Учебнометодический комплекс для студентов специальностей Прикладная математика
 Скачать 8.42 Mb.
|
|
Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 1 из 275 Назад На весь экран Закрыть УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Интегральное исчисление функций многих переменных Учебно-методический комплекс для студентов специальностей «Прикладная математика» и «Экономическая кибернетика» Брест БрГУ имени А.С. Пушкина 2011 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 2 из 275 Назад На весь экран Закрыть Авторы: Шило Таисия Ильинична - кандидат физико-математических наук, доцент Рецензенты: Семенчук Николай Павлович - кандидат физико-математических наук, доцент Климашевская Ирина Николаевна - кандидат физико-математических наук, доцент Книга знакомит читателя с кратными, криволинейными и поверх- ностными интегралами и с методами их вычисления. В ней приведены примеры геометрического, механического и физического содержания. В заключительной главе предлагаются контрольные (аттестационные) ра- боты для самостоятельного решения, приведены образцы решения ти- повых задач. Книга предназначена для студентов высших учебных заведений ма- тематических специальностей. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 3 из 275 Назад На весь экран Закрыть СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 7 Глава 1 Двойные интегралы 12 1.1 Задача, приводящая к понятию двойного интеграла 12 1.2 Определение двойного интеграла 14 1.3 Необходимые и достаточные условия существования двой- ного интеграла 17 1.4 Классы интегрируемых функций 22 1.5 Свойства двойного интеграла 23 1.6 Вычисление двойного интеграла 27 1.7 Сведение двойного интеграла по элементарной области к повторному 33 1.8 Криволинейные координаты на плоскости 42 1.9 Замена переменных в двойном интеграле 47 Глава 2 Тройные интегралы 67 2.1 Задача о вычислении массы тела 67 2.2 Определение тройного интеграла 68 2.3 Свойства тройного интеграла 73 2.4 Вычисление тройного интеграла 77 2.5 Замена переменных в тройном интеграле 83 одержaние учебного мaтериaлa 9 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 4 из 275 Назад На весь экран Закрыть 2.5.1 Криволинейные координаты в пространстве 83 2.5.2 Цилиндрические координаты 85 2.5.3 Сферические координаты 90 Глава 3 Криволинейные интегралы 93 3.1 Криволинейный интеграл первого рода 93 3.2 Вычисление криволинейного интеграла первого рода и его геометрическая интерпретация 97 3.3 Работа силы на криволинейном пути . . . . . . . . . . . . . 102 3.4 Криволинейный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . 106 3.5 Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.6 Свойства криволинейного интеграла второго рода . . . . . 117 3.7 Формула Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.8 Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.9 Вычисление криволинейного интеграла от полного диффе- ренциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Глава 4 Поверхностные интегралы 142 4.1 О задании поверхности в пространстве . . . . . . . . . . . . 142 4.2 Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.3 Поверхностный интеграл первого рода . . . . . . . . . . . . 152 Кафедра математического анализа и дифференци- альных уравнений Начало Содержание Страница 5 из 275 Назад На весь экран Закрыть 4.4 Ориентация кусочно-гладкой поверхности . . . . . . . . . . 157 4.5 Поверхностный интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . 160 4.6 Физический смысл поверхностного интеграла второго рода 169 4.7 Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.8 Условия независимости криволинейного интеграла второ го рода от пути интегрирования в пространстве . . . . . . 180 4.9 Формула Остроградского-Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.10 Векторный анализ. Элементы теории поля . . . . . . . . . 190 Глава 5 5.1 онтрольная работа №1. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы (аудиторная работа) . . . . . . .204 5.2 ндивидуальные домашние задания. риложение кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. 209. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.3 онтрольная работа №2. Дифференциальное и интеграль ное исчисление функций многих переменных (для специальности «Математика» (ОЗО)) . . . . . . . . . . . . 216 5.4 бразцы решения типовых задач контрольной работы №2 . 227 5.4.1 Дифференциальное исчисление функций многих переменных 227 5.4.2 Интегральное исчисление функций многих перемен- ных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 6 из 275 Назад На весь экран Закрыть Глава 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 6.1 Приложение двойных и тройных интегралов . . . . . . . . 265 6.1.1 Двойные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 6.1.2 Тройные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 6.2 Приложение криволинейных интегралов . . . . . . . . . . . 268 6.2.1 Криволинейные интегралы первого рода . . . . . . . 268 6.2.2 Криволинейные интегралы второго рода . . . . . . . 269 6.3 Приложение поверхностных интегралов . . . . . . . . . . . 270 6.3.1 Поверхностный интеграл первого типа . . . . . . . . 270 6.3.2 Поверхностный интеграл второго типа . . . . . . . . 