есепгеом. 1 Тртбрышты призма
 Скачать 159.98 Kb.
|
     1.1. Төртбұрышты призма. 1-ші және 2-ші есептерді шешу алдында қыры а болатын текшенің элементтерін есептеуге арналған формулаларды қайталаған жөн: , , , . 3-ші есеп пен одан кейін кездесетін кейбір есептерде тікбұрышты параллелепипед қарастырылады да, оларда келесі формулаларды қолдану керек болады: D2= а2+ b2+ с2 ,d2=a2 +b2 , s = аb, Q = d ∙ с, Sб= Р∙с. 1. Текшенің қыры а. Табыңыз: жағының диагоналін; текшенің диагоналін;табанының периметрін; жағының ауданын; диагональдік қимасының ауданын; текшенің толық бетінің ауданын; бір төбеден шығатын үш қырдың шеттері арқылы өтетін қиманыңпериметрі мен ауданын. 2. 1-сурет бойынша және 1-ші кестеде берілген элементтер бойынша текшенің белгісіз элементтерін табыңыз. 1-кесте
3.2-сурет бойынша және 2-ші кестеде берілген элементтер бойынша тікбұрышты параллелепипедтің белгісіз элементтерін табыңыз. 2-кесте.
4.4-бұрышты көлбеу призманың перпендикуляр қимасы қабырғасы 3 см-ге ке тең ромб. Призманың бүйір қыры 12 см болса, призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз. 5. Бүйір қыры 32 см және перпендикуляр қимасының іргелес қабырғалары 10 см және 8 см болатын көлбеу параллелепипедтің бүйір бетінің ауданын табыңыз. 6. Дұрыс төртбұрышты призманың табан қабырғасы 3 см. Призманың биіктігі 5 см. Табыңыз: табанының диагоналін; бүйір жағының диагоналін; призманың диагоналін; табанының ауданын; диагональдік қимасының ауданын; бүйір бетінің ауданын; призманың толық бетінің ауданын. 7. Дұрыс төртбұрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32 см2, ал толық бетіні ауданы 40 см2. Призманың биіктігін анықтаңыз. Шешуі. Табанының ауданы S= (см2), табан қабырғасы - 2 см, табанының периметрі Р = 8 см, ал призманың биіктігі (см). 1.2. Үшбұрышты, алтыбұрышты және n-бұрышты призмалар. Есептерді шешуді бастамастан бұрын келесі формулаларды қайталаған абзал: Sб =РН және Sт = 2Sб + 2s – кез келген призма үшін, сонымен қатар: Р = 3а, s = – дұрыс үшбұрышты призма үшін және Р = 6а, s = –табан қабырғасы а болатын дұрыс алтыбұрышты призма үшін. 8. Көлбеу үшбұрышты призманың бүйір қырларының ара қашықтықтары сәйкесінше2 см, 3 см және 4 см. Призманың бүйір бетінің ауданы 45 см2. Бүйір қырын табыңыз. Шешуі. Призманың перпендикуляр қимасы - үшбұрыш (3-сурет), оның периметрі 2 + 3 + 4 = 9 (см), сондықтан оның бүйір қыры 45 : 9 = 5 (см). 9. Дұрыс үшбұрышты призманың табандарының орта сызықтары арқылы өтетін қимасының ауданы 25 см2 болса, оның бүйір бетінің ауданын табыңыз. Шешуі. Қимада – бір қабырғасы призманың бүйір қырына тең болатын, ал екінші қабырғасы табан қабырғасының жартысына тең болатын тіктөртбұрыш болады (4-сурет). Сондықтан, оның ауданы бүйір жағының ауданынан 2 есе кіші болады. Сонымен, бүйір жағының ауданы 50 см2, ал бүйір бетінің ауданы 50 ∙ 3 = 150 (см2). 10. Дұрыс үшбұрышты призманың әрбір қыры 12 см. Есептеңіз: табанының ауданын; бүйір бетінің ауданын; толық бетінің ауданын; табанының бір төбесінен шығатын табанының медианасы мен бүйір қыры арқылы өтетін қимасының ауданын. 11. Дұрыс үшбұрышты призманың барлық қырлары тең. Бүйір бетінің ауданы 12 см2. Призманың биіктігін табыңыз. 12. 3-кестеде берілген элементтері бойынша дұрыс үшбұрышты призманың белгісіз элементтерін табыңыз. 3-кесте.
13.Үлкен диагональдық қимасының ауданы Q болатын дұрыс алтыбұрышты призманың бүйір бетінің ауданын табыңыз. Шешуі. Призманың үлкен диагональдық қимасының ауданы (5-сурет) Q=2aH, aH=.Сонда бүйір бетінің ауданы 6∙Q = 3Q. 14. Дұрыс алтыбұрышты призманың табанының өзара тең емес екі диагоналі арқылы диагональдік қималар жүргізілген. Олардың аудандарының қатынасын табыңыз. Шешуі. Диагональдік қималардың аудандарының қатынасы (5-6-суреттер) дұрыс алтыбұрышты призманың табанының өзара тең емес екі диагоналінің қатынасына тең (алтыбұрыштың қабырғасын а делік): S1: S2 = 2а : а= 2 :. 15. 4-кестеде берілген элементтері бойынша дұрыс алтыбұрышты призманың белгісіз элементтерін табыңыз. 4-кесте.
16.Дұрыс n-бұрышты призмада оның табанына 60° бұрышпен, призманың барлық жақтарын қиятын жазықтық жүргізілген. Призма табанының ауданы 50 см2. Қиманың ауданын табыңыз. Шешуі. Sтаб = Sқима ∙ cos 60°, Sқима==100 (см 2). 17. n-бұрышты призма берілген. Барлық жазық бұрыштарының шамаларының қосындысын табыңыз. Шешуі. Екі табаны мен барлық бүйір жақтарының барлық жазық бұрыштарының қосындысын табамыз: 180(n - 2) ∙2 + 360n = 360n - 720 + 360n = 720(n - 1). 2. Зерттеуге берілген есептер. 1. Текшені бір де бір жағы вертикаль болмайтындай етіп қойыңыз. Текшенің горизонталь жақтары бар бола ма? Жауап: жоқ. 2. Қыры 7 см текшені ені 14 см және ұзындығы 21 см болатын тіктөртбұрыш пішіндес қағаз парағымен қаптап желімдеуге бола ма? Шешуі. Текшені қаптау үшін қабырғасы 7 см болатын 6 шаршы керек. Берілген тіктөртбұрышты өлшемдері 7 см және 21 см болатын бірдей екі тіктөртбұрышқа бөлеміз, ал содан кейін алынған екі тіктөртбұрышты қабырғасы 7 см болатын үш шаршыға бөлеміз. Алынған 6 шаршы көмегімен берілген текшені қаптап желімдейміз. 3. Тікбұрышты параллелепипед құрастыру үшін неше тіктөртбұрыш алуымыз керек және ол тіктөртбұрыштар қандай қасиеттерге ие болулары тиіс? Шешуі. Параллелепипедтің табандары үшін қабырғалары а және b болатын екі тіктөртбұрыш, сонымен қатар, бүйір жақтары үшін қабырғаларыс мена болатын екі тіктөртбұрышжәне қабырғалары с мен b болатын екі тіктөртбұрыш, яғни барлығы 6 тіктөртбұрыш қажет. 4. Іргелес екі бүйір жағы табанына перпендикуляр болатын призманың тік немесе көлбеу болатындығын анықтаңыз. Шешуі. Призма тік болып табылады. Іргелес екі бүйір жағы призманың табанына перпендикуляр түзу бойымен қиылысады және ол түзуде призманың берілген екі жағына ортақ бүйір қыры жатады. Басқа бүйір қырлары осы бүйір қырына параллель болады,сондықтан, олар да призма табанына перпендикуляр болады. 5. 50 қыры бар призма бар ма? 54 қыры бар ше? Шешуі. n-бұрышты призманың қырларының саны 3n болады, сондықтан 50 қыры бар призма болмайды, ал 18-бұрышты призманың небары 54 қыры бар болады. 6. Призманың n жағы бар болса, оның табанында қандай көпбұрыш жатыр? Шешуі. Призманың табанында жатқан көпбұрыштың қабырғаларының саны оның бүйір жақтарының санына тең болады. Есеп шартынан бұл сан n– 2 екендігі шығады,өйткені призманың екі жағы оның табандары болып табылады. Сонымен, призма табанында (n - 2)-бұрыш. 3. Дәлелдеуге берілген есептер. 1. Параллелепипедтің табанының диагональдары өзара тең, ал бүйір қырытабанының іргелес екі қабырғасына перпендикуляр. Паралле лепипед тікбұрышты екендігін дәлелдеңіз. Дәлелдеуі. Параллелепипедтің табанында диагональдары өзара тең төртбұрыш, яғни тіктөртбұрыш, ал бүйір қыры түзудің жазықтыққа перпендикулярлығының белгісі бойынша табанына перпендикуляр, яғни паралле лепипед тікбұрышты. 