Волновые процессы. Поток энергии. Вектор Умова
 Скачать 0.89 Mb.
|
|
Л.12 Волны. Волновые процессы. Поток энергии. Вектор Умова. Уравнение плоской бегущей волны. Фазовая скорость волны. Волновое уравнение. Стоячие волны. 1. Волной называется процесс распространения колебаний в среде. Например, если в какой-либо точке упругой среды возбудить колебания, то вследствие взаимодействия между молекулами, колебания начнут распространяться от одной точки среды к другой. Различают волны продольные и поперечные. Волна будет продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления распространения колебаний. (примером может служить периодическое сжатие и растяжение упругой среды). В поперечной волне частицы колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения колебаний. Волновой поверхностью называют геометрическое место точек. В которых колебания имеют одну фазу. Энергия, переносимая волной за t=1 секунду через некоторую поверхность, называется потоком энергии через эту поверхность  Энергия переносимая за t=1 секунду через S=1м2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии  За время  через  переносится энергия  , заключенная в объеме цилиндра с основанием и высотой  ( – фазовая скорость волны): , где  – объемная плотность энергии.Тогда  или  – вектор Умова. 2. Найдем уравнение плоской волны: пусть гармоническое колебание  распространяется в среде со скоростью  До точки M колебания дойдут за промежуток времени  . Поэтому в точке M смещение частиц от положения равновесия будет описываться выражением:(1)   , тогда, если  , то(2)  – одномерная монохроматическая волна плоской симметрии. к – волновое число. Уравнение (2) описывает монохроматические волны  ,  , – означает безграничность волны в пространстве и во времени.Монохроматичная волна периодична во времени, что означает, что в каждой фиксированной точке пространства (x=const) через одинаковые промежутки времени повторяются одинаковые волновые состояния:  – период волны.Монохромная волна периодична и в пространстве это означает, что в любой фиксированный момент времени (t=const) в поле волны через одинаковые расстояния повторяются одинаковые волновые состояния:  – длина волны Уравнение монохроматической волны может быть записано в комплексной форме (3)  – метод Хевисайда.В этом методе гармонические колебания представляют в комплексной форме, а расчеты и выводы производятся на основе алгебры комплексных чисел и теории функций комплексного переменного. В получаемых результатах используются их действительные части. Для волны, распространяющейся в противоположном направлении (4)  или(5)  Найдем фазовую скорость волны, т.е. скорость распространения фазы колебанийю Для этого зафиксируем значение фазы (6)  – этовыражение определяет связь между временем t и тем листом x, в котором фаза колебаний имеет зафиксированное значение.Продифференцируем (6)  – фазовая скорость волны. В частности, фазовая скорость продольных акустических волн в среде с плотностью  : -для продольных волн, где E – модуль Юнга; – в газах, -постоянная адиабаты, R-универсальная газовая постоянная, T-температура,  -молярная масса газа;  -для поперечных волн, где G – модуль сдвига.Для каждого вида волн существует свое уравнение, связывающее частоту и волновое число:  Это уравнение называется дисперсионным уравнением. Построение теории любого вида волн требует на первом этапе построения дисперсионного уравнения для этого вида волн. Фазовая скорость может не зависеть от частоты и может зависеть от нее. Зависимость монохроматической волны от частоты (и, следовательно, от волнового числа) называется дисперсией. Дисперсия для данного вида волн отсутствует, если дисперсионное уравнение имеет вид  . Такая ситуация, например, имеет место для электромагнитных волн в вакууме. Однако, для этих же волн в вещественных средах дисперсионное уравнение имеет совсем иной вид и поэтому существует дисперсия. Сильной дисперсией обладают звуковые и ультразвуковые волны.Периодическую волну произвольной формы можно представить в виде некоторой совокупности монохроматических волн с определенным дискретным набором частот и волновых чисел (разложение в ряд Фурье). При отсутствии дисперсии все эти составляющие распространяются с одинаковыми скоростями, следовательно, волна сохраняет в процессе распространения свою форму. Ситуация изменяется в условиях дисперсии. В этом случае монохроматические составляющие с различными волновыми числами распространяются с различными скоростями и, следовательно, смещаются относительно друг друга. Поэтому их сложение в разные моменты времени дает разные профили исходной не монохроматической волны. Т.е. в условиях дисперсии сложные волны изменяют свою форму в процессе распространения. В этом случае за скорость распространения исходного волнового процесса принимают групповую скорость. Групповой скоростью называется скорость перемещения точки с максимальным значением волновых характеристик. (рисунок) нет его O – центр группы волн. В этой точке максимальна плотность энергии – скорость переноса энергии.В точке о совпадают фазы всех монохроматических составляющих волны. Следовательно  в этой точке не зависит от b, т.е.   Если волна распространяется по произвольному направлению, характеризуемому радиус-вектором  , уравнение волны должно быть записано в виде: , где     – углы между  и  соответственно.(7)  – уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в произвольном направлении.Т.к. уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, найдем его. Дифференциальное уравнение, описывающее распространение волнового процесса, называется волновым уравнением. Для этого найдем вторые производные (3) по каждой переменной: x, y, z, t.   (оператор Лапласа ( )), но  т.о.  , так как  и  то тогда – волновое уравнение.Для волны, распространяющейся вдоль x получим:  3. Стоячие волны. Рассмотрим результат наложения двух волн, распространяющихся в противоположных направления вдоль оси x. Пусть  Результирующая волна м. б. найдена сложением волн  и  . (8)  – уравнение стоячей волны.Из уравнения (8) видно, что амплитуда колебаний в каждой точке x будет различной  а) найдем положение узлов – точек, амплитуда колебаний в которых равна нулю  при  , т.е. n=0, 1, 2, … Следовательно  – координаты узлов.б) найдем положение кучностей – точек, амплитуда колебаний в которых будет максимальной:  при  , т.е. , n=0, 1, 2, …; отсюда   – координаты кучностейРасстояние между двумя узлами (или кучностями):  .        |