Попов Анал. Геом. Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград

• Название: Лекции по аналитической геометрии рекомендовано кафедрой фундаментальной математики в качестве учебного пособия Калининград
• Дата: 26.10.2022
• Размер: 3.17 Mb.
• Имя файла: Попов Анал. Геом.pdf
• Тип: Лекции; #755703
• страница: 19 из 19

§ 6. Диаметральные плоскости, центр поверхности го порядка Следствие Если поверхность
(1) не имеет ни одного центра, то существует система координат, относительно которой хотя бы один из коэффициентов а, а, а отличен от нуля. Теорема 6.14. Всякая поверхность
 (1), имеющая бесконечное множество центров, является цилиндрической поверхностью. Если цилиндрическая поверхность
(1) имеет хотя бы один центр, то она имеет бесконечное множество центров.
1) Пусть поверхность
(1) имеет бесконечное множество центров. Тогда В 3 ив силу теоремы 6.5. следует, что поверхность
 — цилиндрическая) Пусть поверхность
 — цилиндрическая. Тогда  В R 2.
Если поверхность
(1) имеет один центр и R ≤ 2 (см. п. 3 § 6), то поверхность имеет и бесконечное множество центров. Теорема 6.15. Для того, чтобы поверхность

(1) была конической, необходимо и достаточно, чтобы она имела по крайней мере один центр, принадлежащий самой поверхности. Этот центр будет вершиной конической поверхности.
§ 7. Упрощение уравнения поверхности второго порядка путем преобразования системы координат
1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат поверхность второго порядка
 задана уравнением







 

i j i
ij i0 00
: a x x
2a x a
0.
(1) Из теоремы 6.9 следует Теорема 6.16
. Какова бы ни была поверхность второго порядка, всегда существует такая прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имеет следующий вид
2 2
2 11 22 33 10 20 30 00
a x a y a z
2a x 2a y 2a z a
0.







(2)

Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка
200
В силу теоремы 6.9 поверхность имеет три взаимно перпендикулярных главных направления. Выберем новую систему координат так, чтобы новые координатные оси имели главные направления. Пусть
  
i, j, k — новые координатные векторы, тогда каждый из них имеет главное направление и, следовательно, все три вектора попарно сопряжены. Из условий сопряженности векторов
  
i, j, k следует а = 0; а = 0; а = 0, те. поверхность
(1) примет вид (2). Из теоремы 6.16 следует, что путем поворота системы координат всегда можно упростить уравнение поверхности
(1), приведя его к виду, не содержащему произведений переменных.
2. Согласно теореме 6.13, если поверхность
(1) имеет хотя бы один центр то, приняв егоза начало координат, мы можем добиться того, чтобы уравнение поверхности не содержало членов первой степени. Итак, принимая во внимание теорему 6.16, приходим к выводу. Теорема 6.17. Если поверхность
 (1) имеет а) один центр, то всегда существует такая прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности
 (1) имеет вид








2 2
2 11 1
22 2
33 3
00
a x a x a x a
0,
(3) б) прямую центров, то уравнение (1) приводится к виду






2 2
11 1
22 2
00
a x a x a
0,
(4) в) плоскость центров, то уравнение (1) приводится к виду




2 11 1
00
a x a
0.
(5)
3. Пусть поверхность (2) не имеет ни одного центра. Согласно следствию теоремы 6.13. в любой системе координат уравнение (2) содержит хотя бы один член первой степени.

§ 7. Упрощение уравнения поверхности го порядка путем преобразования системы координат Теорема 6.18
. Если поверхность

(2) не имеет ни одного центра, то всегда существует такая прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имеет вид А + Вили А =

z .
(7)
Так как поверхность (2) не имеет ни одного центра, то хотя бы один из коэффициентов а, а, а равен нулю. Действительно, если все коэффициенты а ≠ 0; а ≠ 0; а ≠0, то r
B
= 3, что означает поверхность) имеет центр. Не нарушая общности, можно предположить, что а = 0. Возможны два случая а) а ≠ 0; а
≠ 0, б) а ≠ 0, а = 0
 а ≠ 0, а = 0. Рассмотрим каждый их этих случаев в отдельности. а) а ≠ 0; а ≠ 0. Уравнение (2) запишем так






2 2
11 1 22 2 10 1 20 2 30 3 00
a x a х x
2a х х a
0.
(8) Рассмотрим матрицы









 











11 10 11 22 22 20 а 0 0 а а 0 В а 0 ; В а 0 а 0 0 0 0 0 а r
B
= 2, тогда

B
r
3 (поверхность не имеет центров. Отсюда находим, что а ≠ 0. Разделив уравнение (8) на аи вводя новые обозначения для коэффициентов, получаем