270 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 еречень вопросов к экзaмену (зaчету) 272 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 7 из 275 Назад На весь экран Закрыть ПРЕДИСЛОВИЕ - , - , , , - , - - , , - , - - - - - - - , , - Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 8 из 275 Назад На весь экран Закрыть , , - , , - , , - .- , , .- , . ., - . ., ., ., ., ., ., ., ., - - - Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 9 из 275 Назад На весь экран Закрыть № Интегральное исчисление ЛК ПР 1 Кратные интегралы (42 ч.) 22 20 1.1 Двойной интеграл 1. Квадрируемые фигуры и их площади. Условия квадрируемо- сти плоских фигур 2. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла 3. Понятие двойного интеграла и его свойства 4. Условие существования двойного интеграла 5. Вычисление двойных интегралов в случае прямоугольной и криволинейной области 8 4 1.2 Замена переменных в двойном интеграле 1. Отображение плоских областей 2. Вычисление площади плоской области в криволинейных ко- ординатах 3. Замена переменных в двойном интеграле 4. Двойной интеграл в полярных координатах 4 4 1.3 Тройной интеграл 1. Понятие тройного интеграла 2. Условие существования 3. Вычисление тройных интегралов 4. Замена переменных в тройном интеграле 5. Цилиндрические и сферические координаты 4 2 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 10 из 275 Назад На весь экран Закрыть 1.4 Приложения кратных интегралов 1. Вычисление площадей плоских фигур 2. Вычисление объемов тел 3. Вычисление массы материальной пластины и массы тела 4. Нахождение координат центра тяжести пластины и тела 2 6 1.5 Несобственные кратные интегралы 1. Исчерпывающие последовательности множеств 2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 3. Мажорантный признак сходимости несобственного интеграла 4. Замена переменных в несобственном интеграле 2 2 2 оверхности (6 ч.) 6 2.1 Вектор-функция скалярного аргумента 1. Предел, непрерывность дифференцируемость вектор- функции 2. Кривые на плоскости и в пространстве 3. Векторные уравнения кривой 2 2.2 Поверхности 1. Понятие поверхности в трехмерном пространстве, способы задания поверхности 2. Параметрические уравнения поверхности 3. Кривые на поверхности 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 5. Первая квадратичная форма поверхности 6. Площадь поверхности 7. Сторона поверхности 4 3 Криволинейные и поверхностные интегралы (26 ч.) 12 14 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 11 из 275 Назад На весь экран Закрыть 3.1 Криволинейные интегралы первого рода 1. Гладкие и кусочно-гладкие кривые 2. Криволинейные интегралы первого рода и их свойства 3. Физический смысл криволинейного интеграла первого рода 4. Сведение криволинейного интеграла к определенному 2 2 3.2 Криволинейные интегралы второго рода 1. Задача о работе плоского силового поля 2. Понятие криволинейного интеграла второго рода 3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода 4. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью формулы Грина 5. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования 4 4 3.3 Поверхностные интегралы первого рода 1. Понятие поверхностного интеграла первого рода 2. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному 2 2 3.4 Поверхностные интегралы второго рода 1. Понятие поверхностного интеграла второго рода 2. Существование и вычисление поверхностного интеграла вто - рого рода 2 4 3.5 Основные интегральные формулы 1 Формула Остроградского и ее применение 2. Формула Стокса 2 2 3.6 Векторный анализ. Формула Стокса и Гаусса-Остроградского в терминах векторного анализа 2 2 Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 12 из 275 Назад На весь экран Закрыть ГЛАВА 1 Двойные интегралы 1.1 Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Задача о площади криволинейной трапеции привела нас к понятию определенного интеграла. Рассмотрим задачу, которая приводит к по- нятию двойного интеграла. Задача об объеме цилиндрического бруса. В прямоугольной системе координат Oxyz Рассмотрим тело Q, ограниченное снизу огра- ниченной замкнутой областью D на плоскости xOy, сбоку цилиндри- ческой поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, и сверху поверхностью, заданной уравнением z = f (x, y) , причем f (x, y) ≥ 0 при (x, y) ∈ D (рис. 1.1 ). Объем V тела Q будем искать следующим образом. Разобьем осно- вание D произвольными кривыми на n частичных областей D i , не име- ющих общих внутренних точек. Тогда все тело Q можно представить из n цилиндрических столбиков Q i , i = 1, n, основаниями которых яв- ляются частичные области D i . В каждой частичной области выберем произвольно (ξ i , η i ) ∈ D i . Если приближенно принять каждый цилин- дрический столбик за прямой цилиндр высотой, равной f (ξ i , η i ) , то объ- ем ∆V i отдельного столбика Q i будет приближенно равен произведению f (ξ i , η i ) ∆S i , где ∆S i − площадь частичной области D i Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 13 из 275 Назад На весь экран Закрыть Рис. 1.1 В таком случае объем тела Q приближенно можно представить в виде суммы: V n i=1 ∆V i = n i=1 f (ξ i , η i ) ∆S i (1.1) Для повышения точности соотношения ( 1.1 ) следует, очевидно, умень- шать размеры частичных областей D i , увеличивая их количество. За точное значение объема V целесообразно принять предел суммы в ( 1.1 ) при стремлении наибольшего диаметра d среди диаметров множеств D i , i = 1, n к нулю, т.