Многочлены. 1. Многочлены. Многочлены от одной переменной о пределен и е. Многочленом
 Скачать 309.13 Kb.
|
|
f (x), то f (x) может делится не только на x − c, но и на (x − c) j , где j > 1. Пусть k — наибольшее натуральное число со свойством f (x) делится (x − c) k . В этом случае говорят, что c — корень кратности k многочлена f (x). По-другому это свойство можно сформулировать следующим образом (x) = (x − причем u(x) не делится на x − Корень кратности 1 часто называют простым корнем, кратности 2 двойным корнем, а корень кратности 3 — тройным корнем. Возникает вопрос сколько корней может иметь многочлен степени Частичный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение. Теорема 1.6. Пусть f (x) — произвольный многочлен степени n > 1. Тогда f (x) имеет не более чем n корней с учетом их кратности. Д ока за тел ь ст во. Применим индукцию по степени многочлена. Если n = 1, то f (x) — многочлен первой степени, имеющий только один корень. Пусть n > 1. Предположим, что для всех многочленов, степень которых меньше чем n, утверждение выполнено. Если многочлен f (x) не имеет корней, то доказываемое утверждение очевидно выполнено. Пусть (x) имеет корень c 1 . Тогда f (x) = (x − c 1 )g(x). Многочлен g(x) имеет степень n − 1 и потому по предположению индукции число его корней не превосходит n − 1. Следовательно, f (x) имеет не более чем n корней. Из теоремы 1.6 вытекает следующее важное утверждение. Теорема 1.7. Пусть f (x) и g(x) — многочлены, степени которых не превосходят n. Если c 1 , c 2 , . . . , c n , c n+1 — попарно различные числа и f (c k ) = g(c k ) при всех k ∈ {1, 2, . . . , n, n + 1}, то многочлены f (x) и) равны. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим многочлен) = f (x) − g(x) 17 и предположим, рассуждая от противного, что этот многочлен не является нулевым. Тогда 0 6 deg h 6 n и h(c k ) = 0, где 1 6 k 6 n + 1. Таким образом, ненулевой многочлен h(x) имеет n + 1 различных корней, хотя его степень не превосходит n. Существование такого многочлена противоречит теореме Теорема 1.7 утверждает, что многочлен степени n однозначно определяется своими значениями в n + 1 различных точках. Пусть f (x) — многочлен степени n, c 1 , c 2 , . . . , c n , c n+1 — попарно различные числа. Для каждого k ∈ {1, 2, . . . , n, n+1} рассмотрим многочлен) = (x − c 1 ) . . . (x − c k−1 )(x − c k+1 ) . . . (x − c n+1 ) (c k − c 1 ) . . . (c k − c k−1 )(c k − c k+1 ) . . . (c k − Легко проверить, что) = ½ 0, если j 6= k, 1, если j = В самом деле, из определения многочлена ϕ k (x) видно, что числа c 1 , c 2 , . . . , c k−1 , c k+1 , . . . , c n , являются его корнями, а при подстановке числа в этот многочлен получается дробь, у которой числитель равен знаменателю. Рассмотрим многочлен) = f (c 1 )ϕ 1 (x) + f (c 2 )ϕ 2 (x) + . . . + f (c n )ϕ n (x) + f (c n+1 )ϕ n+1 (x). Степень многочлена g(x) не превосходит числа n, поскольку степень каждого многочлена ϕ k (x) равна n. Кроме того, из равенства (25) вытекает, что при вычислении g(c k ) в правой части равенства (26) останется только одно слагаемое, равное f (c k ) (все остальные слагаемые обратятся в ноль. Следовательно, многочлены f (x) и g(x) совпадают в n + различных точках и их степени не превосходят n. Применяя теорему, получаем, что многочлены f (x) и g(x) равны, и потому справедлива формула (x) = f (c 1 )ϕ 1 (x) + f (c 2 )ϕ 2 (x) + . . . + f (c n )ϕ n (x) + f (c n+1 )ϕ n+1 (x). Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Она позволяет восстановить многочлен степени не превосходящей n, если известны его значения в n + 1 различных точках. Пусть f (x) — произвольный многочлен над полем F . Определим отображение при помощи правила ˜ f (c) = f (c) для каждого c ∈ F Такое отображение называется полиномиальным отображением, соответствующим многочлену f (x). 