Многочлены. 1. Многочлены. Многочлены от одной переменной о пределен и е. Многочленом
 Скачать 309.13 Kb.
|
|
x) = Пусть g(x) — частное отделения) на p 1 (x). С учетом равенств) и (30) получаем) = a 0 p 2 (x) . . . p s−1 (x)p s (x) = a 0 q 2 (x) . . . Поскольку deg g < deg f , к многочлену g(x) применимо предположение индукции. Отсюда вытекает, что s − 1 = t − 1, те. Кроме того, два представления многочлена g(x), указанные в равенстве (31), различаются только порядком сомножителей. С учетом равенств (29) и (аналогичным свойством обладают два представления многочлена f (x). 1.10. Основная теорема и следствия из нее Пусть f (x) — многочлен с коэффициентами из поля F , причем deg f > 2. Возникает вопрос обязательно ли этот многочлен имеет хотя бы один корень из поля F ? Вообще говоря, это не так. В самом деле, многочлен f (x) = x 2 +1 лежит в кольце R[x], однако действительных корней не имеет. С другой стороны, этот многочлен имеет два комплексных корня i и −i. Из этого примера вытекает, что многочлен, не имеющий корней в данном поле F , может иметь корни в более широком поле K. 23 Рассмотрим теперь многочлен f (x) с комплексными коэффициентами и зададимся аналогичным вопросом обязательно ли f (x) имеет комплексный корень Казалось бы, следует поискать многочлен с комплексными коэффициентами, не имеющий комплексных корней. Однако, такого многочлена не существует, ибо справедливо следующее утверждение. Теорема 1.11. Пусть f (x) — многочлен с комплексными коэффициентами, причем deg f > 1. Тогда f (x) имеет хотя бы один комплексный корень. Эта теорема была доказана К. Ф. Гауссом в 1799 году. С тех пор получено многоразличных доказательств этой теоремы. Однако все эти доказательства содержат соображения, связанные с понятием непрерывности. Мы не будем приводить доказательство теоремы 1.11. Часто эту теорему называют основной теоремой о многочленах с комплексными коэффициентами. Из теоремы 1.11 легко получается следующее утверждение. Теорема 1.12. Любой многочлен с комплексными коэффициентами степени не ниже первой разлагается в произведение многочленов первой степени с комплексными коэффициентами. Д ока за тел ь ст во. Пусть f (x) — многочлен с комплексными коэффициентами, причем n = deg f > Если n = 1, то f (x) — многочлен первой степени и утверждение очевидно выполняется. Пусть n > 1. Предположим, что для всех многочленов степени меньшей, чем n, утверждение выполнено, те. любой такой многочлен разлагается на линейные множители. Из теоремы 1.11 вытекает, что существует комплексное число c 1 , являющееся корнем многочлена f (x). Тогда (x) = (x − Ясно, что старшие коэффициенты многочленов f (x) и g(x) совпадают и deg g = n − 1. К многочлену g(x) применимо предположение индукции, поэтому g(x) = a 0 (x − c 2 )(x − c 3 ) . . . (x − где a 0 — старший коэффициент многочлена f (x). Подставляя выражение для g(x) из равенства (33) в равенство (34), получим (x) = a 0 (x − c 1 )(x − c 2 ) . . . (x − Тем самым, теорема 1.12 доказана Из теоремы 1.12 вытекает, что в кольце C[x] только многочлены первой степени являются неприводимыми. Заметим, что поле F называют алгебраически замкнутым, если любой многочлен из F [x], отличный от константы, в кольце F [x] разлагается на множители первой степени. Таким образом, поле C всех комплексных чисел алгебраически замкнуто. В отличие от поля C поле R всех действительных чисел алгебраически замкнутым не является. Например, произвольный многочлен второй степени с отрицательным дискриминантом не разлагается в произведение многочленов первой степени с действительными коэффициентами. Возникает вопрос на какие множители наименьшей степени можно разложить произвольный многочлен с действительными коэффициентами в кольце Ответ на этот вопрос дает следующее утверждение. Теорема 1.13. Любой многочлен с действительными коэффициентами степени не ниже первой в кольце R[x] разлагается в произведение многочленов первой степени и многочленов второй степени с отрицательным дискриминантом. Для доказательства этой