Решение а Запишем исходное уравнение в виде 2 4sin cos

• Название: Решение а Запишем исходное уравнение в виде 2 4sin cos
• Дата: 08.08.2022
• Размер: 443.15 Kb.
• Имя файла: data0 (3).pdf
• Тип: Решение; #642126

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень
(001 – 1/8)
Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом а) Решите уравнение
2 4sin cos
2 3 sin 2 3sin
0.
x x
x x


 б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
7π ; 2π .
2








Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде:
2 4sin cos
4 3 sin cos
3sin
0
x x
x x
x


 ;


2
sin
2cos
3 0
x x


 .
Значит, sin
0
x
 , откуда
π
x k

, k

, или
3
cos
2
x

, откуда
π 2π
6
x n
 
, n

, или
π 2π
6
x m
  
, m

. б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку
7π ; 2π
2








Получим числа: 3π

; 13π
6

; 2π

Ответ: а) πk , k

; π 2π
6
n

, n

;
Ответ:
π 2π
6
m
 
, m

;
Ответ: б) 3π

; 13π
6

; 2π

Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а
ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2 12
– —
– —–

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом .
C
Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра
AB
а) Докажите, что
SA SC

б) Найдите угол между плоскостями SAC и
,
ABC если
24,
AC

30,
AB

17.
SA

Решение. а) Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине, значит, AO OC

. Следовательно, прямоугольные треугольники ASO и CSO равны по двум катетам, а значит, их гипотенузы SA и SC также равны. б) Пусть точка
M — середина стороны AC .
Поскольку треугольник SAC равнобедренный, прямые AC и SM перпендикулярны. Прямая SO перпендикулярна плоскости ABC и лежащей в ней прямой AC . Получаем, что плоскость SMO перпендикулярна прямой AC , а значит, и плоскостям ABC и SAC , то есть угол SMO искомый.
В прямоугольном треугольнике ASO имеем:
17
SA

,
15 2
AB
AO


;
2 2
8
SO
SA
AO


 .
Отрезок MO — средняя линия треугольника
,
ABC значит,
2 2
9 2
2
BC
AB
AC
MO




;
8
tg
9
SO
SMO
MO


 .
Таким образом, угол между плоскостями SAC и ABC равен
8
arctg .
9
Ответ: б)
8
arctg
9 13
A
C
B
S
O
M

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень
(001 – 3/8)
Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3
Обоснованно получен верный ответ в пункте б
ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3
Решите неравенство
5 5
5 22 0.
5 4
5 5
25 9 5 20
x x
x x
x x






  
Решение.
Пусть
5
x t
 , тогда неравенство примет вид:
2 5
22 0
4 5
9 20
t t
t t
t t








;
2 2
2 4
2 0
9 20
t t
t t





;





2 2
1 0
4 5
t t
t




, откуда
1
t
 ; 4 5
t
  .
При
1
t
 получим: 5 1
x
 , откуда
0
x
 .
При 4 5
t
  получим: 4 5 5
x
  , откуда
5
log 4 1
x
  .
Решение исходного неравенства:
0
x
 ;
5
log 4 1
x
  .
Ответ: 0;


5
log 4;1
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 0,
ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2 14

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму
1200 тысяч рублей на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й (с февраля по ноябрь 2025 года включительно) долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15 ноября 2025 года долг составит 400 тысяч рублей;
— 15 декабря 2025 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение.
По условию, долг перед банком (в тыс. рублей) по состоянию на 15-е число каждого месяца (с января по декабрь 2025 года) должен уменьшаться до нуля следующим образом:
1200; 1120; …; 480; 400; 0.
Первого числа каждого месяца долг возрастает на 1%, значит, последовательность размеров долга (в тыс. рублей) по состоянию на 1-е число каждого месяца (с февраля по декабрь 2025 года) такова:
1212; 1131,2; …; 484,8; 404.
Следовательно, выплаты (в тыс. рублей) должны быть следующими:
92; 91,2; …; 84,8; 404.
Значит, общая сумма выплат (в тыс. рублей) составит
10 176,8 404 1288 2



Ответ: 1288 тысяч рублей.
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
2
Верно построена математическая модель
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
2 15

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень
(001 – 5/8)
Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом .
C
На катетах AC и BC выбраны точки
M и N соответственно такие, что
90 .
MHN

  а) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику
ABC
б) Найдите
,
CN
если
2,
BC

4,
AC

1.
CM

Решение. а) В четырёхугольнике CMHN углы NCM и MHN равны 90
 . Следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Значит,
90
NMH
NCH
HBC
BAC

 
   
 
Таким образом, прямоугольные треугольники
ABC
и MNH подобны по острому углу. б) Обозначим вторую точку пересечения окружности, описанной около четырёхугольника CMHN , и отрезка
AB через D . Тогда CD — диаметр окружности, поскольку
90
CHD