18 Очевидно, что из равенства f (x) = g(x) вытекает равенство ˜ f = Возникает вопрос верно ли обратное утверждение Ответ на этот вопрос утвердителен в случае бесконечного поля F . В самом деле, пусть поле бесконечно, а степени многочленов f (x) и g(x) не превосходят n. Если, c 2 ,. . . , c n+1 — попарно различные элементы поля F такие элементы существуют в силу бесконечности поля, то (c i ) = ˜ f (c i ) = ˜g(c i ) = где 1 6 i 6 n + 1. Применяя теорему 1.7, получим,что f (x) = Пусть f (x) — произвольный многочлен. Определим многочлен называемый производной многочлена f Если f (x) — многочлен нулевой степени, то f 0 (x) = 0. Если же (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + . . . + a n−1 x + где n > 1, то) = na 0 x n−1 + (n − 1)a 1 x n−2 + . . . + Из этого определения можно вывести следующие равенства. (f (x) + g(x)) 0 = f 0 (x) + g 0 (x), 2. (f (x)g(x)) 0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x), 3. (f n (x)) 0 = Производная многочлена применяется для решения вопроса о том, является ли данный корень многочлена его кратным корнем. А именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 1.8. Пусть c — корень многочлена f (x). Элемент c является корнем кратности k многочлена f (x) в томи только том случае, когда c — корень кратности k − 1 его производной Доказательство. Пусть f (x) = (x − c) k g(x), где k > 2 и g(x) не делится на x − c. Тогда с использованием равенств 1 — 3 получаем) = k(x − c) k−1 g(x) + (x − c) k g 0 (x) = (x − c) k−1 (kg(x) + (x − Так как многочлен kg(x) + (x − c)g 0 (x) не делится на x − c, отсюда видно, что c — корень кратности k − 1 производной Обратно, пусть c — корень многочлена f (x), одновременно являющийся корнем кратности k − 1 его производной. Предположим, что является корнем кратности m многочлена f (x). Только что мы убедились, что c — корень кратности m − 1 производной f 0 (x). Следовательно − 1 = k − 1, откуда m = k. 19 Установим равенства, связывающие корни многочлена сего коэффициентами. Пусть f (x) — многочлен степени n > 1, имеющий в поле корни x 1 , x 2 , . . . , x n . Тогда. . .+a n−1 x+a n = a 0 (x−x 1 )(x−x 2 ) . . . (x−x n−1 )(x−x n ). (28) 1.8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами Отыскание рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами основано наследующем утверждении. Теорема 1.9. Пусть f (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + . . . + a n−1 x + a n — произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Если несократимая дробь p/q является его корнем, то p | a n , q | и p − mq | f (m) для любого целого Доказательство. Учитывая, что p/q — корень f (x), имеем a 0 p n + a 1 p n−1 q + . . . + a n−1 pq n−1 + a n q n = Убедимся, что p | a n . Поскольку p делит каждое из целых чисел a 0 p n , a 1 p n−1 q,. . . , и число 0, имеем p | a n q n . Дробь p/q несократима, т. е. p и q взаимно просты. Отсюда следует взаимная простота чисел p и. Таким образом, p | Аналогично проверяется, что q | Докажем, что p − mq | f (m) для любого целого m. Рассмотрим многочлен+ Ясно, что многочлен q n f (x/q) имеет целые коэффициенты и число является его корнем. Поэтому (x − Ссылка на схему Горнера показывает, что многочлен u(x) имеет целые коэффициенты. Подставив в последнее равенство x = mq, получим (m) = (mq − Понятно, что u(mq) — целое число. Следовательно, mq −p делит q n f Теперь заметим, что числа mq − p и q взаимно просты (проверьте это утверждение самостоятельно. Отсюда вытекает взаимная простота чисел и q n . Следовательно, mq −p делит f (m). Числа p−mq и mq взаимно противоположны, и потому p − mq также делит f (m). 20 1.9. Неприводимые многочлены В разд. 1.4 было отмечено, что имеется аналогия между некоторыми свойствами колец Z и F [x]. В этом разделе будут рассмотрены многочлены, играющие в кольце F [x] туже роль, что и простые числа в кольце Z. О пределен и е. Многочлен p(x) ∈ F [x] называется неприводимым над полем F , если deg p > 1 и для любого делителя q(x) многочлена либо deg q = 0, либо deg q = deg Например, многочлен p(x) = x 2 − 3 принадлежит кольцу Q[x]. Легко убедиться в том, что этот многочлен неприводим над полем Q. В самом деле, пусть p(x) имеет делитель первой степени. Можно считать, что старший коэффициент делителя равен 1. Следовательно, x − c | p(x) для некоторого c ∈ Q. Поскольку 3 = (x + c)(x − c) + (c 2 − имеем c 2 − 3 = 0. Отсюда c = ± √ 3 6∈ Этот многочлен принадлежит, очевидно, и кольцу R[x]. Так как 3 = (x − √ 3)(x + √ 3), получаем, что данный многочлен приводим над полем Из рассмотренного примера видно, что неприводимость многочлена это свойство, зависящее оттого, над каким полем рассматривается многочлен. Лемма 1. Пусть p(x) — неприводимый многочлен над полем F . Тогда для любого ненулевого многочлена f (x) ∈ F [x] либо p(x) | f (x), либо, f (x)) = Доказательство. Пусть (p(x), f (x)) = d(x). Тогда d(x) | p(x) и, следовательно, либо deg d(x) = 0, либо deg d(x) = deg p(x). В первом случае d(x) = 1, откуда вытекает взаимная простота многочленом и f (x). Рассмотрим второй случай. Поскольку d(x) | p(x) и deg d(x) = deg p(x), имеем p(x) = sd(x) для некоторого s ∈ F . Учитывая, что d(x) | f (x), получаем sd(x) | f (x), те Лемма 2. Пусть p(x) и q(x) — неприводимые над F многочлены, причем p(x) | q(x). Тогда q(x) = ap(x) для некоторого a ∈ F . В частности, если старшие коэффициенты многочленов p(x) и q(x) совпадают, то q(x) = Доказательство. Поскольку p(x) | q(x) и q(x) — неприводимый многочлен, имеем deg p = 0 или deg p = deg q. Но p(x) — неприводимый многочлен, поэтому deg p > 1. Следовательно, выполнено равенство deg p = deg q. Из этого равенства вытекает, что частное отделения на p(x) является многочленом нулевой степени, те Заметим, что многочлены p(x) и ap(x) одновременно являются неприводимыми. Это свойство легко следует из утверждения множества делителей этих многочленов совпадают. Лемма 3. Любой многочлен f (x ∈ F [x] ненулевой степени имеет неприводимый делитель. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим множество D, состоящее из всех делителей многочлена f (x), имеющих ненулевую степень. Пусть p(x) многочлен наименьшей степени из D. Убедимся, что p(x) неприводим. Пусть g(x) | p(x) и deg g > 1. Тогда g(x) принадлежит D и потому deg p 6 deg g. С другой стороны из соотношения g(x) | p(x) вытекает, что deg g 6 deg p. Следовательно, deg g = deg p. Таким образом, всякий делитель многочлена p(x) либо имеет нулевую степень, либо его степень равна степени многочлена p(x). Это означает, что многочлен p(x) непри- водим. Теорема 1.10. Пусть f (x ∈ F [x]) — произвольный многочлен степени не ниже первой. Тогда (x) = a 0 p 1 (x)p 2 (x) . . . где a 0 — старший коэффициент многочлена f (x), а p 1 (x), p 2 (x),. . . ,p s−1 (x), p s (x) — неприводимые над полем F многочлены, старшие коэффициенты которых равны Указанное представление единственно с точностью до перестановки сомножителей. Д ока за тел ь ст во. Заметим, что утверждение выполнено в том случае, когда f (x) — неприводимый многочлен. Доказательство для приводимых многочленов проведем при помощи метода математической индукции. Пусть n = degf Если n = 1, то f (x) = a 0 (x − c). Многочлен x − c очевидно неприводим. Кроме того, это представление единственно, поскольку из равенства − c) = b 0 (x − d) сразу следует, что a 0 = и c = Пусть n > 1 и для всех многочленов, степень которых меньше чем, утверждение выполнено. Рассмотрим произвольный многочлен f степени n. В силу леммы 3 многочлен f (x) имеет неприводимый над делитель p 1 (x) со старшим коэффициентом, равным единице. Поэтому (x) = p 1 (x)g(x), 22 причем степень g(x) меньше чем n. К многочлену g(x) применимо предположение индукции следовательно) = a 0 p 2 (x) . . . где a 0 — старший коэффициента неприводимые многочлены со старшими коэффициентами, равными 1. Таким образом (x) = a 0 p 1 (x)p 2 (x) . . . Проверим единственность разложения. Предположим, что наряду с равенством (29) имеет место равенство (x) = a 0 q 1 (x)q 2 (x) . . . где q 1 , q 2 (x),. . . , q t−1 (x), q t (x) — неприводимые над полем F многочлены, старшие коэффициенты которых равны 1. Поскольку p 1 (x) | f (x), многочлен) не является взаимно простым с произведением, стоящим в правой части равенства (30). Отсюда вытекает, что p 1 (x) не взаимно прост с одним из многочленов q 1 , q 2 (x),. . . , q t−1 (x), q t (x). Без ограничения общности можно считать, что этим многочленом является q 1 (x). В силу леммы 1 имеем p 1 (x) | q 1 (x). Применяя лемму 2 и учитывая, что старшие коэффициенты многочленов p 1 (x) и q 1 (x) равны между собой, получаем, что p 1 ( |