|
ОДУ 1. 1. Задача Коши условие задано в "начальной точке"
Часть 3. ОДУ.
1.1
Введение
Будем рассматривать только уравнения разрешимые относительно старшей производной т.е. полагать . И только те уравнения, имеющие единственное решение в каждой точке пространства. Т.е. самые простейшие уравнения. . В зависимости от того, как задаются условия для однозначности параметров, разделяются на задачи Коши и краевые задачи. 1. Задача Коши: условие задано в “начальной точке” . 2. Краевая задача: условие на границах (в качестве примера).
Будем заниматься задачей Коши в следующей постановке:
![](75437_html_5883f2f7.gif)
Как известно достаточно выполнение условий:
![](75437_html_madae567.gif) ![](75437_html_m41ac21fb.gif)
Будем полагать что они выполнены. Приближенным решением называется табличная функция такая что и на некоторой сетке (будем полагать что она равномерная, но это не обязательно). Формулу для нахождения табличной функции будем называть вычислительной схемой: ![](75437_html_59f11577.gif)
Классификация:
a) – одношаговая (если же схема многошаговая , то она требует расчета в стартовых точках б) Если функция не содержит , то она называется явной. Если входит, то на каждом шаге понадобится решать уравнение относительно . Не всегда явные формулы лучше.
1.2
в) Если функция представима в виде:
То метод называется конечно-разностным. Будем рассматривать только методы решения ОДУ первого порядка, т.к. высшего порядка может быть решено теми же способами. Связано это с тем, что уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть представлено в виде системы: . Формулу вычислительной схемы можно использовать и для векторов. Самый простой способ эквивалентного преобразования:
![](75437_html_mcd9c564.gif)
Это возможно только для задачи Коши т.к. начальные условия представимы в виде вектора.
Понятие сходимости и устойчивости вычислительной схемы
Выделяют два основных типа ошибок: 1. Ошибка дискретизации – связана с заменой непрерывного дискретным (переход к табличной функции) 2. Ошибка вычислительная – связанная с неточным решением уравнения в вычислительной схеме 3. Полная ошибка .
Поведение ошибок противоречиво, уменьшая одну – увеличиваем другую. Говорят, что вычислительная схема сходится если при . Дробление сетки.
Схема называется устойчивой, если сколько бы мы вычислений не сделали, погрешность сильно не растет (ограничена постоянной независимой величиной). Хорошая схема должна быть сходящейся и устойчивой.
Если мы подставим точное значение решения ОДУ в вычислительную схему, то точного равенства не будет и будет разница между левой и правой частью:
![](75437_html_502aaa9c.gif)
Которая называется ошибкой аппроксимации. Метод аппроксимирует с порядком , если верно второе равенство. Для теории часто бывает удобной.
Метод Эйлера
На некоторой равномерной сетке возьмем произвольную точку , такую что также входит в . Воспользуемся тем, что по формуле Тейлора Приводим к . Геометрический смысл в построении ломаных. Простейший метод – одношаговый, явный и конечно-разностный. Нас интересует сходимость и в дальнейшем покажем, что:
![](75437_html_67061267.gif)
Для получения вычтем уравнения (с точным решением и с приближенным) друг из друга . Применим эту формулу раз и тогда:
![](75437_html_m8f20944.gif)
Т.к. , то – метод устойчив. |
|
|