теоремы нам понадобится несколько вспомогательных утверждений. Лемма 1. Пусть f (x) — многочлен с действительными коэффициентами. Если комплексное число c является корнем f (x), то и сопряженное к c число c также является корнем этого многочлена. Д ока за тел ь ст во. Поскольку c — корень многочлена (x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + . . . + a n−1 x + имеем+ a 1 c n−1 + . . . + a n−1 c + a n = Из свойств операции сопряжения вытекает, что равенство не изменится при замене всех чисел на сопряженные к ним. Так как применение операции сопряжения к действительным числами не изменяет эти числа, получаем+ a 1 c n−1 + . . . + a n−1 c + a n = те 0. Замнтим, что если корень c не является действительным числом, то многочлен f (x) делится на многочлен) = (x − c)(x − c) = x 2 − (c + c)x + cc, (34) 25 имеющий, очевидно, действительные коэффициенты. Кроме того, дискриминант квадратного трехчлена ϕ(x), равный (c − c) 2 , является квадратом чисто мнимого числа, и потому отрицателен. Лемма 2. Пусть f (x) — многочлен с действительными коэффициентами. Если комплексное число c является корнем f (x) кратности то и сопряженное к c число c также является корнем той же крат- ности. Д ока за тел ь ст во. Пусть c — комплексный (ноне действительный) корень многочлена f (x), имеющий кратность k. Предположим, что является корнем кратности l данного многочлена. Без ограничения общности можно считать, что l 6 k. Поскольку c и c — корни многочлена) кратности не ниже l, этот многочлен делится на многочлен) = (x − c) l (x − c) l , имеющий действительные коэффициенты. Если) — частное отделения) на ϕ l (x), то (x) = ϕ l (x)g(x) = (x − c) l (x − Из теоремы о делении с остатком вытекает, что g(x) имеет действительные коэффициенты. Поскольку число c — корень кратности l многочлена (x), это число не является корнем многочлена g(x). Применение леммы к многочлену g(x), получаем, что c также не является корнем g(x). Из равенства (35) вытекает, что c является корнем многочлена f (x) кратности, те Лемма 2 показывает, что комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами разбиваются на пары взаимно сопряженных корней. Перейдем к доказательству теоремы 1.13. Теорема, очевидно, выполнена для многочленов первой степени. Пусть n > 1. Предположим, что теорема выполнена для всех многочленов степени меньшей, чем n, и проверим ее выполнимость для многочлена f (x) степени n. В силу основной теоремы многочлен f (x) имеет комплексный корень c. Возможны два случая. Корень с является действительным числом. Тогда (x) = (x − причем g(x) имеет действительные коэффициенты. Ясно, что к g(x) применимо предположение индукции. Следовательно, теорема выполнена и для f (x). 2. Корень c не является действительным числом. В этом случае (x) = ϕ(x)h(x), 26 где ϕ(x) = (x − c)(x − c) — многочлен с действительными коэффициентами. Понятно, что h(x) имеет действительные коэффициенты и deg h < deg f . Поэтому к h(x) применимо предположение индукции. Отсюда, как и выше, вытекает, что теорема выполнена для f Из теоремы 1.13 следует, что в кольце R[x] неприводимыми являются только многочлены первой степени и многочлены второй степени сотри цательным дискриминантом Список литературы Кострикин АИ. Введение в алгебру. М, Наука, 1977. [2] Курант Р, Роббинс Г. Что такое математика Элементарный очерк идей и методов. М, Просвещение, 1967. [3] Расин В.В. Лекции по алгебре. Натуральные и целые числа. Неравенства. Отображения множеств. Числовые функции. Екатеринбург УрГУ, 2000. 28 Содержание. Многочлены 1.1. Многочлены от одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Теорема о делении с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Схема Горнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Отношение делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Корни многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.9. Неприводимые многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10. Основная теорема и следствия из нее . . . . . . . . . . . . . 23 29 |