  . Значит
90 ,
CND
CMD
MCN

 
 
  следовательно, четырёхугольник CNDM — прямоугольник. Таким образом,


3
tg
2
BC
CN
DM
AM
BAC
AC CM
AC


 



 .
Ответ: б) 3 2
Содержание критерия
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
3
Обоснованно получен верный ответ в пункте б
ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а,
ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
3 16
A
H
C
B
D
M
N

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Найдите все значения
,
a при каждом из которых уравнение


1 1
1 2 0
a x a x
  
   имеет ровно два различных корня.
Решение.
При
1
x
  уравнение принимает вид
3 2 0
x a
  
 , откуда
3 2
x a
 
Корень
3 2
x a
 
удовлетворяет неравенству
1
x
  при 3 2 1,
a

  откуда
2.
a

При 1 1
x
   уравнение принимает вид


2 1
3 0
a x

  . При
1 2
a
 это уравнение не имеет корней, а при
1 2
a
 имеет единственный корень
3 1 2
x a


. Корень
3 1 2
x a


принадлежит отрезку


1;1

при
3 1
1,
1 2a
 


откуда получаем:
3 1,
1 2 3
1;
1 2
a a

 
 



 
4 2 0,
1 2 2 2 0;
1 2
a a
a a



 
 


 
2 0,
2 1
1 0.
2 1
a a
a a





 




Следовательно, уравнение


2 1
3 0
a x

  имеет корень на отрезке


1;1

при
1
a
  и
2
a
 .
При
1
x
 уравнение принимает вид
2 1 0
x a

  , откуда
2 1
x a
 
 .
Корень
2 1
x a
 
 удовлетворяет неравенству
1
x
 при 2 1 1
a

  , откуда
1
a
  .
Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при
1
a
  и
2
a
 .
Ответ:
1
a
  ;
2
a
 .
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен верный ответ
4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек
1
a
  и
/
или
2,
a
 и при этом исследовано количество корней при
1 2
a

3
Верно раскрыты модули в исходном уравнении. Задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений
,
a и хотя бы два случая исследованы верно, и при этом исследовано количество корней исходного уравнения при
1 2
a

ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
2 17

МАТЕМАТИКА. Профильный уровень
(001 – 7/8)
Верно раскрыты модули в исходном уравнении и получены три уравнения:
2 3 0
x a

  при
1
x
  (возможно, с включением
1),
x
 


2 1
3 0
a x

  при 1 1
x
   (возможно, с включением
1
x
  и
/
или
1),
x

2 1 0
x a

  при
1
x
 (возможно, с включением
1).
x

Задача сведена к исследованию принадлежности корней соответствующим промежуткам в зависимости от значений
,
a и хотя бы один из случаев исследован верно
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4
Отношение трёхзначного натурального числа к сумме его цифр — целое число. а) Может ли это отношение быть равным 11? б) Может ли это отношение быть равным 5? в) Какое наибольшее значение может принимать это отношение, если число не делится на 100 и его первая цифра равна 7?
Решение. а) Рассмотрим трёхзначное число 198. Сумма его цифр равна 18, а отношение числа к этой сумме равно 11. б) Заметим, что сумма цифр трёхзначного числа не превосходит 27.
Следовательно, если отношение такого числа к сумме его цифр равно 5, то это число не превосходит 135. Для таких чисел сумма цифр не превосходит 12, а значит, число не превосходит 60, то есть не является трёхзначным. Таким образом, отношение не может быть равным 5. в) Обозначим вторую цифру трёхзначного числа через b, а третью — через c . Тогда отношение числа к сумме его цифр равно


700 10
;
7
b c f b c b c



 
Заметим, что




9 70
;
10 7
c f b c b c



 
Следовательно, при неотрицательных значениях b и c функция


;
f b c убывает по каждому из аргументов. Для каждого значения b c
 , начиная с наименьшего, будем искать цифры b и c такие, чтобы


;
f b c принимала целые значения.
Если
0
b c
  , то
0,
b c
  следовательно, число делится на 100, что противоречит условию.
Если
1
b c
  , то




9 70 1
;
10 8
c f
c c




принимает целое значение при
6
c
 , но в этом случае
5
b
  , что невозможно.
18

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Если
2
b c
  , то




9 70 2
;
10 9
c f
c c




принимает целые значения при любых
,
c при этом наибольшее значение достигается при
0
c
 и
2
b
 и равно 80.
Если
3
b c
  , то






9 70 9 70 0
;
10 10 73 80 7
7 3
c f b c b c








 

Таким образом, наибольшее значение искомого отношения равно 80 для числа 720 и суммы его цифр.
Ответ: а) да; б) нет; в) 80.
Содержание критерия
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2
Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение пункта а;
— обоснованное решение пункта б;
— искомая оценка в пункте в;
— пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки
1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
Максимальный балл
4