Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА Ю. И. Попов ЛЕКЦИИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград 2013 Глава II. Векторы и операции над ними УДК 514(075.3) ББК я П Рецензенты Р. А. Александрова, канд. пед. наук, профессор кафедры педагогики и информационных технологий Высшей школы педагогики БФУ им. И. Канта Т. П. Фунтикова, канд. физмат. наук, доцент, завкафедрой гуманитарных наук Калининградского института экономики Попов Ю. И. П58 Лекции по аналитической геометрии : учеб. пособие / БФУ им. И. Канта. — Калининград, 2013. — 211 с. Представлены учебные материалы, соответствующие программе (тематическому плану) курса аналитической геометрии для студентов I курса Института прикладной математики и информационных технологий БФУ им. И. Канта. УДК 514(075.3) ББК я © Попов Ю. И, 2013 © БФУ им. И. Канта, 2013 § 1. Линейные операции над векторами 3 Глава ВЕКТОРЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ § 1. Линейные операции над векторами 1. Основные понятия Отрезок называется направленным, если принимается во внимание порядок, в котором заданы его концы. Вектором называется направленный отрезок. На рисунке направление вектора обычно обозначают стрелкой. Если начало вектора находится в точке А, конец — в точке В, то вектор обозначается символом AB или a (рис. 1.1): a А В Рис. 1.1 В целях общности изложения удобнее рассматривать каждую точку как частный случай направленного отрезка, начало и конец которого совпадают, те. AA O — нулевой направленный отрезок или нуль-вектор. Длиной ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина нулевого вектора равна 0, те. AB AB , 0 0 . ). [ ) [ ), [ ) [ CD AB CD AB CD AB CD AB Два вектора AB и CD равны тогда и только тогда, когда они равны по длине и сонаправлены, те. , CD AB CD AB CD AB Глава I. Векторы и операции над ними 4 Лемма. AB CD AC BD Два вектора равные по длине и противоположно направленные называются противоположными. В С a a А D Рис. 1.2 На рис. 1.2 векторы AB и CD противоположные, те. AB CD и AB = CD . Если AB = a , то CD = a . Очевидно, что Вектором, противоположным вектору BA , является AB , поэтому — ( a ) = a Вектором, противоположным нуль-вектору, является нуль-вектор. Пример. Какие из указанных на рис. 1.3 векторов являются равными, а какие противоположными B C A B O F C A M D D Рис. 1.3 1 § 1. Линейные операции над векторами 5 Вектор называется единичным или ортом, если его длина равна единице. Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называется свободным. В дальнейшем будем рассматривать свободные векторы. Векторы a и b называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны, те. ) l b ; l a ( b a . Отметим, что если из двух векторов, по крайней мере, один нулевой, то эти векторы коллинеарны, те. нуль-вектор 0 считается коллинеарным любому вектору. 2. Сложение и вычитание векторов Пусть даны векторы a и b . От какой-нибудь точки А отложим вектор AB = a , затем от точки В отложим вектор BC = b . Вектор AC = c называется суммой векторов a и b и обозначается так b a c (рис. 1.4). B a b A c b a C Рис. 1.4 Покажем, что вектор c определяется с помощью векторов a и однозначно, независимо от выбора точки А, от которой откладывается вектор a . Пусть вместо точки А взята другая точка Аи выполнено аналогичное построение a B A 1 1 , b C B 1 1 . Докажем что 1 1 AC A C Глава I. Векторы и операции над ними 6 Так как ( 1 1 B A AB , 1 1 C B BC ) ( 1 1 1 1 , CC BB BB AA ) 1 1 1 1 C A AC CC AA (лемма) (лемма) Заметим, что для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов приходится строить треугольник ( ABC). Поэтому указанное правило сложения векторов в общем случае называется правилом тре- угольника Это правило можно сформулировать так для любых точек А, В, С справедливо равенство) а. Применим это правило к точкам А, В, А, получим 0 ) ( a a AA BA AB (1.2) б. Аналогично, для трех точек А, В, В a a AB BB AB 0 (1.3) в. Правило треугольника применим к точкам А, А, В a a AB AB AA 0 (1.4) Если слагаемые векторы неколлинеарны, то для построения их суммы можно пользоваться другим способом — правилом параллелограмма (рис. 1.5) В СО Рис. 1.5 § 1. Линейные операции над векторами Для c , b справедливы равенства (законы 1) a b b a (переместительный или коммуникативный) 2) ) c b ( a c ) b a ( (сочетательный или ассоциативный законы. Правило многоугольника. Пусть даны n(n 3) векторов n a , ... , a , a 2 1 . От произвольной точки О плоскости отложим последовательно векторы 1 1 a OA , 2 2 1 a A A , …, n n n a A A 1 . Вектор s OA n называется суммой векторов n a , ... , a , a 2 и обозначается n a ... a a S 2 Рис. 1.6 Разностью векторов a и b называется такой вектор x , что b + x = a (1.5) Докажем, что разность любых векторов a и b существует и определяется однозначно. 