 
2 2
1 2
1 2
3
Ax
Bx
2Cx
2Dx
F x ,
(9) где А ≠0, В ≠ 0. Преобразуем уравнение (9)








 









2 2
2 2
1 СВ х x
F
А
B
A
B
Введем новую прямоугольную декартову систему координат так, чтобы



1 1
C
x x
;
A



2 2
D
x x
;
B


 

2 2
3 3
2
C
D
x x
F
B
A

Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка
202 Тогда уравнение (9) приводится к виду (6). б) а ≠ 0, а = а = 0. В данном случае уравнение (2) примет вид





2 11 1 10 1 20 2 30 3 00
a x
2a x
2a х х a
0.
(10) Так как поверхность (10) не имеет ни одного центра то, также как в пункте а, можно показать, что хотя бы один из коэффициентов а или а неравен нулю. Сначала рассмотрим случай, когда один из коэффициентов равен нулю а = 0
 а = 0. Разделив уравнение (10) на аи вводя новые обозначения для коэффициентов, получаем

 
2 1
1 1 3
Аx
2В С х , где А ≠ 0. Преобразуем это уравнение




 




2 2
1 3
В
В
А х х
С
А
А
Введем новую прямоугольную декартову систему координат так, чтобы



1 В x
;
A


2 2
x x ;


 
2 В СВ этой системе координат уравнение поверхности (2) примет вид
(7). Можно показать, что при а ≠ 0; а ≠ 0 уравнение (10) приводится к виду (7). Резюмируя результаты § 7, приходим к выводу Теорема 6.19
. Уравнение поверхности
 (1), заданной в прямоугольной декартовой системе координат, путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат можно привести к одному из следующих видов


 



2 2
2
Аx
Вy
Сz
D 0, A 0, B 0, C 0;
(11)




2 2
Аx
Вy z, A 0, B 0;
(12) А z, A 0;
(13)

§ 7. Упрощение уравнения поверхности го порядка путем преобразования системы координат




2 2
Аx
Вy
C, A 0, B 0;
(14) А, A 0. (15)
§ 8. Классификация поверхностей второго порядка
1.
Центральные поверхности второго порядка. Из теоремы 6.19 следует, что уравнение любой центральной поверхности го порядка можно привести к виду (11)§ 7:






 
2 2
2
A x
B y
C z
D 0,
(1) где А 0, В 0, С 0 . Рассмотрим два случая
I


D 0. Разделив на (

D ) и переобозначив коэффициенты, получим



2 2
2
Ax
By
Cz
1.
(2) а) A > 0, B > 0, C > 0,



2 2
2 1
1 А, В, а Уравнение (2) в этом случае задает эллипсоид
1
c z
b у
а х 2
2 2
2 2



(3) б) А > 0; B >0; C < 0 (один из коэффициентов отрицателен. Уравнение) приводится к виду



2 2
2 2
2 х у
z
1.
а b
c
(4) Поверхность (4) называется однополостным гиперболоидом. в) A < 0, B < 0, C > 0 (два коэффициента в уравнении (2) отрицательны. Тогда
(2)
 


 


 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 х уху а b
c а c
(5)

Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка
204 Поверхность (5) называется двуполостным гиперболоидом. г) A < 0, B < 0, C < 0. Уравнение (2) принимает вид


 
2 2
2 2
2 х у
z
1.
а b
c
(6) Уравнение (6) задает мнимый эллипсоид.
II


D 0. Уравнение (2) запишем в виде
Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
= 0.
(7) a) A > 0, B > 0, C > 0 (или А < 0, B < 0, C < 0). Уравнение (7) приводится к виду



2 2
2 2
2 х у
z
0.
а b
c
(8) Уравнение (8) задает мнимый конус. б) A >0, B > 0, C < 0 (один из коэффициентов в уравнении (7) отрицателен или любые два. Уравнение (7) в этих случаях приводится к виде



2 2
2 2
2 х у
z
0.
а b
c
(9) и задает действительный конус. Итак, имеется шесть и только шесть видов центральных поверхностей го порядка.
2. Поверхности го порядка, не имеющие ни одного центра. Согласно теореме 6.19 уравнение такой поверхности приводится к виду (12) § 7 или (13) § 7:
Ax
2
+ By
2
= z, A ≠ 0; B ≠ 0.
(10)
Ax
2
= z, A ≠ 0.
(11) Рассмотрим сначала поверхности вида (10). а) A > 0; B > 0
 A < 0; B < 0. Если ввести обозначения


2 2
1 А В
,
2а
2b то уравнение (10) приводится к виду


2 2
2 х у а)

§ 8. Классификация поверхностей го порядка Поверхность (12) называется эллиптическим параболоидом. б) A > 0, B < 0
 A < 0, B > 0. В этом случае поверхность (10) имеет вид