е. V = lim d→ 0 n i=1 ∆V i = lim d→ 0 n i=1 f (ξ i , η i ) ∆S i (1.2) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 14 из 275 Назад На весь экран Закрыть 1...2 Определение двойного интеграла Для определения двойного интеграла нам понадобится понятие квадрируемой фигуры. Напомним, что плоскую фигуру называют квадрируемой, если точная верхняя грань S ∗ множества площадей всех вклю-ченных в эту фигуру многоугольников равна точной нижней грани S ∗ множества площадей всех многоугольников, включающих в себя эту фигуру, причем число S = S ∗ = S ∗ называют площадью данной плоской фигуры. Для квадрируемости замкнутой области D необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлись такие два многоугольника D 1 и D 2 с площадями S 1 и S 2 соответственно, что D 1 ⊂ D ⊂ D 2 и S 2 − S 1 < ε. Всякое множество на плоскости (в частности, кривую) будем называть множеством меры (площади) нуль, если его можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Теорема 1.1. Для того, чтобы замкнутая область была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь нуль. Известно, что всякая плоская спрямляемая кривая имеет пло щадь нуль. В дальнейшем будем рассматривать только квадрируемые замкнутые области D. Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 15 из 275 Назад На весь экран Закрыть Разбиением P Квадрируемой замкнутой области D называют ко- нечное множество P = {D 1 , ..., D n } квадрируемых частичных обла- стей разбиением D i , которые обладают следующими свойствами: 1. никакие две частичные области не имеют общих внутренних точек; 2. объединение частичных областей составляет замкнутую область D, т.е. D = n i=1 D i Наибольший из диаметров частичных областей разбиения P называ- ют диаметром d (P ) этого разбиения. Таким образом, d (P ) = max i=1,n d i , где d i − диаметр частичной области D i . В силу свойства аддитивности площадь S квадрируемой замкнутой области D равна сумме площадей ∆S i частичных областей любого разбиения D, т.е. S = n i=1 ∆S i Пусть в области D на плоскости xOy определена ограниченная функ- ция f (x, y) . Для некоторого разбиения P = {D 1 , D 2 , ..., D n } замкнутой области D составим сумму σ (P ) = n i=1 f (ξ i , η i ) ∆S i , (1.3) где (ξ i , η i ) − выбранная произвольным образом точка в частичной об- ласти D i , а ∆S i − площадь D i . Сумму σ (P ) вида ( 1.3 ) назовем инте- Кафедра математического анализа и диффе- ренциальных уравнений Начало Содержание Страница 16 из 275 Назад На весь экран Закрыть гральной суммой функции f (x, y) в замкнутой области D. Эта сумма определена разбиением P и выбором точек (ξ i , η i ) . Функцию f (x, y) называют интегрируемой функцией в D, если существует конечный предел I ее интегральных сумм σ (P ) , не завися- щий от выбора разбиения и точек (ξ i , η i ) в частичных областях, т.е. для любого числа ε > 0 существует такое число δ = δ (ε) > 0, что для любого разбиения P = {D 1 , ..., D n замкнутой области D с диаметром d (P ) < δ и любого выбора точек (ξ i , η i ) ∈ D i для соответствующей интегральной суммы σ (P ) выполняется неравенство |σ (P ) − I| < ε. При этом конеч- ный предел I интегральных сумм называют двойным интегралом от функции f (x, y) по замкнутой области D и обозначают I = D f (x, y) dxdy, а D называют областью интегрирования. Итак, можно записать I = lim d(P )→0 σ (P ) = lim d(P )→0 n i=1 f (ξ i , η i ) ∆S i или D f (x, y) dxdy = lim d(P )→0 n i=1 f (ξ i , η i ) ∆S i (1.4) Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание Страница 17 из 275 Назад На весь экран Закрыть 1.3 Необходимые и достаточные условия существования двойного интеграла Теорема 1.2. (необходимое условие интегрируемости). Если функ- ция f (x, y) интегрируема в замкнутой области D, то она ограничена в D. Предположим противное: пусть f (x, y) интегрируема, но не ограни- чена в D. Согласно определению интегрируемости, для произвольно вы- бранного числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для любого разбиения P замкнутой области D с диаметром разбиения d(P ) < δ при любом выборе точек (ξ i , η i ) ∈ D i выполнено неравенство |σ(P ) − I| < ε, где I - значение двойного интеграла функции f (x, y) по области инте- грирования D. Выберем одно из разбиений P = {D 1 , . . . , D n } с диаметром d(P ) < δ и рассмотрим соответствующую этому разбиению интегральную сумму с некоторым набором точек (ξ j , η j ) ∈ D j . Так как по предположению функция f (x, y) не ограничена в замкнутой области D, то она не огра- ничена по крайней мере в одной из частичных областей D j . За счет выбора (ξ j , η j ) ∈ D j слагаемое f (ξ j , η j ) ∆S j можно сделать сколь угод- но большим по абсолютной величине. Тогда и всю интегральную сумму можно сделать по модулю сколь угодно большой, но это противоречит неравенству |σ(P ) − I| < ε. Полученное противоречие опровергает пред- Кафедра математического анализа и диф- ференциальных уравнений Начало Содержание |