Главная страница

6 Полный дифференциал функции нескольких переменных Если функция дифференцируема в точке


Скачать 184.93 Kb.
Название 6 Полный дифференциал функции нескольких переменных Если функция дифференцируема в точке
Дата04.06.2018
Размер184.93 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаanalis43.pdf
ТипДокументы
#45934

240
§ 6 Полный дифференциал функции нескольких переменных Если функция дифференцируема в точке
(
z
f x y
=
;
)
(
)
P x y
0 0
0
;
, то ее полное приращение можно представить в виде
(
)
(
)
(
)
Δ
Δ
Δ
f x y
f x y
x
f x y
y
z
y
x
y
0 0
0 0
0 0
,
,
,
= ′
+ Сумма двух первых слагаемых есть главная линейная (относительно
Δx
и
) часть приращения функции. Определение Если функция

( )
z
f x y
=
;
дифференцируема в точке

, то главная, линейная относительно приращения аргументов, часть ее полного приращения называется
(
P x y
0 полным дифференциалом функции и обозначается
(
)
d z
df x y
P
def
0 0
0
=
=
,
(
)
(
)

+ ′
f x y
x
f x y
y
x
y
0 0
0 0
,
,
Δ
Δ
. (5) Приращения независимых переменных называют дифференциалами независимых переменных хи у и обозначают соответственно и
. Тогда полный дифференциал функции записывается в виде
dx
dy
(
)
(
)
(
)
d z
df x y
f x y
x
dx
f x y
y
dy
P
def
0 0
0 0
0 Выражения
(
)
(
)




f x y
x
dx
f x y
y
dy
0 0
0 0
,
,
,
называют частными дифференциалами функции и обозначают и
. Тогда
(
z
f x y
=
;
)
d f
x
d f
y
dz
d z d Определение полного дифференциала легко обобщается на случай функции любого числа аргументов. Например для случая трех переменных
(
)
(
)
(
)
z
z
y
x
f
y
z
y
x
f
x
z
y
x
f
u
d
z
y
x
P
Δ

+
Δ

+
Δ

=
0 0
0 0
0 0
0 Из определения дифференциала функции нескольких переменных следует, что
( )
(
)
(
)
z
f x y
f x y
df x y
=


,
,
Δ
0 0
0 0
,
,
(
)
(
)
(
)
u
f x y z
f x y z
df x y z
=


, ,
,
,
,
,
Δ
0 0
0 0
0 0
,
( )
( )
( )
u
f P
P R
f P
df P
n
=



,
Δ
0 Эти соотношения позволяют получить формулы для приближенного вычисления значений функции
(
) (
)
(
)
f x
x y
y
f x y
df x y
0 0
0 0
0 0
+
+

+
Δ
Δ
,
,
,
,
(
) (
)
(
)
f x
x y
y z
z
f x y z
df x y z
0 0
0 0
0 В общем случае
( )
( )
( )
( )
f P
f P
df P
P O P
R
r
n

+
∀ ∈

0 0
0
. (6) Пример Найти приближенное значение функции
( )
f x y
x
y
,
=
+
2 2
2 2
в точке Р 2,03).
Точка Р расположена достаточно близко от точки
( )
P
0 1 2
;
,
Δx = 0,02
Δy = По формуле (6) имеем
( )
f P
x
y
P
0 2
6 2
2 2
2
=
=
+
64
=
( )
(
)
df P
f
x
x
f
y
y
x
y
P
P
x
y
x
y
P
0 2
2 0
0 2
2 2
2 0
4 2 2 0,02 2 2 2 0,03 8,872
=
+
=


+


+
+




Δ
Δ
ln Следовательно
( )
( )
( )
f P
f
df

+

+
=
1 2 1 2 64 8,872 Оценим погрешность вычислений. Точное значение, вычисленное с помощью калькулятора
( )
f P
= 73 Абсолютная погрешность
Δf =

=
73 583 72,872 Относительная погрешность
( )
δ
f
f
f x y
=

=
=
Δ
,
,
100%
0,711 73 583 Описанный в примере алгоритм вычислений основан на замене приращения функции ее полным дифференциалом. Полный дифференциал используется главным образом для оценки погрешностей вычислений по формулам. Пусть задана дифференцируемая функция n переменных
(
)
u
f x x
x
n
=
1 2
, ,...,
. Тогда абсолютная погрешность вычислений по этой формуле оценивается величиной
Δu
Δ
Δ
Δ
u
u
x
x
u
x
x
u
x
x
n
n
=
+
+ +






1 1
2 2
Δ
, относительная погрешность - величиной
δ
u
u
u
=
Δ
§ 7 Дифференцирование сложной функции Пусть
- функция двух переменных, каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимых переменных хи у
(
z
f u v
=
,
)
( )
u u x y
=
,
. Тогда
(
v
v x y
=
,
)
( ) ( )
(
)
( )
z
f u x y v x y
F x y
=
=
, ,
,
,
- сложная функция от двух независимых переменных хи у, аи промежуточные переменные. Теорема Если функция

