Интегрирование дифференциальных уравнений с. 1) Если аналитические функции x в окрестности точки x0, то решения уравнения (1) тоже будут аналитическими функциями в точке x0 и, следовательно, их можно представить в виде ряда
![]()
|
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Теорема 1. Об аналитичности решения. Пусть дано линейное уравнение второго порядка: ![]() Если ![]() ![]() Теорема 2. О разложимости решения в обобщенный степенной ряд. Если (1) удовлетворяет условиям теоремы 1, но при этом x=x0 является нулем порядка s для функции ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() Замечание.Второе линейно независимое решение (1) тоже имеет вид (3) или может быть представлено в виде произведения обобщенного степенного ряда и ![]() Замечание.В конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий уравнению (1). При подстановке решения в уравнение (1) мы должны получить тождество, которое позволит определить коэффициенты ![]() ![]() ![]() Перепишем (1) в виде: ![]() Замечание.С помощью замены переменных можно свести процесс поиска решения в окрестности точки ![]() ![]() Решение (5) подставим в уравнение (4), приведем подобные и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Т.о. получим рекуррентные соотношения, позволяющие определить коэффициенты ![]() ![]() Теорема Фукса (позволяет определить решение в виде (5)). Пусть дано дифференциальное уравнение (4), такое, что функции ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Пусть дано (4) и ![]() ![]() Подставим решение (5) в (4), учитывая выражения для ![]() ![]() В итоге получим: ![]() Минимальная степень x в (*) – ( ![]() ![]() ![]() Квадратное уравнение относительно ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из определяющего уравнения мы находим два значения ![]() 1)Предположим, что ![]() ![]() ![]() 2)Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Левая часть этого уравнения, с точностью до множителя ![]() ![]() ![]() 3)Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значит, от этого соотношения остается равенство: ![]() Если уже вычисленные коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Гипергеометрический ряд. ![]() Это уравнение имеет две особые точки x=0 и x=1, т.е. мы можем искать решение уравнения в виде ряда в окрестности 0 или 1, т.к. для обеих точек условие теоремы Фукса выполняются. Будем искать решение в виде: ![]() Подставим в исходное уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() В этом случае каждое решение может быть представлено в виде обобщенного степенного ряда. 1).v1=0, ![]() ![]() Гипергеометрический ряд Гаусса. Этот ряд сходится абсолютно при любых значениях ![]() ![]() ![]() 2). ![]() ![]() ![]() Тогда общее решение исходного уравнения: ![]() Уравнение Бесселя. ![]() где ![]() В некоторых случаях ![]() Для (1) выполняется условие теоремы Фукса - x=0 особая точка. Значит, решение будем искать в виде: ![]() Если подставить (2) в (1), то получим следующие соотношения при степенях x. ![]() В качестве определяющего соотношения выберем первое уравнение системы, тогда ![]() ![]() ![]() Рассмотрим второе равенство из (3): ![]() ![]() ![]() Т.к. ![]() ![]() ![]() ![]() В (8) выразим все коэффициенты через ![]() ![]() Воспользуемся свойствами гамма-функции ( ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Определение. Ряд (2) соотвествующий ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() Ряды (13) и (14) сходятся для любых x. Заметим, что (14) определяет функцию Бесселя ![]() ![]() Периодические решения дифференциальных уравнений. Дано дифференциальное уравнение вида: ![]() Пусть нужно найти периодическое решение некоторого дифференциального уравнения, тогда естественно искать решение в виде соответствующего ряда Фурье. ![]() Если решение уравнения (1) имеет период Т, то тогда правая часть (1) тоже периодическая функция с периодом Т. Подставим известное решение ![]() ![]() Воспользуемся тем, что решение имеет период Т, т.е.: ![]() Для того, чтобы последнее выражение было тождеством необходимо и достаточно, чтобы F была периодической, т.е. функция F вдоль интегральной кривой ![]() Замечание. Если правая часть (1) при любом выборе ![]() Замечание. Если функция F не зависит явно от аргумента х, то F можно рассматривать как периодическую функцию от х любого периода и поэтому у уравнения (1) будут существовать периодические решения любого периода. Пусть дано уравнение ![]() и требуется найти периодическое решение этого уравнения. Предположим, что f(x) – периодическая функция с периодом 2. Раз правая часть имеет период 2, то мы ее можем представить в виде ряда Фурье. ![]() ![]() Подставим (4) и (5) в (3): ![]() Выпишем коэффициенты: ![]() Периодическое решение полностью определено. Замечание. Ряд (5) с определенными коэффициентами (6) сходится и допускает двукратное дифференцирование. В силу того, что f(x) непрерывна, ряд сходится равномерно и значит решение y(x) – сумма этого ряда. Замечание. Если коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |