1. Основные понятия. Способы задания множества
 Скачать 285.7 Kb.
|
|
Тема 3. Множества 1. Основные понятия. Способы задания множества. 2. Операции над множествами. 3. Числовые множества. 4. Числовые промежутки. Окрестность точки. 1. Основные понятия. Способы задания множества. Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Объекты могут иметь различную природу. Так, можно рассматривать множество студентов университета, множество машин на автостоянке, множество букв русского алфавита. Можно говорить о множестве корней уравнения о множестве чисел кратных трем и так далее. Объекты, составляющие множество, называются элементами этого множества. Множества обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, …, а их элементы – прописными латинскими буквами (возможно с индексами) a, b, c, … Если х является элементом множества Х (х принадлежит Х), то это записывают , запись означает, что х не элемент Х (х не принадлежит Х). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Способы задания множества Имеется два существенно различных способа задания множеств. Можно либо указать правило для определения того, принадлежит или не принадлежит рассматриваемому множеству любой данный объект, либо дать полный перечень элементов этого множества. Первый способ называется описанием множества, а второй способ – перечислением множества. Пример. Множество натуральных чисел меньших десяти можно записать: 1) способ описания: эта запись читается: «элементы множества натуральных чисел, которые меньше 10». 2) способ перечисления: здесь перечислены все натуральные числа меньшие 10. Пример. Множество четных чисел можно записать способом описания: Действительно, подставляя в формулу х = 2п последовательно вместо п натуральные числа 1; 2; 3 и т.д., получим все четные числа. Это же множество способом перечисления: 2. Операции над множествами. Множество А называется подмножеством В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Обозначается Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывается Объединением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих либо А, либо В, либо обоим множествам. Обозначается Пересечением множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих и А, и В. Обозначается Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих А и не принадлежащих В. Обозначается Пример. Для множеств и найти Найдем объединение множеств, для этого к элементам множества А добавим элементы множества В, которых в А нет, то есть 1, 3, 5, 6, получим Для нахождения пересечения множеств выберем одинаковые элементы множеств А и В {2, 4}. Найдем разность множеств , для этого из элементов множества А удалим те, которые встречаются в В, получим Аналогично находим 3. Числовые множества. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми множествами. Приведем основные числовые множества. – множество натуральных чисел. – множество целых чисел. – множество рациональных чисел. R – множество действительных чисел. Любое рациональное число выражается либо конечной десятичной дробью, либо бесконечной периодической дробью. Так, например, дроби являются рациональными числами. Множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел. Иррациональные числа нельзя выразить обыкновенной дробью и, следовательно, конечной десятичной или бесконечной периодической дробью. Например, это иррациональное число, так как оно выражается бесконечной непериодической дробью. 4. Числовые промежутки. Окрестность точки. Пусть а и b – действительные числа, причем а < b. числовыми промежутками (интервалами) называются подмножества действительных чисел, имеющих следующий вид: [a; b] – отрезок (замкнутый промежуток); (a; b) – открытый интервал; (a; b], [a; b) – полуоткрытый интервал; Круглая скобка означает, что граничное значение не входит в интервал, квадратная – граничное значение принадлежит интервалу. Кроме этих интервалов рассматривают также бесконечные интервалы: . Пусть – точка на числовой прямой. Окрестностью точки называется любой интервал (a; b), содержащий точку Интервал , где называется – окрестностью точки |