( )
z
f u v
=
,
дифференцируема в точке
, а функция
и
дифференцируемы в точке
(
)
M u v
G
0 0
0
,

(
u u x y
=
,
)
)
(
v
v x y
=
,
(
)
( )
P x y
D f
0 0
0
,

, то сложная функция

, где
(
z
f u v
=
,
)
( )
u u x y
=
,
;
( )
v
v x y
=
,
, дифференцируема в точке
, причем ее частные производные вычисляются по формулам
(
)
( )
P x y
D f
0 0
0
,











z
x
z
u
u
x
z
v
v
x
=
+
,
(7)

242










y y
или в более краткой записи
′ = ′ ′ + ′ ′
′ = ′ ′ + ′ ′
z
z u
z v
z
z u
z v
x
u x
v x
y
u y
v
,
y
Докажем первую из формул (7). В точке
>
(
)
P x y
0 0
0
,
переменной х дадим приращение, сохранив вторую переменную постоянной. Тогда функции и получат частные приращения
, а функция z полное приращение
(так как
u
v
Δ
Δ
x
x
u, и
- приращения по обоим промежуточным переменным ). Функция
Δ
x
v
( )
z
f u дифференцируема в точке поэтомуприращениефункциипредставимо в виде
(
M u v
0 Разделим последнее равенство на
Δx ≠ 0
:
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
z
x
z
u
u
x
z
v
v
x
x
u
x
v
x
x
x
=
+
+
+
x




α
β
1 1
. (8) Если
, то ив силу непрерывности функций
Δx → 0
Δ
x
u
→ 0
Δ
x
v
→ 0
( )
u u x y
=
,
;
,
( )
v
v x y
=
,
lim
,
lim
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
x
x
x
x
u
x
u
x
v
x
v
x


=
=
0 0




1 1
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
x
u
u
x
x
v
v
x
x
x
x
x
α
α
β
β
=
=
; Перейдем в равенстве (8) к пределу и учтем, что lim
;
lim
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
x
x
x
x
u
x
v
x


=
=
0 0
0 Получим аналогично










y y
Рассмотрим функцию трех переменных
(
)
w
f u v t
=
, ,
, каждая из которых является, в свою очередь, функцией трех независимых переменных
x y z
, ,
:
. Тогда функция
(
)
(
)
(
u u x y z
v
v x y z
t x y z
=
=
=
, , ,
, , ,
, ,
t
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
w
f u x y z v x y z t x y z
F x y z
=
=
, , ,
, , ,
, ,
, является сложной функцией трех независимых переменных
x y z
, ,
, а переменные являются промежуточными. Частные производные этой функции вычисляются по формулам
u v t
, ,
′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′
w
w u
w v
w t
x
u x
v x
t x
,
′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′
w
w u
w v
w t
y
u y
v
y
t y
,

243
′ = ′ ′ + ′ ′ + ′ ′
w
w u
w v
w t
z
u z
v z
t Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
1. Пусть
(
)
,
w
f u v t
=
, ,
( )
( )
( )
u u x y
v
v x y
t x y
=
=
=
, ,
, ,
,
t
. Тогда функция
( ) ( ) ( )
(
)
t x y
,
является сложной функцией двух аргументов, а следовательно имеет две частные производные, которые вычисляются по формулам
w
f u x y v x y
=
, ,
, ,














w
x
w
u
u
x
w
v
v
x
w
t
t
x
=
+
+














w
y
w
u
u
y
w
v
v
y
w
t
t
y
=
+
+
2. Пусть
(
)
,
w
f x y u
=
, ,
( )
( )
u u x
y
y x
=
=
, Тогда функция
( ) ( )
(
)
w
f x y x u x
F x
=
= ( )
- функция одной переменной х. Производная
,
,

z
x
находится по общей формуле дифференцирования сложной функции
dz
dx
z
x
x
x
z
y
y
x
z
u
u
x
=
+
+












Так как
( )
( )
y
y x u u x
=
=
,
, то частные производные


y
x
и


u
x
превращаются в обыкновенные производные, кроме того


x
x
= 1
, следовательно
dz
dx
z
x
z
y
dy
dx
z
u
du
dx
=
+
+






(9) Производная
dz
dx
, вычисляемая по формуле (9) называется полной производной Пример 1 Вычислить частные производные сложной функции двух переменных, где
( )
z
f u v
u v
=
=
,
ln
u
x y v
x
y
=

=
+
3 2
2
,
(
)
′ = ′ ′ + ′ ′ =
+
=
+
+

+
f
f u
f v
v
x
u
v
x
y
x
x y
x
y
x
u x
v x
3 2
3 2
3 2
2 2
2
ln ln
,
(
)
′ = ′ ′ + ′ ′ = −
+
= −
+
+

+
f
f u
f v
v
y
u
v
x
y
y
x y
x
y
y
u y
v
y
ln ln
2 2
3 2
2 2
2


написать администратору сайта