Дискретная математика Сборник заданий 2010 испр 22_11_21. 1 Множества и отношения 1 Основные понятия и определения
![]()
|
1.3 Примеры выполнения заданийЗадание 1Пример 1: ![]() ![]() 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() 3) ![]() Пример 2: ![]() ![]() 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() 3) ![]() Задание 2![]() Покажем выполнение равенства на диаграммах Эйлера-Венна. 1) Левая часть равенства: ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Правая часть равенства: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Докажем при помощи тождеств алгебры множеств: ![]() Задание 3![]() ![]() ![]() в) Из а) и б) ![]() Задание 4Схематично изобразить геометрическое место точек прямого произведения {1,2,3,4}×{xx-точка квадрата}. Геометрическое место точек прямого произведения множеств {1,2,3,4}×{xx-точка квадрата} изображено на рисунке. ![]() На рисунке а) на оси 1 изображены точки множества {1,2,3,4}; на плоскости 2О3 – множество точек квадрата: {xx-точка квадрата}. На рисунке б) изображен результат. Задание 5Отношения 1 и 2 заданы на множестве натуральных чисел. 1-"x и y кратны 100"; 2-"x и y кратны 2". Вычислить: 1 ![]() ![]() 2 ![]() ![]() 3 ![]() ![]() Решение: 1={<100,100>,<100,200>,<200,300>,…,<100*i,100*i>},где iN 2={<2,2>,<2,4>,<4,2>,…,<2*i,2*i>},где iN. Для наглядности изобразим множества 1 и 2 на диаграмме Эйлера-Венна (см. рисунок). Все элементы множества 1 находятся среди элементов множества 2, следовательно 1 2. ![]() 1. 1Uр2=2. 2. 1∩2=1. 3. 1\2=. 4. 1+2=(1\2)U(2\1)=U(2\1)=(2\1)= {<2,2>,<2,4>,<4,2>,…,<2*i,2*i>}\{<100,100>,<100,200>,<200,300>,…,<100*i,100*i>}={ 5. По определению композиции отношений: 1◦2={ 6. R1={100,200,300,…,100*i}, R2={2,4,6,…,2*i}, где iN, следовательно R1R2. Задание 6![]() ![]() a) ![]() b) ![]() c) Несимметрично, т.к. для пары <3,1> не существует пары <1,3>; Рефлексивно, т.к. для ![]() Не транзитивно, т.к. для пар <1,2> ,<2,3> не существует пары <1,3>; Не антисимметрично, т.к. есть пары <1,2>, <2,1> и при этом 1 ![]() Задание 7«Быть подмножеством» на семействе множеств антисимметрично, т.к. из того, что ![]() ![]() ![]() несимметрично, т.к. из того что ![]() ![]() рефлексивно, т.к. любое множество ![]() транзитивно, т.к. из того, что ![]() ![]() ![]() Задание 8![]() Отношение f является функцией, т.к. каждому значению x соответствует единственное значение y. Отношение f не является инъективным, т.к. значению y соответствуют два значения x. Например, y=5, x1=0, x2= -3. Отношение f не является сюръективным, т.к. не существует x для отрицательных значений y. Отношение является отображением, т.к. можно рассчитать y для всех x из множества R. ![]() |