1 Координаты векторов
 Скачать 7.87 Kb.
|
|
Даны координаты пирамиды: A(4,2,2), B(6,6,5), C(4,7,8), D(0,0,10) 1) Координаты векторов Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 6-4; Y = 6-2; Z = 5-2 AB(2;4;3) AC(0;5;6) AD(-4;-2;8) BC(-2;1;3) BD(-6;-6;5) CD(-4;-7;2) 2) Модули векторов Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: EQ |a| = \r(X + Y + Z) EQ |AB| = \r(2 + 4 + 3) = \r(29) = 5.39 EQ |AC| = \r(0 + 5 + 6) = \r(61) = 7.81 EQ |AD| = \r(4 + 2 + 8) = \r(84) = 9.17 EQ |BC| = \r(2 + 1 + 3) = \r(14) = 3.74 EQ |BD| = \r(6 + 6 + 5) = \r(97) = 9.85 EQ |CD| = \r(4 + 7 + 2) = \r(69) = 8.31 3) Угол между ребрами Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: EQ cos γ = \f(aa;|a| • |a|) где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 Найдем угол между ребрами AB и AD EQ cos γ = \f(2 • (-4) + 4 • (-2) + 3 • 8;5.39 • 9.17) = 0.9 4) Площадь грани Площадь грани можно найти по формуле: EQ S = \f(1;2) |a| • |b| sin γ где EQ sin γ = \r(1 - cos γ) Найдем площадь грани ABC Найдем угол между ребрами AB и AC: EQ cos γ = \f(2 • 0 + 4 • 5 + 3 • 6;5.39 • 7.81) = 0.9 EQ sin γ = \r(1 - 0.9) = 0.44 Площадь грани ABC EQ S = \f(1;2)|AB| • |AC| sin γ = \f(1;2) 5.39 • 7.81 • 0.44 = 9.17 5) Объем пирамиды Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: EQ V = \f(1;6) \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (X;Y;Z;X;Y;Z;X;Y;Z)) EQ V = \f(1;6) \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (2;4;3;0;5;6;-4;-2;8)) = \f(68;6) = 11.33 Находим определитель матрицы ∆ = 2 • (5 • 8-(-2) • 6)-0 • (4 • 8-(-2) • 3)+(-4) • (4 • 6-5 • 3) = 68 7) Уравнение прямой Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями: EQ \f(x - x;x - x) = \f(y - y;y - y) = \f(z - z;z - z) Уравнение прямой AB EQ \f(x - 4;2) = \f(y - 2;4) = \f(z - 2;3) 8) Уравнение плоскости Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: EQ \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (x-x;y-y;z-z;x-x;y-y;z-z;x-x;y-y;z-z)) = 0 Уравнение плоскости ABC EQ \b\bc\| (\a \al \co3 \hs3 (x-4;y-2;z-2;2;4;3;0;5;6)) = 0 (x-4)(4 • 6-5 • 3) - (y-2)(2 • 6-0 • 3) + (z-2)(2 • 5-0 • 4) = 9x - 12y + 10z + 32 = 0 11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: EQ \f(x - x;A) = \f(y - y;B) = \f(z - z;C) EQ \f(x - 4;23) = \f(y - 2;-8) = \f(z - 2;18) Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: Аналитическая геометрия Вместе с этой задачей решают также: Метод Крамера Метод обратной матрицы Метод Гаусс |