математика. Матричной записью решения системы линейных уравнений
 Скачать 9.39 Kb.
|
|
Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(3,1,3) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=1•(2•2-1•2)-3•(2•2-1•3)+4•(2•2-2•3)=-9 Итак, определитель -9 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица к матрице A имеет вид: Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=(2•2-2•1)=2 ∆1,2=-(2•2-3•1)=-1 ∆1,3=(2•2-3•2)=-2 ∆2,1=-(3•2-2•4)=2 ∆2,2=(1•2-3•4)=-10 ∆2,3=-(1•2-3•3)=7 ∆3,1=(3•1-2•4)=-5 ∆3,2=-(1•1-2•4)=7 ∆3,3=(1•2-2•3)=-4 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B XT=(0.11,-1.89,2.22) x1=-1 / (-9)=0.11 x2=17 / (-9)=-1.89 x3=-20 / (-9)=2.22 Проверка. 1•0.11+2•(-1.89)+3•2.22=3 3•0.11+2•(-1.89)+2•2.22=1 4•0.11+1•(-1.89)+2•2.22=3 Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: Решение методом обратной матрицы Вместе с этой задачей решают также: Решение систем методом Крамера Система уравнений методом Гаусса Обратная матрица методом Жордано-Гаусса Обратная матрица через алгебраические дополнения Умножение матриц онлайн Матричный калькулятор Аналитическая геометрия и векторная алгебра По координатам пирамиды найти: уравнение плоскостей, уравнение прямых |