1) Составим (построим) вектор Докажем, что вектор ) b ( a удовлетворяет уравнению (1.5): ( ( )) (( ) ) ) ( ( )) 0 b a b b b a a b b a a a 1 a 2 a 3 a 4 a S 3 a 2 a 1 a 4 a Глава I. Векторы и операции над ними 8 2) Теперь докажем, что вектор x определяется однозначно. Допустим, что существует y такой, что a y b (1.6) Из (1.5) и (1.6) следует y b x b (1.7) Прибавим к обеим частям равенства (1.7) вектор ) b ( , получим x ) b ) b (( ) y b ( ) b ( ) x b ( ) b ( (( ) ) 0 0 b b y x y x y Разность векторов a и b обозначается так b a . Тогда ) b ( a b a (1.8) Из формулы (1.1) в силу определения (1.5) имеем AB AC BC (1.9) Правило вычитания векторов Для любых трех точек А, В, С плоскости выполняется равенство (1.9). Из формулы (1.1) и (1.9) следует правило Слагаемое в векторном равенстве можно переносить из одной части равенства в другую, меняя его знак на противоположный. 3. Умножение вектора на число Произведением вектора a на действительное число называется вектор p , который удовлетворяет условиям а) a p , где — модуль числа . b) a p , если 0, a p , если 0. Обозначение a p § 1. Линейные операции над векторами Из условия а) определения следует, что 0 p тогда и только тогда, когда = 0 или 0 a , те. 0 0 , 0 0 Для произвольных чисел , и векторов b , a справедливы следующие свойства 1). a a 1 , a a ) ( 1 , 2). ( ) ( ) a a (ассоциативный закон, 3). b a ) b a ( (I дистрибутивный закон относительно сложения векторов, 4) a a a ) ( (II дистрибутивный закон относительно сложения чисел. § 2. Признаки коллинеарности и компланарности векторов Теорема 1. Если векторы a и b коллинеарны и 0 a , то существует единственное число такое, что b a (2.1) I. Сначала докажем существование числа , удовлетворяющего равенству (2.1). Так как ) b a b a ( b || a 1). Рассмотрим случай b a . Положим a b и введем вектор a a b b 1 . Докажем, что 1 b b Действительно, имеем 1 1 1 1 a) , b) ( ; ) b b a b b b a b a a b b b , Значит, число удовлетворяет равенству (2.1) 2). Пусть теперь b a . Рассмотрим число a b и вектор a a b b 2 Глава I. Векторы и операции над ними 10 Находим, что , b b b b ) b a ; a b ( b , b a a b b a 2 2 2 те. число a b удовлетворяет в этом случае равенству (2.1). II. Докажем теперь, что число , удовлетворяющее условию (2.1), определяется однозначно. Предположим, что каким-то другим способом нашли число такое, что b a (2.2) Из равенства (2.1) и (2.2) следует, что 0 0 a ) ( a a , так как 0 a Теорема 2. (Признак коллинеарности векторов. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует (единственное) число такое, что a b , те b b a (2.3) Необходимость. Пусть b || a . По теореме 4 следует, что a b , причем — единственное число. Достаточность. Если a || b a b по определению операции умножения вектора на число. Будем говорить, что вектор a параллелен плоскости , если он параллелен некоторой прямой, лежащей в этой плоско- сти Очевидно, если вектор || a , то параллелен любой плоскости, параллельной плоскости . Векторы a , b , c называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны § 2. Признаки коллинеарности и компланарности векторов D 1 C 1 A 1 D C A Рис. 1.7 1 1 B A , AD , AC — компланарны, AB , AD , 1 AA — некомпланарны компланарны. Теорема 3. Если векторы a , b и c компланарны, а векторы и b неколлинеарны, то существуют единственные числа и такие, что c = a + b (2.4) 1). Сначала докажем существование чисел и , удовлетворяющих равенству (2.4). Отложим от некоторой точки О векторы a OA , b OB , c OC . Эти векторы компланарны, поэтому точки О, А, В, С лежат водной плоскости, причем точки О, Аи Вне лежат на одной прямой (векторы a OA , b OB неколлинеарны. Если точка С лежит на прямой ОВ, то векторы b OB и c OC коллинеарны, поэтому по теореме 1 следует b a c b c 0 . Таким образом, имеет место равенство (2.4). Рассмотрим случай, когда точка Сне лежит на прямой ОВ (рис. 1.8). B В Глава I. Векторы и операции над ними 12 Рис. 1.8 Проведем прямую OB || CC 1 , где Сточка прямой ОА. По правилу треугольника C C OC OC 1 1 . Но OA || OC 1 , OB || CC 1 , поэтому существуют числа и такие, что 1 OC a , 1 CC b (теорема 1). Следовательно, те. имеет место равенство (2.4). 2). Докажем, что числа и , удовлетворяющие равенству (2.4), определяются однозначно. Предположим, что существуют числа 1 и такие, что 1 1 c a b (2.5) Из равенств (2.4) и (2.5) получаем 1 1 ( ) ( ) 0 a b (2.6) Мы утверждаем, что 0 1 и 0 1 . В самом деле, если, например, допустить, что 0 1 , то из равенства (2.6) находим b || a b a 1 1 , что невозможно, так как по условию теоремы Итаки единственность разложения (2.4) доказана. Верно и обратное утверждение. ВО АСС ВО А a b с с С |