2. Призманың қырларының саны 3-ке еселік екендігін дәлелдеңіз. Дәлелдеуі. n-бұрышты призмада бүйір қырларының саны n, ал төменгі және жоғарғы табандарының қабырғаларының сандарының қосындысы 2n, барлығы 3nқыры болады. 3.Төртбұрышты призманың барлық бүйір қырларындағы екіжақты бұрыштарының қосындысы 360° болатынын дәлелдеңіз. Дәлелдеуі. Призманың перпендикуляр қимасын қарастырамыз. Қимада – тіктөртбұрыш, оның бұрыштарының қосындысы S = 180°(4 - 2) = 360°. 4. Егер призманың 18 жағы бар болса, онда оның табанында 16-бұрыш жатады. Дәлелдеңіз. Дәлелдеуі. Призманың екі жағы табандары болады және, яғни, бүйір жақтары 16. Сонымен, табанында 16-бұрыш. 5.ТекшеніңNтөбесіненжақтарының NE, NF, NK диагональдары жүргізілген. Олардың шеттері кесінділермен қосылған (7-сурет). NEFK көпжағы дұрыс тетраэдр екендігін дәлелдеңіз. 6. Егер үшбұрышты призманың екі бүйір жағы өзара перпендикуляр болса, онда олардың аудандарының квадраттарының қосындысы үшінші бүйір жағының ауданының квадратына тең болады (8-сурет). Дәлелдеңіз. 7. Параллелепипедті жазықтықпен қиғанда қима дұрыс бесбұрыш бола алмайтындығын дәлелдеңіз. Дәлелдеуі. Параллелепипедті жазықтықпен қиғанда пайда болған көпбұрыштың қабырғаларының арасында өзара параллельдері бар болады, ал дұрыс бесбұрыштың ешбір екі қабырғасы параллель болмайды. 4. Салуға берілген есептер. Қималарды призманың алдын-ала дайындалған бейнесінде салуға болады. 1. Текшенің қимасын: а) үшбұрыш, б) төртбұрыш, в) бесбұрыш, г) алтыбұрыш түрінде салыңыз. 2. Үшбұрышты призманың төменгі табанының қабырғасы арқылы өтетін жазықтықты салыңыз. Призманың қимасында қандай көпбұрыштар пайда болуы мүмкін? Жауабы: қима үшбұрыш немесе трапеция болуы мүмкін. 3. Дұрыс үшбұрышты призмада ВСМ қима жазықтығы табан жазықтығыменαекіжақты бұрышын жасайды. Осы екіжақты бұрыштың сызықты бұрышын салыңыз. Түсініктемелер беріңіз. Салу. АВС дұрыс үшбұрышының A төбесіне АК биіктігін жүргіземіз. K нүктесі ВСқырына тиісті. Сондықтан МК кесіндісі ВС қырына перпендикуляр болады. МКА бұрышы – ізделінді бұрыш. 4. Тік призманың табанында теңбүйірлі трапеция жатыр. ABC1D1 қимасы табан жазықтығымен α екіжақты бұрышын жасайды. Оның сызықтық бұрышын салыңыз. Салу. Бұл ABCD және ABC1D1 трапецияларының олардың ортақ доғал бұрышының төбесінен жүргізілген биіктіктерінің арасындағы бұрыш болады (Үш пер пендикуляр туралы теореманы қолданамыз). 5. Тікбұрышты параллелепипедтің BCD1A1 қимасы табан жазықтығымен β екіжақты бұрышын жасайды. Осы екіжақты бұрыштың сызықтық бұрышын қалай салуға болады? Салу. Үш перпендикуляр туралы теореманы қолдану керек. Ізделінді бұрыш – бүйір жағының А1В (немесе D1C) диагоналі мен табанының осы бүйір жағында жатқан АВ (немесе CD) қабырғасының арасындағы бұрыш. Қолданылған әдебиеттер тізімі 1. Математика пәнінен тест тапсырмалары // Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған оқу-әдістемелік құрал. – Алматы: Білім беру мен тестілеудің мемлекеттік стандарттарының ұлттық орталығы, 2000. – 465 б. 2. Альсейтов А.Г. Математика талапкерге: Ұлттық Бірыңғай Тестілеуге дайындалуға арналған тест нұсқалары. – Орал, 2012. – 220 б. 3. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы (анықтамалық материалдар). – Орал, 2012. – 156 б. 4. Альсейтов А.Г. Математикадан қиындығы жоғары есептер. «Математика және логика». №6, 2012. 12-14 бет. 5. Альсейтов А.Г. Математика: Ұлттық бірыңғай тестілеу емтихандарында кездесетін күрделілігі жоғары, таңдамалы және «стандартты емес» есептер. – Орал., 2013. – 332 бет.      |