ТФКП. 1. Построить данные числа, найти их аргументы и модули, записать в тригонометрической форме

• Название: 1. Построить данные числа, найти их аргументы и модули, записать в тригонометрической форме
• Дата: 08.01.2022
• Размер: 84.03 Kb.
• Имя файла: 27.05(9).docx
• Тип: Документы; #325993

1. Построить данные числа, найти их аргументы и модули, записать в тригонометрической форме:



1. a =

Изобразим на плоскости число:



Вычислим модуль числа а:

Аргумент числа а:

Тригонометрическая форма:

, где

2.

Изобразим на плоскости число:



Вычислим модуль числа а:

Аргумент числа а:

Тригонометрическая форма:

, где

3.

Изобразим на плоскости число:



Вычислим модуль числа а:

Аргумент числа а:

Тригонометрическая форма:

, где

2. Вычислить, используя формулы Моавра. Показать на тригонометрическом круге особенность расположения корней:



1. Комплексное число находится в 3 четверти, поэтому:









2. Комплексное число находится в 4 четверти, поэтому:







3. Изобразить на плоскости множество точек z, удовлетворяющих условию:



Преобразуем выражение:



Тогда:





Так как

Преобразуем выражение:







4. Найти предел последовательности или доказать ее расходимость:



По условию:

Найдем пределы последовательностей действительных чисел:





То есть а = 1,5;



Ряд сходится.

5. Исследовать ряд на сходимость и абсолютную сходимость:



Составим ряд из модулей членов данного ряда:



Значит, ряд не сходится.

6. Найти радиус и круг сходимости степенного ряда, изобразить круг сходимости:



Применим признак Коши:



При ряд сходится, а при расходится.

Следовательно, является кругом сходимости с центром в точке z₀ = 0 и радиуса 1

Изобразим круг сходимости:



7. Выделить действительную и мнимую части данной функции. Найти образы точек z₁= -i, z₂ = 1 – i, z₃ = 1 при отображении заданной функции. Исследовать функцию на непрерывность.



Преобразуем:



Следовательно, равенство равносильно двум равенствам:



Функция имеет разрыв в точке (1; 0).

Найдем образы точек:





не существует, z = 1 – точка разрыва

8. В какой угол перейдет вектор а после поворота на угол α? β? Записать функцию, осуществляющую указанное отображение.



Построим комплексное число :



Угол поворота равен 210°. При повороте на 60° по часовой стрелке угол поворота равен 270°.

При повороте на -60° угол поворота равен 150°.

9. Исследовать функцию на дифференцируемость и аналитичность:



Пусть w = , так как z = x + iy, то







Значит,



Условия Коши-Римана:



Значит, функция дифференцируема и аналитична на всей числовой прямой.

10. Восстановить аналитическую функцию w = u + iv по ее действительной или мнимой части. Вычислить производную полученной функции.

a)

Функция аналитическая, поэтому дифференцируема в каждой точке области аналитичности; т.е. выполняются условия Коши-Римана:



По известной действительной части находим:





Тогда:













Значит:



b)

Функция аналитическая, поэтому дифференцируема в каждой точке области аналитичности; т.е. выполняются условия Коши-Римана:



По известной мнимой части находим:











По условиям Коши-Римана:



Поэтому



Значит:



11. Вычислить следующие интегралы:



По определению:

Перепишем подынтегральную функцию в виде:





Так как y = , значит, dy = -dx:







12. Вычислить следующие интегралы:

а)

Функция аналитическая всюду в :





b)





13. Вычислить, используя интегральную формулу Коши:



Знаменатель обращается в ноль при z₁ = 2i; z₂ = -2i.

В круге лежит одна точка, в которой знаменатель обращается в 0: z₁ = 2i.



Функция является аналитической в круге





14. Вычислить, найти модуль и аргумент:

Воспользуемся формулой Эйлера:



Так как ,

то модуль комплексного числа |z| = 1

15. Вычислить Ln и ln следующих чисел:

4i / 5; ;

1. z = 4i/5

|z| =

arg (z) =

Тогда: ln z = ln + 0i = ln

2. z =

|z| =

arg (z) =

Тогда: ln z = ln

Ln z = ln + i

3. z =

|z| =

arg (z) =

Тогда: ln z = ln + 0i = 2

16. Вычислить, найти модуль:

sin(1+4i); cos(-2i)