом – см.
Раздел I
Материал к уроку http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
© http://mathprofi.ru
, Емелин А. Высшая математика – просто и доступно!
IV. Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни: i
2
,
1
, причём0
,
0
Пример: Рассмотрим неоднородное уравнение
)
(
10 6
xfyyy
Для соответствующего однородного уравнения
0 10 6
yyy составим характеристическое уравнение
0 10 6
2
и найдем его корни:
i
3 2
,
1
Получены сопряженные комплексные корни с ненулевой действительной частью
Правая часть )
(
xfВ каком виде нужно искать частное решение yнеоднородного уравнения? Подбор частного решения осуществляется очевидным образом (см. примеры № 1-6
,
9-14
) за исключением следующих видов правой части:
27.
xexfx2
sin
2
)
(
3
Проще
всего объяснить так, берём правую часть и составляем сопряженные комплексные числа:
Полученные сопряженные комплексные числа
i2 3
не совпадают с корнями характеристического уравнения
i
3 2
,
1
, поэтому частное решение следует искать в обычном виде:
)
2
sin
2
cos
(
3
xВxAeyx
28.
xexfxcos
2
)
(
3
Составляем сопряженные комплексные числа:
Составленные сопряженные комплексные числа
i
3
совпали с корнями характеристического уравнения
i
3 2
,
1
, поэтому
«обычный» подбор частного решения следует домножить на
«икс»:
)
sin cos
(
3
xBxAexyx
или:
)
sin cos
(
3
xВxxAxeyx
29.
)
sin
3
cos
5
(
)
(
xxexfx
Составленные сопряженные комплексные числа
i
1
не совпадают с корнями характеристического уравнения
i
3 2
,
1
, поэтому частное решение ищем в виде:
)
sin cos
(
xВxAeyx
Материал к уроку http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html
© http://mathprofi.ru
, Емелин А. Высшая математика – просто и доступно!
30.
)
sin
2
cos
(
)
(
3
xxexfx
Составленные сопряженные комплексные числа
i
3
Скачать 7.51 Mb.