2 2
2 х у
2z.
а b
(13) и называется гиперболическим параболоидом. Рассмотрим поверхность (11). Если ввести обозначение Ар, то уравнение (11) принимает канонический вид x
2
= 2pz.
(14) Поверхность (14) называется параболическим цилиндром. Вывод Существует три и только три поверхности второго порядка (1) эллиптический параболоид, 2) гиперболический параболоид, 3) параболический цилиндр) не имеющих ни одного центра. Поверхности второго порядка, имеющие прямую центров. Согласно теореме 6.19 уравнение любой такой поверхности приводится к виду Ах + Ву
2
= С, А ≠ 0, В ≠ 0.
(15) Рассмотрим два случая
I. С ≠ 0. а) A > 0; B > 0; C > 0. Разделим на С обе части уравнения
(15) и переобозначив коэффициенты приведем уравнение к каноническому виду


2 2
2 х у
1.
а b
(16) Поверхность (16) называется эллиптическим цилиндром. б) A > 0; B < 0; C > 0
 (A < 0; B > 0; C < 0). В этом случае уравнение (15) приводится к виду


2 2
2 х у
1
а b
(17) Уравнение (17) задает гиперболический цилиндр. в) A > 0; B > 0; C < 0
 (A < 0; B < 0; C > 0).

Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка
206 Тогда уравнение (15) имеет канонический вид

 
2 2
2 х у
1
а b
(18) и задает мнимый эллиптический цилиндр.
II
. С = 0. Введем обозначения


2 2
1 А В
а а) A > 0; B > 0;
 A < 0; B < 0. Уравнение (15 принимает канонический вид


2 2
2 х у
0
а b
(19) Уравнением (19) задается пара мнимых пересекающихся плос-
костей
б) A > 0; B < 0
 A < 0; B > 0. В этом случае уравнение (150 имеет такой канонический вид


2 2
2 х у
0
а b
(20) Уравнение (20) задает пару действительных пересекающихся
плоскостей.
Вывод
: Существуют пять и только пять видов поверхностей второго порядка, имеющих прямую центров. Поверхности го порядка, имеющие плоскость центров. Уравнение такой поверхности согласно теореме 6.19 приводится к виду Ах = С, А ≠ 0.
(21) Возможны случаи
I
. С ≠ 0. а) A > 0; C > 0
 (A < 0; C < 0). В этом случае имеем уравнение видах а = 0.
(22) Поверхность (22) — есть пара параллельных действительных плоскостей

§ 8. Классификация поверхностей го порядка б) A > 0; C < 0
 (A < 0; C > 0). Тогда уравнение (21) приводится к виду ха) Уравнение (23) задает пару мнимых параллельных плоскостей.
II. C = 0. Уравнение (21) имеет вид хи задает пару совпавших
плоскостей
Вывод
: Существуют три и только три вида поверхностей второго порядка, имеющих плоскость центров
Резюмируя результаты § 8, мы приходим к выводу, что существуют семнадцать и только семнадцать поверхностей второго порядка (см. таблицу
1. Эллипсоид
1
c х ха х 2
3 2
2 2
2 2
1



1 2. Однополостный гиперболоид
1
c х ха х 2
3 2
2 2
2 2
1



1 3. Двуполостный гиперболоид
1
c х ха х 2
3 2
2 2
2 2
1




1 4. Мнимый эллипсоид
1
c х ха х 2
3 2
2 2
2 2
1




1 5. Коническая поверхность
0
c х ха х 2
3 2
2 2
2 2
1



1 6. Мнимый конус
0
c х ха х 2
3 2
2 2
2 2
1



1 7. Эллиптический параболоид
3 2
2 2
2 х ха х 8. Гиперболический параболоид
3 2
2 2
2 х ха х 9. Эллиптический цилиндр
1
b ха х 2
2 2
2 1


∞
4 10. Гиперболический цилиндр
1
b ха х 2
2 2
2 1


∞
1

Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка Окончание табл.
11. Мнимый эллиптический цилиндр
1
b ха х 2
2 2
2 1



∞
1 12. Параболический цилиндр
3 2
1
рх
2
х

0 13. Пара пересекающихся плоскостей
0
b ха х 2
2 2
2 1


∞
1 14. Пара мнимых плоскостей
0
b ха х 2
2 2
2 1


∞
1 15. Пара параллельных плоскостей ах. Пара мнимых параллельных плоскостей ах. Пара совпавших плоскостей х 1

