Высшая математика контрольная работа. математика 3 сем. 1. Определить тип и решить дифференциальное уравнение
 Скачать 250.12 Kb.
|
|
Минобрнауки России Федеральное Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Тульский государственный университет Интернет-Институт Контрольная работа 3 семестр по дисциплине «Математика» Вариант № 1 Выполнил: Иванцов Владимир Проверила: Соколова Марина Юрьевна Тула 2018 1. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:  .Решение Имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.       , C – некоторая постоянная. 2. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:  .Решение Имеем:  .Имеем однородное линейное дифференциальное уравнение Замена:  , тогда  , где  - некоторая функция от  . Сделаем подстановку:     , С – некоторая постоянная.Сделаем обратную подстановку:  или  .3. Определить тип и решить дифференциальное уравнение:  .Решение Имеем  и  . Так как  , то имеем уравнение в полных дифференциалах. Дифференцируем  по  и приравниваем к .   .Следовательно, решение имеет вид  .4. Найти решение задачи Коши:  ,  .Решение Замена:  , тогда  , где  - некоторые функции от . Сделаем подстановку:      .Найдем :  .Тогда функция  будет равна: , С – некоторая постоянная.Используем начальные условия и найдем С.   .Окончательно, имеем решение  .5. Найти решение задачи Коши:  ,  ,  ,  .Решение Составим и решим характеристическое уравнение:   и  .Однородное решение (в данном случае и общее решение) имеет вид  ,  - некоторые постоянные.Используем начальные условия и найдем .      .Окончательно, имеем:  .6. Запишите вид частного решения уравнения:  , если1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ; 5)  ;Решение Составим и решим характеристическое уравнение:   .Однородное решение имеет вид  ,  - некоторые постоянные.1) ; Частное решение будем искать в виде:  .2) ; Частное решение будем искать в виде:  .3) ; Частное решение будем искать в виде:  .4) ; Частное решение будем искать в виде:  .5) ;Частное решение будем искать в виде:  .7. Найти общее решение уравнения:  .Решение Составим и решим характеристическое уравнение:   и  .Однородное решение имеет вид  , - некоторые постоянные.Частное решение будем искать в виде:  . Тогда  и  . Подставим полученные производные:     .Тогда частное решение имеет вид  , следовательно, общее решение имеет вид  .8. Решить систему уравнений:  .Решение Продифференцируем второе уравнение системы:  Вместо  подставим первое уравнение системы:  (*)Из второго уравнения системы выразим и подставим в выражение (*): или Составим и решим характеристическое уравнение:   и  .Однородное решение (в данном случае и общее) имеет вид  , - некоторые постоянные.Найдем , для этого подставим во второе уравнение системы: , следовательно .Ответ:  , - некоторые постоянные.9. Исследовать на сходимость ряд  .Решение Применим признак сходимости Даламбера:  .Так как  , то согласно принципа сходимости Даламбера, заданный ряд расходится.10. Исследовать на сходимость ряд  .Решение Применим радикальный признак сходимости Коши:  Так как  , то согласно радикального принципа сходимости Коши, заданный ряд расходится.11. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд  .Решение Проверим выполнение признака сходимости Лейбница.   - выполняется. - выполняется.Что бы установить абсолютную или условную сходимость, исследуем знакопостоянный ряд  .Применим признак сходимости Даламбера:  .Так как  , то согласно принципа сходимости Даламбера, ряд сходится.Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно.12. Найти область сходимости ряда  .Решение Применим признак сходимости Даламбера:  .  .Исследуем крайние точки. При  имеем ряд  . По признаку Лейбница, ряд сходится абсолютно, так как  для всех  и  , а ряд  сходится по предельному признаку сходимости (сравниваем со сходящимся рядом  ).При  имеем ряд , который сходится по предельному признаку сходимости (сравниваем со сходящимся рядом ).Следовательно, область сходимости заданного функционального ряда равна  .13. Разложить в ряд по степеням функцию  .Решение Воспользуемся табличным разложением:  ,  .Получим:  Ответ:  .14. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на полупериоде  графиком, приведенном на рисунке, если даны значения  ,  ,  ,  , и функция нечетная. Построить графики первых трех гармонических приближений функции. Решение Согласно приведенным данным, имеем следующий график:  Запишем аналитическое выражение для функции заданной графически.  Для того чтобы разложить заданную функцию в ряд Фурье по синусам, необходимо доопределить ее на полуинтервале  как нечетную. Таким образом, коэффициенты  и  равны нулю. Вычислим коэффициент  .Период равен  , полупериод  . В итоге имеем:  Полагая последовательно  равным 1, затем 2 и 3, находим ,  ,  . ,  ,  .Амплитудный спектр будет  : ;  ,  .Строим амплитудный спектр:  |