ряд Фурье. Л7 Фурье қатары. 10 дріс Фурье атары Мазмны Функцияларды тригонометриялы Фурье атарына жіктеу. Дрісті масаты
 Скачать 48.96 Kb.
|
|
№ 10 дәріс Фурье қатары Мазмұны: Функцияларды тригонометриялық Фурье қатарына жіктеу. Дәрістің мақсаты: Серпіліс анализінде қолданылатын Фурье қатары ұғымын беру, функцияларды Фурье қатарына жіктеу мысалдарын келтіру.  (10.1)түріндегі функциялық қатар  функциясының Фурье қатары деп аталады, мұндағы  ,   коэффициенттері (10.2)формулалары бойынша анықталады. Ескерте кететін жайт: әр уақытта да  . (10.1) қатарының мүшелерін амплитудасы  , жиілігі  және фазасы  болатын, гармоникалар түрінде жазуға болады.  -ны  ,  ,  ,  ,  ( ақырлы сан) интервалдарға бөлгенде, олардың әрқайсысында монотонды болса, функциясы кесіндісінде үзінді-монотонды деп аталады.10.1 теорема Егер периодты (периоды  ), үзінді-монотонды және  кесіндісінде шенелген болса, онда оны Фурье қатары кез келген  нүктесінде жинақты, ал қосындысы  болады.Теоремадан функциясының үзіліссіз болу нүктелерінде  теңдігі орындалатыны түсінікті. -тің бірінші текті үзіліс нүктелерінде Фурье қатарының қосындысы функцияның оң жақты және сол жақты шектерінің арифметикалық орташасына тең болады.Егер  -периодты функция болса, оның Фурье қатары (10.3)түрінде жазылады, мұндағы   . (10.4)10.2 теорема Егер периоды болатын периодты функциясы  кесіндісінде үзінді-монотонды және шенелген болса, онда оның (10.3) түріндегі Фурье қатары кез келген үшін қосындысына жинақталады. Егер периодты функциясы жұп болса, онда ол Фурье қатарына тек косинустар бойынша жіктеледі, яғни  , ал .Егер де периодты – тақ функция болса, онда ол Фурье қатарына тек синустар бойынша жіктеледі, яғни  , ал .Әрбір -периодты функциясы және кез келген  саны үшін теңдігі орындалған соң, Фурье коэффициенттерін  ,  ,мұндағы  , формулалары бойынша есептеуге болады. функциясы  кесіндісінде үзінді-монотонды және шенелген болсын. Бұл функцияны Фурье қатарына жіктеу үшін оны  ин-тервалына, осы интервалда үзінді-монотонды және шенелген болатындай етіп, жалғастырамыз. Табылған функцияны -да берілген функцияға жинақтала-тын Фурье қатарына жіктейміз. Егер берілген функцияны  интервалына жұп түрінде жалғастырсақ, онда оның тек косинустар бойынша жіктелуін аламыз, ал егер тақ түрінде жалғастырсақ, онда -тың тек синустар бойынша жіктелуін аламыз.Мысалы, аралығында анықталған және -де теңдіктеріне сәйкес жалғастырылған функциясы тек синустар бойынша жіктеледі. Мұндай функцияның Фурье қатарының  қосындысы ішінде -ке тең және 10.2 теоремасы бойынша  ,  болады.Фурье қатары -тің үзіліссіз болу нүктелерінде функцияның сәйкес мәндеріне жинақталған соң, Фурье қатарларын сандық қатарлардың қосындысын табу үшін пайдаланады. Мысалы, егер  функциясының  -гі косинустар бойынша жіктелуің алсақ, төмендегі теңдікті аламыз  . |