∞
2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Атанасян Л.
С. Геометрия. ЧМ Просвещение, 1973.
2. Атанасян Л.
С. Аналитическая геометрия в пространстве. М. : Просвещение. Атанасян Л.
С., Базылев ВТ Геометрия. ЧМ Просвещение, 1986.
4. Атанасян Л.
С., Базылев ВТ Геометрия. ЧМ Просвещение, 1987.
5. Моденов ПС, Пархоменко АС. Сборник задач по аналитической геометрии. М. : Наука, 1976.
6. Атанасян Л.
С., Атанасян В.
А. Сборник задач по аналитической геометрии. М. : Просвещение, 1968.
7. Попов Ю.
И. Векторы в школьном курсе геометрии : методическое пособие. Калининград : Янтарный сказ, 1998.
8. Попов Ю.
И. Методы решения стереометрических задач с помощью вкторного аппарата : учебное пособие. Калининград : БФУ им. И. Канта, 2012.
9. Попов Ю.
И. Стереометрия. Методы и приемы решения задач. Калининград БФУ им. И. Канта, 2010.
10. Цубербиллер ОН Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
СПб. ; М. ; Краснодар, 2003.

210 СОДЕРЖАНИЕ Глава I. Векторы и операции над ними
§ 1. Линейные операции над векторами .................................................
3
§ 2. Признаки коллинеарности и компланарности векторов .................
9
§ 3. Линейная зависимость векторов
§ 4. Координаты векторов и точек в пространстве и на плоскости
§ 5. Проекция вектора на ось ...................................................................
26
§ 6. Скалярное произведение векторов ..................................................
30
§ 7. Векторное произведение векторов
§ 8. Смешанное произведение векторов. 41 Глава II. Линии первого и второго порядка на плоскости. 45
§ 1. Формулы преобразования декартовой системы координат. 45
§ 2. Полярная система координат. 49
§ 3. Различные способы задания прямой на плоскости ........................ 52
§ 4. Расстояние от точки до прямой на плоскости ................................. 59
§ 5. Угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости. 60
§ 6. Эллипс. 62
§ 7. Гипербола ........................................................................................... 65
§ 8. Парабола. 69 Глава III. Плоскость и прямая в пространстве ........................................ 71
§ 1. Различные способы задания плоскости в пространстве. 71
§ 2. Различные способы задания прямой в пространстве .................... 77
§ 3. Формулы для вычисления расстояний между основными геометрическими объектами в пространстве ....................................... 82
§ 4. Формулы для вычисления углов между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. 87
§ 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. 91 Глава IV. Изучение поверхностей второго порядка по каноническим уравнениям ..................................................................................... 96
§ 1. Поверхности второго порядка. Метод сечений ............................... 96
§ 2. Поверхности вращения. 99
§ 3. Цилиндрические поверхности. 103

§ 4. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения. 107
§ 5. Эллипсоид. 111
§ 6. Гиперболоиды. 115
§ 7. Параболоиды. 122
§ 8. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка ...... 126
§ 9. Приложение к решению задач школьного курса геометрии. 132 Глава V. Общая теория линий второго порядка ..................................... 137
§ 1. Мнимые точки плоскости. Общее уравнение линии второго порядка. Пересечение линии второго порядка с прямой. Асимптотические направления. 140
§ 3. Центр линии второго порядка ........................................................... 145
§ 4. Касательная к линии второго порядка ............................................. 148
§ 5. Диаметры линии второго порядка. Сопряженные направления. 152
§ 6. Главные направления. Главные диаметры ..................................... 157
§ 7. Классификация линий второго порядка ........................................... 160
§ 8. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду и построение ее точек ......................................................... 164
§ 9. Инварианты линии второго порядка. 170
§ 10. Определение вида линий второго порядка по инвариантам. Классификация линий второго порядка по инвариантам. 174 Глава VI. Общая теория поверхности второго порядка ........................ 180
§ 1. Пересечение поверхности го порядка с прямой .......................... 180
§ 2. Пересечение поверхности го порядка с плоскостью ................... 183
§ 3. Цилиндрические поверхности го порядка. 184
§ 4. Конические поверхности го порядка. 187
§ 5. Сопряженные и главные направления относительно поверхности го порядка ............................................................................. 190
§ 6. Диаметральные плоскости, центр поверхности го порядка. 195
§ 7. Упрощение уравнения поверхности го порядка путем преобразования системы координат. 199
§ 8. Классификация поверхностей го порядка .................................... 203 Список литературы ....................................................................................... 209

212 Учебное издание Попов Юрий Иванович ЛЕКЦИИ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Компьютерная верстка Г.
И. Винокуровой Подписано в печать 09.09.2013 г. Формат 70
100 1
/
16
. Усл. печ. л. 17,2 Тираж 100 экз. Заказ Отпечатано полиграфическим отделом Издательства Балтийского федерального университета им. И. Канта
236041, г. Калининград, ул. А. Невского, 14